Teorema de Rolle

Si una función es:

 

1 Continua en [a, b]

2 Derivable en (a, b)

3Y si f(a) = f(b)

 

Entonces, existe algún punto c \in (a,b) en el que f'(c) = 0.

 

teorema de Rolle

 

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

 

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Teorema de Lagrange

Si una función es:

 

1 Continua en [a, b]

2 Derivable en (a, b)

 

Entonces, existe algún punto c \in (a,b) tal que:

 

f'(c) = \cfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

 

Teorema de Lagrange

 

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

 

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).

 

Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c \in (a,b) tal que:

 

\cfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \cfrac{f'(c)}{g'(c)}

 

donde los denominadores g(b) - g(a) y g'(c) son distintos de cero. El valor del primer miembro es constante por lo que tenemos:

 

k = \cfrac{f'(c)}{g'(c)} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(c) = k \cdot g'(c)

 

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

 

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

 

Regla de L'Hôpital

Si \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe \displaystyle \lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}, este límite coincide con  \displaystyle \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}.

 

 \displaystyle \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}

 

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma  \displaystyle \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}, donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

 

\cfrac{0}{0}, \ \ \cfrac{\infty}{\infty}

 

Ejercicios de los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L'Hôpital

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗