La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto

 

En una recta tangente a una curva en un punto, su pendiente es la derivada de la función en dicho punto y se expresa de la siguiente manera:

 

                 \displaystyle tg\beta =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{h}=f^{'}(a)

 

grafica tangente de recta a una curva en un punto

 

Superprof

La recta tangente a una curva en un punto

 

Así mismo, la recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f'(a), una vez que se conoce la pendiente de la recta y los puntos por los que pasa, su ecuación es:

 

\displaystyle y-f(a)=f^{'}(a)(x-a)

 

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola \displaystyle y=x^{2}-5x+6 , que es paralela a la recta \displaystyle 3x+y-2=0 .

 

Primero: De la ecuación de la recta despejamos \displaystyle y de la siguiente manera:

 

\displaystyle y=-3x+2

 

Segundo: Con la información antes descrita, sabemos que la pendiente de la recta es la derivada de la función anterior, que corresponde al coeficiente de la misma:

 

               \displaystyle f^{'}(a)=-3

 

Tercero: Con base en lo anterior, las dos rectas paralelas deberán tener la misma pendiente, por lo tanto si derivamos la ecuación de la parábola    \displaystyle y=x^{2}-5x+6  tenemos que:

 

               \displaystyle f^{'}(a)=2a-5

 

Siendo la misma pendiente para las dos rectas:

               \displaystyle 2a-5=-3

                                                                               \displaystyle a=1

 

Cuarto: Una vez que se tiene el valor de la coordenada \displaystyle x , este se sustituye en la ecuación de la parábola para hallar la segunda coordenada de la función:

 

               \displaystyle y=1^{2} -5(1) +6

                                                                    \displaystyle P \left ( 1,2 \right )

 

Quinto: Finalmente, aplicamos la ecuación de la recta punto-pendiente:

 

                                                y-2=-3(x-1)\hspace{1cm}{y=-3x+5}

Note que, como la recta es paralela a la curva dada, tienen la misma pendiente.

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Marta

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Navarro
Navarro
Invité
13 Sep.

Que pasa si la funcion es por parte y justo donde piden la recta tangente hay unnsalto finito. Existe la recta tangente en dicho punto?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
18 Jun.

Hola,
no existe recta tangente en dicho punto, ya que la derivada no existe en los puntos de salto finito.
Un saludo