Ejercicios del teorema de Rolle

 

1¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función \displaystyle f(x)=\left | x-1 \right | en el intervalo \displaystyle [0,2]?

 

¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función \displaystyle f(x)=\left | x-1 \right | en el intervalo \displaystyle [0,2]?

\displaystyle f(x)= \begin{cases} -x+1 & \text{ si } x \in [0,1) \\ x-1 & \text{ si } x \in [1,2] \end{cases}

La función es continua en\displaystyle [0,2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto \displaystyle x=1 ya que las derivadas en cada región tienen valores distintos, y de ser derivable deberían ser iguales .

\displaystyle f '(x)= \begin{cases} -1 & \text{ si } x \in (0,1) \\ 1 & \text{ si } x \in (1,2) \end{cases}

2Estudiar si la función \displaystyle f(x)=x-x^3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos \displaystyle [-1,0] y \displaystyle [0,1], en caso afirmativo determinar los valores de \displaystyle c..

 

Estudiar si la función \displaystyle f(x)=x-x^3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos \displaystyle [-1,0] y \displaystyle [0,1], en caso afirmativo determinar los valores de \displaystyle c.

\displaystyle f(x) es una función continua en los intervalos \displaystyle [-1,0] y \displaystyle [0,1], y derivable en los intervalos abiertos \displaystyle (-1,0) y \displaystyle (0,1) por ser una función polinómica.

Además se cumple que:

\displaystyle f(-1)=f(0)=f(1)=0

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle. Significa que ahora busquemos el punto donde la derivada de la función vale cero.

La derivada de la función es \displaystyle f '(x)=1-3x^2, entonces ahora valuamos en

\displaystyle c e igualamos con cero, quedando la ecuación \displaystyle 1-3c^2=0, cuya solución es \displaystyle c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

En otras palabras

\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}} \in (-1,0) y \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \in (0,1)

3¿Satisface la función \displaystyle f(x)=1-x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo \displaystyle [-1,1]?

 

¿Satisface la función \displaystyle f(x)=1-x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo \displaystyle [-1,1]?

La función es continua en el intervalo \displaystyle [-1,1] y derivable en \displaystyle (-1,1) por ser una función polinómica.

Sin embargo, no cumple teorema de Rolle porque \displaystyle f(-1) \neq f(1).

4Probar que la ecuación \displaystyle 1+2x+3x^2+4x^3=0 tiene una única solución en \displaystyle \mathbb{R}.

 

Probar que la ecuación \displaystyle 1+2x+3x^2+4x^3=0 tiene una única solución en \displaystyle \mathbb{R}

Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.

Supongamos que la función \displaystyle f(x)=1+2x+3x^2+4x^3 tiene dos raíces distintas \displaystyle x_1 y \displaystyle x_2 con \displaystyle x_1<x_2, entonces por ser raíces, se tiene que \displaystyle f(x_1)=f(x_2)=0.

Y como la función es continua y derivable en todo \displaystyle \mathbb{R} por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle.

Por lo tanto existe un \displaystyle c\in(x_1,x_2) tal que \displaystyle f '(c)=0.

Entonces, si \displaystyle f '(x)=2+6x+12x^2 se tiene \displaystyle f '(c)=2+6c+12c^2=0.

En otras palabras \displaystyle c es raíz real del polinomio \displaystyle 2+6x+12x^2, lo cual es falso, ya que no admite raices reales porque su discriminante es negativo \displaystyle \bigtriangleup =(6)^2-4(12)(2)=36-96=-60<0

Concluyendo que, como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.

Ejercicios con el teorema de Bolzano

 

1¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación \displaystyle x^3+6x^2+15x-25=0?

 

¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación \displaystyle x^3+6x^2+15x-25=0?

La función \displaystyle f(x)=x^3+6x^2+15x-25 es continua y derivable en \displaystyle \mathbb{R}

Ahora, sabiendo estas características podemos ocupar el Teorema de Bolzano, el cual nos indica que si encontramos a dos reales donde la función adquiera signos distintos al evaluar, entonces se tendrá por lo menos un real donde la función se anula.

Los valores propuestos son \displaystyle 0 y \displaystyle 2, veamos:

\displaystyle f(0)=-25

\displaystyle f(2)=37

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo \displaystyle (0,2).

Por otro lado observamos que \displaystyle f '(x)=3x^2+12x+15 tiene discriminante negativo \displaystyle \bigtriangleup =(12)^2-4(3)(15)=-36<0, significa que la función no tiene reales donde se tenga un máximo o mínimo, y además para todo \displaystyle x \in (0,2) se tiene \displaystyle f '(x)>0, es decir que es creciente no monotona, por lo tanto el valor que encontramos que anula a la función, es único.

2 Demostrar que la ecuación \displaystyle 2x^3-6x+1=0 tiene una única solución real en el intervalo \displaystyle (0,1).

.

 

Demostrar que la ecuación \displaystyle 2x^3-6x+1=0 tiene una única solución real en el intervalo \displaystyle (0,1).

La función \displaystyle f(x)=2x^3-6x+1 es continua y derivable en \displaystyle \mathbb{R}·

Significa que por el Teorema de Bolzano, al encontrar dos valores donde la función adquiera signos distintos:

 

\displaystyle f(0)=1

 

\displaystyle f(1)=-3

 

podemos decir que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo \displaystyle (0,1).

Ahora, al sacar su derivada \displaystyle f '(x)=6x^2-6, nos damos cuenta que ella se anula \displaystyle 6x^2-6=6(x^2-1)=6(x-1)(x+1)=0 en los puntos \displaystyle x=1  y \displaystyle x=-1, es decir, el máximo y mínimo de la función, se encuentra fuera de \displaystyle (0,1), provocando que el punto donde se anula la función solamente deba ser uno solo.

De haber dos, los maximos y minimos de la función deberian encontrarse dentro del intervalo ya que la función es continua.

 

Ejercicios del teorema de Lagrange

 

1 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange (TVM) a \displaystyle f(x)=4x^2-5x+1 en \displaystyle [0,2]?

 

¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange (TVM) a \displaystyle f(x)=4x^2-5x+1 en \displaystyle [0,2]?

\displaystyle f(x) es continua en \displaystyle [0,2] y derivable en \displaystyle (0,2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio.

Entonces existe un \displaystyle c \in (0,2) tal que

\displaystyle f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{7-1}{2-0}=3

y si \displaystyle f '(x)=8x-5, entonces se tiene la ecuación \displaystyle 8c-5=3 cuya solución es \displaystyle c=1.

2 ¿Se puede aplicar el teorema del valor medio a \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2} en \displaystyle [0,2]?

 

¿Se puede aplicar el teorema del valor medio a \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2} en \displaystyle [0,2]?

No, porque la función no es continua en \displaystyle [0,2] ya que no esta definida en \displaystyle x=0.

3 En la sección de la parábola comprendida entre los puntos \displaystyle A=(1,1) y \displaystyle B=(3,0), hallar un punto donde la tangente sea paralela al segmento que une a los puntos \displaystyle A y \displaystyle B.

 

En la sección de la parábola comprendida entre los puntos \displaystyle A=(1,1) y \displaystyle B=(3,0), hallar un punto donde la tangente sea paralela al segmento que une a los puntos \displaystyle A y \displaystyle B.

Los puntos \displaystyle A=(1,1) y \displaystyle B=(3,0) pertenecen a la parábola de ecuación \displaystyle y=x^2+bx+c, entonces al evaluarlos en ella, se genera el siguiente sistema de ecuaciones

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 1 & = & 1+b+c \\ 0 & = & 9+3b+c \end{matrix}\right.

cuya solución es \displaystyle b=-\frac{9}{2}, c=\frac{9}{2}.

Significa que la parábola tiene la ecuación

\displaystyle f(x)=y=x^2-\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}

Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo \displaystyle [1,3]. Por lo tanto, existe \displaystyle c \in (1,3) tal que

    \begin{align*} f'(c) &= \frac{f(3)-f(1)}{3-1} \\ 2c-\frac{9}{2} &= \frac{(9-\frac{27}{2}+\frac{9}{2})-(1-\frac{9}{2}+\frac{9}{2})}{2} \\ 2c-\frac{9}{2} &= -\frac{1}{2} \\ 2c &=4 \\ c &= 2 \end{align*}

ahora solamente evaluemos en la función para conocer el punto \displaystyle f(2)=2^2-\frac{9}{2}(2)+\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}.

Por lo tanto, el punto buscado es \displaystyle \left ( 2,-\frac{1}{2} \right )

4 Calcular un punto del intervalo \displaystyle [1,3] en el que la tangente a la curva \displaystyle y=x^3-x^2+2 sea paralela a la recta determinada por los puntos\displaystyle A=(1,2) y \displaystyle B=(3,20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

 

Calcular un punto del intervalo \displaystyle [1,3] en el que la tangente a la curva \displaystyle y=x^3-x^2+2 sea paralela a la recta determinada por los puntos\displaystyle A=(1,2) y \displaystyle B=(3,20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

Hallamos la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos.

\displaystyle m=\frac{20-2}{3-1}=\frac{18}{2}=9

ahora, no perdamos de vista que el valor \displaystyle m=9 que calculamos es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto, ya que rectas paralelas tienen pendientes iguales.

Por otro lado, por ser \displaystyle f(x)=y=x^3-x^2+2 continua en \displaystyle [1,3] y derivable en \displaystyle (1,3) se puede aplicar el teorema del valor medio:

Por lo tanto, existe \displaystyle c \in (1,3) tal que

    \begin{align*} f '(c) &= 9 \\ 3c^2-2c&= 9 \\ 3c^2-2c-9&=0 \end{align*}

cuya solución es \displaystyle c=\frac{2\pm\sqrt{112}}{6}, de donde seleccionamos a \displaystyle c=\frac{2+\sqrt{112}}{6}, por pertenecer al intervalo \displaystyle (1,3)

5 Determinar \displaystyle a y \displaystyle b para que la función

\displaystyle f(x)= \begin{cases} ax-3 & \text{ si } x<4 \\ -x^2+10x-b & \text{ si } x\geq 4 \end{cases}

cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo \displaystyle [2,6].

 

Determinar \displaystyle a y \displaystyle b para que la función\displaystyle f(x)= \begin{cases} ax-3 & \text{ si } x<4 \\ -x^2+10x-b & \text{ si } x\geq 4 \end{cases}

cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo \displaystyle [2,6].

En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en \displaystyle [2,6]

    \begin{align*} \lim_{x \to 4^{-}}f(x) &= \lim_{x \to 4^{+}}f(x) \\ 4a-3&=-16+40-b \\ 4a+b&=27 \end{align*}

generándose la ecuación \displaystyle 4a+b=27

En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en \displaystyle (2,6)

    \begin{align*} \left. \frac{\mathrm{d} (ax-3)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=4}&=\left. \frac{\mathrm{d} (-x^2+10x-b)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=4} \\ a&=\left.(-2x+10) \right|_{x=4}\\ a&=-2(4)+10 \\ a&=2 \end{align*}

Significa que para que se cumpla el Teorema de Lagrange TVM, los valores deben ser

\displaystyle a=2 y \displaystyle b=27-4(2)=27-8=19

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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