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La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto

 

En una recta tangente a una curva en un punto, su pendiente es la derivada de la función en dicho punto y se expresa de la siguiente manera:

 

                 \displaystyle tg\beta =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{h}=f^{'}(a)

 

grafica tangente de recta a una curva en un punto

 

La recta tangente a una curva en un punto

 

Así mismo, la recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f'(a), una vez que se conoce la pendiente de la recta y los puntos por los que pasa, su ecuación es:

 

\displaystyle y-f(a)=f^{'}(a)(x-a)

 

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola \displaystyle y=x^{2}-5x+6 , que es paralela a la recta \displaystyle 3x+y-2=0 .

 

Primero: De la ecuación de la recta despejamos \displaystyle y de la siguiente manera:

 

\displaystyle y=-3x+2

 

Segundo: Con la información antes descrita, sabemos que la pendiente de la recta es la derivada de la función anterior, que corresponde al coeficiente de la misma:

 

               \displaystyle f^{'}(a)=-3

 

Tercero: Con base en lo anterior, las dos rectas paralelas deberán tener la misma pendiente, por lo tanto si derivamos la ecuación de la parábola    \displaystyle y=x^{2}-5x+6  tenemos que:

 

               \displaystyle f^{'}(a)=2a-5

 

Siendo la misma pendiente para las dos rectas:

               \displaystyle 2a-5=-3

                                                                               \displaystyle a=1

 

Cuarto: Una vez que se tiene el valor de la coordenada \displaystyle x , este se sustituye en la ecuación de la parábola para hallar la segunda coordenada de la función:

 

               \displaystyle y=1^{2} -5(1) +6

                                                                    \displaystyle P \left ( 1,2 \right )

 

Quinto: Finalmente, aplicamos la ecuación de la recta punto-pendiente:

 

                                                y-2=-3(x-1)\hspace{1cm}{y=-3x+5}

Note que, como la recta es paralela a la curva dada, tienen la misma pendiente.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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