Derivada por la izquierda

Decimos que la función f(x) tiene derivada por la izquierda si el siguiente limite existe

    $$f'(a^{-})=\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

La expresión h\rightarrow 0^{-} significa que nos aproximamos al cero con valores negativos.

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Derivada por la derecha

Decimos que la función f(x) tiene derivada por la derecha si el siguiente limite existe

    $$f'(a^{+})=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

La expresión h\rightarrow 0^{+} significa que nos aproximamos al cero con valores positivos.

Al momento de comprobar si una función es derivable en un punto podemos utilizar el siguiente criterio.

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

 

Derivada de las funciones a trozos

 

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Ejemplos

1 Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

La función valor absoluto se puede expresar de la siguiente forma

    $$f(x)=\begin{cases}-x\text{ si }x<0,\\ x\text{ si }x\geq 0. \end{cases}$$

Al calcular sus derivadas laterales obtenemos lo siguiente,

    $$f'(0^{+})=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\cfrac{(0+h)-(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\cfrac{h}{h}=1$$

    $$f'(0^{-})=\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\cfrac{-(0+h)-(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\cfrac{-h}{h}=-1$$

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

Derivadas laterales del valor absoluto

 

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

2 Estudiar la derivabilidad de la función:

    $$f(x)=\begin{cases}-x\text{ si }x<0,\\ x\text{ si }x^{2}\geq 0. \end{cases}$$

Al calcular sus derivadas laterales obtenemos lo siguiente,

    $$f'(0^{+})=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\cfrac{(0+h)^{2}-(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\cfrac{h^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}h=0$$

    $$f'(0^{-})=\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\cfrac{-(0+h)-(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\cfrac{-h}{h}=-1$$

No es derivable en x = 0. Dado que sus derivadas laterales no coinciden.

Derivadas laterales de una función a trozos

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗