En esta sección encontrarás algunos ejemplos de derivadas de la función exponencial con distintas bases y exponentes, incluyendo sus respectivos procedimientos.

 

 

Derivada de la función exponencial

 

Si la función es exponencial con base distinta de   \displaystyle e

 

\displaystyle f(x)=a^{u}     con      \displaystyle a>0

 

La fórmula de su derivada es:

 

\displaystyle f'(x)=u'a^{u}\ln (a)  

Derivada de la función exponencial de base e

 

Si la función es exponencial con base  \displaystyle e

 

\displaystyle f(x)=e^{u}

 

La fórmula de su derivada es:

 

\displaystyle f'(x)=u'e^{u}

 
 

Ejemplos de funciones derivadas

 

1 Derivar la siguiente función:  \displaystyle f(x)=2^{x^2-1}

 

Solución:

 

\displaystyle f'(x)=2^{x^2-1}\frac{d}{dx}\left ( x^2-1 \right )\ln(2)= 2x\cdot 2^{x^2-1}\ln (2)}

 

 

2 Derivar la siguiente función: \displaystyle f(x)=3^{\sqrt{x^2-1}}

 

Solución:

 

\displaystyle f'(x)=3^{\sqrt{x^2-1}}\cdot \frac{d}{dx}\sqrt{x^2-1}\cdot \ln (3)

 

\displaystyle f'(x)=3^{\sqrt{x^2-1}}\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot \ln(3)= 3^{\sqrt{x^2-1}}\frac{x\ln(3)}{\sqrt{x^2-1}}}

 

 

3 Derivar la siguiente función:  \displaystyle f(x)=e^{\frac{1}{x}}}

 

Solución:

 

\displaystyle f'(x)=e^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{1}{x}=e^{\frac{1}{x}}\left ( -\frac{1}{x^2} \right )= -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}}

 

 
4 Derivar la siguiente función:  \displaystyle f(x)=x^3\cdot e^{-3x}

 

Solución:

 

\displaystyle f'(x)=x^3\frac{d}{dx}e^{-3x}+e^{-3x}\frac{d}{dx}x^3=x^3(-3)e^{-3x}+e^{-3x}3x^2

 
\displaystyle f'(x)=-3x^3e^{-3x}+3x^2e^{-3x}=3x^2e^{-3x}\left ( -x+1 \right )= 3x^2e^{-3x}\left ( 1-x \right )}

 

 

5 Derivar la siguiente función:  \displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}
 
Solución:

 

\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x}\frac{d}{dx}e^{2x}-e^{2x}\frac{d}{dx}\sqrt{x}}{\left (\sqrt{x} \right )^2}=\frac{\sqrt{x}e^{2x}(2)-e^{2x}\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}

 

 \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\left ( \frac{4e^{2x}x-e^{2x}}{2\sqrt{x}} \right )= \frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2x\sqrt{x}}}  

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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