Interpretacion geometrica de la derivada grafica y elementos

 

Cuando {h} tiende a 0, el punto {Q} tiende a confundirse con el {P}. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función {f(x)} en {P}, y por tanto el ángulo {\alpha} tiende a ser {\beta}.

 

{tg\; \beta = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\Delta y}{h}=f'(a)}

 

Interpretacion geometrica de la derivada

 

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

 

{m_t=f'(a)}

 

Ejemplo:

 

Dada la parábola {f(x)=x^{2}}, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

 

1 La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación {y=x}}, por tanto su pendiente es {m=1}.

 

2 Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

 

{f'(a) = 1}.

 

3 Calculamos la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto {x=a}

 

{f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h \to 0}(2a+h)=2a}

 

4 Igualamos ambas expresiones para la pendiente

 

{2a = 1}

 

5 Al resolver obtenemos la primera coordenada del punto

 

{2a = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{1}{2}}

 

6 La segunda coordenada del punto la obtenemos sustituyendo el valor de {a} en la función {f(x)=x^{2}}

 

{f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}=\displaystyle\frac{1}{4}}

 

Ejemplo interpretacion geometrica de la derivada

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗