Entre las derivadas de funciones trigonométricas inversas se encuentra la derivada del arcocoseno de una función cuya función es igual a menos  el cociente de la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función, de tal manera que si expresamos analíticamente la función arcoseno de la siguiente forma:

    \begin{equation*}f(x)=\arccos {u}\end{equation*}

Se tiene que su derivada es:

    \begin{equation*}f'(x)=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\end{equation*}

 

Ejemplos

1Calcula la derivada de f(x)=\arccos {x^2}:

  • En este caso, notemos que u=x^2, por lo cual u'=2x, por lo cual utilizando la fórmula descrita anteriormente tenemos:

    \begin{equation*}f'(x)=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}=-\frac{2x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\end{equation*}

.

2 Calcula la derivada de f(x)=\arccos {e^x}:

  • En este caso, notemos que u=e^x, por lo cual u'=e^x, por lo cual utilizando la fórmula descrita anteriormente tenemos:

    \begin{equation*}f'(x)=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}=-\frac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}}=-\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\end{equation*}

.

3Calcula la derivada de f(x)=\arccos {2x^3}:

  • En este caso, notemos que u=2x^3, por lo cual u'=6x^2, por lo cual utilizando la fórmula descrita anteriormente tenemos:

    \begin{equation*}f'(x)=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}=-\frac{6x^2}{\sqrt{1-(2x^3)^2}}=-\frac{6x^2}{\sqrt{1-4x^6}}\end{equation*}

.

4Calcula la derivada de f(x)=\arccos {(x^3+2x^2)}:

  • En este caso, notemos que u=x^3+2x^2, por lo cual u'=3x^2+4x, por lo cual utilizando la fórmula descrita anteriormente tenemos:

    \begin{equation*}f'(x)=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}=-\frac{3x^2+4x}{\sqrt{1-(x^3+2x^2)^2}}=\frac{-3 x^{2}-4 x}{\sqrt{-x^{6}-4 x^{5}-4 x^{4}+1}}\end{equation*}

.

 
 
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗