Primeras derivadas

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f^{iv} y así sucesivamente.

 

Ejemplo:Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de 2x^3-15x^2+36x-12

1Calculamos la primera derivada

f'(x)=6x^2-30x+36

2Calculamos la segunda derivada

f''(x)=12x-30

3Calculamos la tercera derivada

f'''(x)=12

4Calculamos la cuarta derivada

f^{iv}=0

 

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f^n(x).

Ejemplo:Calcula la derivada enésima de f(x)=\cfrac{1}{x}

1Calculamos la primera derivada

f'(x)=-\cfrac{1}{x^2}

2Calculamos la segunda derivada

f''(x)=\cfrac{1\cdot 2}{x^3}=\cfrac{2!}{x^3}

3Calculamos la tercera derivada

f'''(x)=-\cfrac{1\cdot 2\cdot 3}{x^4}=-\cfrac{3!}{x^4}

4Calculamos la cuarta derivada

f^{iv}=\cfrac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{x^5}=\cfrac{4!}{x^5}

\vdots

5Calculamos la enésima derivada

f^{n}=(-1)^n\cfrac{n!}{x^{n+1}}

 

Ejemplo:Calcula la derivada quinta de f(x)=\cfrac{1}{x}

1Sabemos que la enésima derivada es

f^{n}=(-1)^n\cfrac{n!}{x^{n+1}}

2Para encontrar la quinta derivada, sustituimos n=5 en la fórmula de la enésima derivada

f^v(x)=(-1)^5\cfrac{5!}{x^6}=-\cfrac{120}{x^6}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗