Máximos y mínimos
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.
Máximos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x³ − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x² − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo
f''(x) < 0 Tenemos un máximo
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función.
f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
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