Extremos relativos o locales | Superprof

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Definición de máximos y mínimos
Cálculo de máximos y mínimos
Ejemplo de cálculo de máximos y mínimos

Definición de máximos y mínimos

Si $f$ es derivable en $a$ , $a$ es un extremo relativo o local si:

1 $f'(a) = 0$ .

2 $f''(a)\neq 0$ .

Máximos locales

Si $f$ y $f'$ son derivables en $a$ , $a$ es un máximo relativo o local si se cumple:

1 $f'(a) = 0$

2 $f''(a) < 0$

Mínimos locales

Si $f$ y $f'$ son derivables en $a$ , $a$ es un mínimo relativo o local si se cumple:

1 $f'(a) = 0$

2 $f''(a) > 0$

Cálculo de máximos y mínimos

Para encontrar los extremos relativos o locales de una función $f(x)$ , realizaremos lo siguiente:

1Hallar la primera derivada $f'(x)$ y obtener sus raíces.

2Hallar la segunda derivada $f''(x)$ , y calcular los valores que toman los ceros de la primer derivada en $f''(x)$ , luego, determinar si es un máximo o mínimo de acuerdo a la condición, recordando que si:

$f''(x) > 0$ Tenemos un mínimo

$f''(x) < 0$ Tenemos un máximo

3Calcular la segunda coordenada de los extremos relativos en la función $f(x)$ .

Ejemplo de cálculo de máximos y mínimos

Estudiar los máximos y mínimos de:

$f(x) = x³ − 3x + 2$

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los pasos anunciados anteriormente:

1 Hallamos la primer derivada y calculamos sus raíces.

Derivada $f'(x) = 3x^{2} − 3$

Igualamos a cero la derivada y la resolvemos

$3x^{2} − 3 = 0$

$3x^{2}= 3$

$\displaystyle x^{2}= \frac{3}{3} =1$

$x = -1$
$x = 1$ .

2 Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

$f''(x) > 0$ Tenemos un mínimo

$f''(x) < 0$ Tenemos un máximo

Segunda derivada $f''(x) = 6x$

Si $x=-1$ $f''(-1) = -6$ Máximo

Si $x=1$ $f'' (1) = 6$ Mínimo

3 Calculamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función.

$x=-1$ $f(-1) = (-1)^{3} - 3(-1) + 2 = 4$

$x=1$ $f(1) = (1)^{3} - 3(1) + 2 = 0$

Máximo $(-1, 4)$ Mínimo $(1, 0)$

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Marta

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