La derivación por regla de cadena se aplica cuando buscamos derivar una composición de funciones.

 

Si tenemos una función compuesta de la forma

 

\displaystyle F(x) = f(u(x))

 

entonces su derivada, respecto a x está dada por

 

\displaystyle F'(x) = f'(u)u'(x)

 

o en notación con diferenciales

 

\displaystyle \frac{dF}{dx} = \frac{df}{du}\frac{du}{dx}

 

Debemos notar cuidadosamente que f'(u) es la derivada de f pero en términos de u.

 

La demostración por definición sería como sigue

 

    \begin{align*} F'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{F(x + h) - F(x)}{h}\\&= \lim_{h \to 0}\frac{f(u(x + h)) - f(u(x))}{h}\\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(u(x + h)) - f(u(x))}{h} \frac{u(x + h) - u(x)}{u(x + h) - u(x)}\right)\\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(u(x + h)) - f(u(x))}{u(x + h) - u(x)} \frac{u(x + h) - u(x)}{h}\right)\\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(u(x + h)) - f(u(x))}{u(x + h) - u(x)}\right) \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(x + h) - u(x)}{h}\right)\\&= f'(u(x))u'(x)\\\end{align*}

 

Ahora veremos unos ejercicios en los cuales aplicaremos la regla de la cadena

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = \ln{x^2}

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = x^2 y f(u) = \ln{u} . Así, tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = \frac{1}{u},

 

mientras que

 

\displaystyle u'(x) = 2x.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= \frac{1}{u} 2x\\&= \frac{1}{x^2} 2x\\&= \frac{2x}{x^2}\\\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = \sin{ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)}

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = 1 - \frac{1}{x} y f(u) = \sin{u} . Así, tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = \cos{u},

 

mientras que

 

\displaystyle u'(x) = \frac{1}{x^2}.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= \cos{u}\frac{1}{x^2}\\&= \cos{ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)} \frac{1}{x^2}\\&= \frac{\cos{ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)}}{x^2}\\\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = \sqrt{\ln{\sin{x}}}

 

Notemos que tenemos doble composición, por lo tanto aplicaremos dos veces la regla de la cadena. Primero, haremos

 

\displaystyle g(x) = f(u(x))

 

en donde f(u) = \sqrt{u} y u(x) = \ln{\sin{x}}. Así, tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}.

 

Ahora, derivemos u(x), pero notemos que u(x) también lo podemos expresar como una composición, en donde u(x) = f_1(u_1(x)), f_1(u_1) = \ln{u_1} y u_1(x) = \sin{x}. sus derivadas son

 

\displaystyle f_1'(u_1) = \frac{1}{u_1},

 

mientras que

 

\displaystyle u_1'(x) = \cos{x}.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= f'(u)[f_1'(u_1)u_1'(x)]\\&= \frac{1}{2\sqrt{u}} \left[ \frac{1}{u_1} \cos{x} \right]\\&= \frac{1}{2\sqrt{\ln{\sin{x}}}} \left[ \frac{1}{\sin{x}} \cos{x} \right]\\&= \frac{1}{2\sqrt{\ln{\sin{x}}}} \left[ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \right]\\&= \frac{1}{2\sqrt{\ln{\sin{x}}}} \left[ \cot{x} \right]\\&= \frac{\cot{x}}{2\sqrt{\ln{\sin{x}}}} \\\end{align*}

 

4 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = e^{\sqrt{x}}

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = \sqrt{x} y f(u) = e^{u} . Así, tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = e^{u},

 

mientras que

 

\displaystyle u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= e^{u} \frac{1}{2\sqrt{x}} \\&= e^{\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}}\\&= \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\\\end{align*}

 

5 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = \cos{\left(3^x \right)}

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = 3^{x} y f(u) = \cos{u}. Así, tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = -\sin{u},

 

mientras que

 

\displaystyle u'(x) = 3^{x} \ln{3}.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= -\sin{u} 3^{x} \ln{3} \\&= -\sin{\left(3^x \right)} 3^{x} \ln{3} \\&= -\ln{3} \sin{\left(3^x \right)} 3^{x}\\\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗