Las derivadas es uno de los temas principales y más importantes del cálculo diferencial (después del concepto de límite). Por ello aquí presentamos algunas de las propiedades de derivadas. Además, mostraremos el valor de algunas de las derivadas más comunes, y otras que no lo son tanto, ya que seguramente las encontraremos en nuestro camino.

 

Propiedades de derivadas

 

Sean \quad f(x), \quad g(x) \quad funciones reales con derivadas \quad f'(x) \quad, \quad g'(x) \quad, respectivamente, y \quad c \quad una constante, entoces tenemos las siguientes propiedades:

 

1. Derivada de una función por una constante

 

\displaystyle \left( c f(x) \right)' = c f'(x).

 

2. Derivada de suma de funciones

 

\displaystyle \left( f(x) + g(x) \right)' = f'(x) + g'(x).

 

3. Derivada de resta de funciones

 

\displaystyle \left( f(x) - g(x) \right)' = f'(x) - g'(x).

 

4. Derivada de multiplicación de funciones

 

\displaystyle \left( f(x) g(x) \right)' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x).

 

5. Derivada del cocientes de funciones

 

\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.

 

6. Derivada de la composición de funciones. Sean \quad f(x) \quad y \quad u(x) \quad funciones, consideremos la composición \quad \left(f \circ u \right) (x) = f(u(x)) \quad, entonces

 

\displaystyle \left( f(u(x))\right)' = f'(u(x))u'(x).

 

Derivadas básicas

 

Sean \quad a, \quad b \quad y \quad c \quad constantes (números reales) y \quad u(x) \quad una función (las cuales escribiremos simplemente como \quad u \quad), entonces tenemos los siguientes resultados sobre derivadas:

 

Derivadas de polinomios y potencias

 

1. Derivada de una constante.

 

 \displaystyle f(x) = c \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 0.

 

2. Derivada de \quad x \quad.

 

 \displaystyle f(x) = x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 1.

 

3. Derivada de una función cuadrática \quad x^2 \quad.

 

 \displaystyle f(x) = x^2 \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 2x.

 

4. Derivada de una función cúbica \quad x^3 \quad.

 

 \displaystyle f(x) = x^3 \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 3x^2.

 

5. Derivada de \quad x^n \quad.

 

 \displaystyle f(x) = x^n \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = nx^{n-1}.

 

6. Derivada de una recta

 

 \displaystyle f(x) = ax + b \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a.

 

7. Derivada raíz cuadrada

 

 \displaystyle f(x) = \sqrt{x} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

 

8. Derivada la raíz cúbica.

 

 \displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}.

 

9. Derivada de la raíz \quad n-ésima.

 

 \displaystyle f(x) = \sqrt[n]{x} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}.

 

Derivadas trigonométricas

 

1. Derivada de la función seno.

 

 \displaystyle f(x) = \sin(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \cos(x).

 

2. Derivada de la función coseno.

 

 \displaystyle f(x) = \cos(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = - \sin(x).

 

3. Derivada de la función tangente.

 

 \displaystyle f(x) = \tan(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \sec^2(x).

 

4. Derivada de la función cosecante.

 

 \displaystyle f(x) = \csc(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = -\csc(x) \cot(x).

 

5. Derivada de la función secante.

 

 \displaystyle f(x) = \sec(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \sec(x) \tan(x).

 

6. Derivada de la función cotangente.

 

 \displaystyle f(x) = \cot(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = -\csc^2(x).

 

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

 

1. Derivada de la función arcoseno.

 

 \displaystyle f(x) = \arcsin(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

 

2. Derivada de la función arcocoseno.

 

 \displaystyle f(x) = \arccos(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

 

3. Derivada de la función arcotangente.

 

 \displaystyle f(x) = \arctan(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}.

 

4. Derivada de la función arcocosecante.

 

 \displaystyle f(x) = \text{arccsc}(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}.

 

5. Derivada de la función arcosecante.

 

 \displaystyle f(x) = \text{arcsec}(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}.

 

6. Derivada de la función arcocotangente.

 

 \displaystyle f(x) = \text{arccot}(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2}.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗