Definición de máximos y mínimos

 

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

 

1 f'(a) = 0.

2 f''(a)\neq 0.

Máximos locales

 

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

 

1 f'(a) = 0

2  f''(a) < 0

Mínimos locales

 

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

 

1 f'(a) = 0

2 f''(a) > 0

 

 

Superprof

Cálculo de máximos y mínimos

 

Para encontrar los extremos relativos o locales de una función f(x),  realizaremos lo siguiente:

1Hallar la primera derivada f'(x) y obtener sus raíces.

 

2Hallar la segunda derivada f''(x), y calcular los valores que toman los ceros de la primer derivada en f''(x), luego, determinar si es un máximo o mínimo de acuerdo a la condición, recordando que si:

 

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo

f''(x) < 0 Tenemos un máximo

 

3Calcular la segunda coordenada de los extremos relativos en la función f(x).

 

Ejemplo de cálculo de máximos y mínimos

 

Estudiar los máximos y mínimos de:

f(x) = x³ − 3x + 2

 

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los pasos anunciados anteriormente:

 

1 Hallamos la primer derivada y calculamos sus raíces.

 

Derivada f'(x) = 3x^{2} − 3

 

Igualamos a cero la derivada y la resolvemos

 

3x^{2} − 3 = 0

 

3x^{2}= 3

 

\displaystyle x^{2}= \frac{3}{3} =1

 

x = -1
x = 1.

 

2 Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

 

f''(x) > 0Tenemos un mínimo

f''(x) < 0 Tenemos un máximo

 

Segunda derivada f''(x) = 6x

 

Si x=-1 f''(-1) = -6 Máximo

 

Si x=1 f'' (1) = 6 Mínimo

 

3 Calculamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función.

 

x=-1f(-1) = (-1)^{3} - 3(-1) + 2 = 4

 

x=1f(1) = (1)^{3} - 3(1) + 2 = 0

 

Máximo (-1, 4) Mínimo (1, 0)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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