El teorema de Rolle obtiene su nombre de Michel Rolle (1652 - 1719), un matemático francés. Rolle fue uno de los primeros matemáticos en trabajar en el desarrollo del cálculo, a pesar de que fue uno de los críticos de las bases de esta área. Asimismo, es uno de los inventores del procedimiento conocido como eliminación gausiana.

 

Enunciado del teorema

 

El teorema de Rolle nos permite afirmar si una función f(x) tiene un punto crítico en un intervalo dado. Este teorema se enuncia como sigue:

 

Teorema: Sea f(x) una función que

1 es continua en [a, b],

2 es derivable en (a, b),

3 y cumple que f(a) = f(b).

Entonces existe algún punto c \in (a, b) tal que f'(c) = 0.

 

Gráficamente el teorema se interpreta como que existe un punto c \in (a, b) en el que la recta tangente es parallela al eje-x (siempre que se cumplan las hipótesis del teorema). Justo como se observa la siguiente figura:

 

interpretación gráfica del teorema de Rolle

 

Si alguna de las hipótesis falla, entonces no podemos concluir que no existe punto tal que f'(c) = 0. Es decir, es posible que f(a) \neq f(b) y que todavía exista un punto c \in (a, b) tal que f'(c) = c.

 

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Ejemplos y ejercicios

 

1 Verifica si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle para la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \leq x \leq 1\\-x + 3 & \text{si } 1 < x \leq 3\end{cases}

 

en el intervalo [0, 3].

 

Debemos verificar las tres hipótesis del teorema de Rolle:

 

\begin{enumerate}

 

\item Primero debemos comprobar que la función sea continua. Cada "trozo" de la función ya sabemos que sí es continua porque son polinomios. Por lo tanto, sólo debemos verificar la continuidad en el punto x = 1. Calculamos primero el límite por la izquierda:

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}{f(x)} = \lim_{x \to 1^{-}}{2x} = 2

 

y ahora calculamos el límite por la derecha:

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}{f(x)} = \lim_{x \to 1^{+}}{(-x + 3)} = -1 + 3 = 2

 

Como los límites son iguales (y la función también vale 2 cuando x = 1), entonces concluímos que la función es continua.

 

\item Ahora debemos verificar que la función sea diferenciable en todo el intervalo (0, 3). Para empezar, la función es diferenciable en los intervalos (0, 1) y (1, 3) ya que en esos trozos, la función está definida por polinomios.

 

Por lo tanto, debemos comprobar que la función sea diferenciable en x = 1, para ello, calculamos las "derivadas laterales". Primero, encontramos la derivada de la función. Para el intervalo (0, 1), tenemos:

 

\displaystyle f'(x) = 2

 

mientras que para (1, 3), la derivada es

 

\displaystyle f'(x) = -1

 

De aquí se sigue que 2 = f'(1^{-}) \neq f'(1^{+}) = -1. Por lo tanto, la derivada no está definida en x = 1 y la función no es diferenciable en todo el intervalo.

 

\end{enumerate}

 

Por tanto, una de las hipótesis falla. Así, no podemos utilizar el teorema de Rolle para asegurar la existencia de un valor c \in (0, 3) tal que f'(c) = 0 (de hecho, no existe ese valor).

 

2 ¿Se puede utilizar el teorema de Rolle en la función f(x) = \ln(5 - x^2) para el intervalo [-2, 2]?

 

De nuevo, verificamos las hipótesis una por una:

 

1 Sabemos que la función \ln x es continua para todo x \in (0, \infty). Por lo tanto, si el argumento de la función es mayor a cero (y contínuo), entonces sabremos que f(x) también es continua.

 

Como x \in [-2, 2], entonces -2 \leq x \leq 2. De aquí se sigue que

 

\displaystyle x^2 \leq 4

 

Que, al restar x^2 a ambos lados, obtenemos

 

\displaystyle 0 \leq 4 - x^2 < 5 - x^2

 

Por tanto, concluimos que 0 < 5 - x^2. Además, 5 - x^2 es un polinomio (es decir, continuo y derivable). Así,

 

\displaystyle f(x) = \ln(5 - x^2)

 

es también continua.

 

2 La comprobación de la diferenciabilidad es igual que la comprobación de la continuidad. Sabemos que \ln x es diferenciable en (0, \infty). Por lo tanto, mientras el argumento satisfaga que es mayor a 0 y sea diferenciable, entonces f(x) también lo será.

 

Como 0 < 5 - x^2 y 5 - x^2 es diferenciable, entonces f(x) es diferenciable también.

 

3 Por último, debemos verificar que f(-2) = f(2):

 

\displaystyle f(2) = \ln (5 - 2^2) = \ln (5 - 4) = \ln 1 = 0

 

mientraas que

 

\displaystyle f(-2) = \ln(5 - (-2)^2) = \ln (5 - 4) = 0

 

por tanto, sí se cumple que f(-2) = f(2).

 

Por tanto, concluímos que sí se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rollo. Así, debe existir algún c tal que f'(c) = 0. De hecho, el valor de c es c = 0, el cual podemos obtener al calcular la derivada de f(x).

 

3 Utiliza el teorema de Rolla para comprobar que x^7 + 3x + 3 = 0 tiene una única raíz.

 

Pista: utiliza el teorema de Rolle.

 

El polinomio f(x) = x^7 + 3x + 3 es impar, por lo tanto sabemos que debe tener al menos una raíz. Es decir, existe un valor a \in \mathbb{R} tal que f(a) = 0.

 

Por reducción al absudo, supongamos que el polinomio tiene dos o más raíces diferentes. Sean estas raíces a_1 y a_2, donde a_1 < a_2.

 

Sabemos que f(x) es un polinomio. Por lo tanto, es continuo y diferenciable en toda \mathbb{R}.

 

Además, como a_1 y a_2 son raíces, entonces f(a_1) = f(a_2) = 0.

 

Por tanto, las hipótesis del teorema de Rolle se cumplen para el intervalo [a_1, a_2]. Así, por el teorema de Rolle, debe existir c \in (a_1, a_2) tal que f'(c) = 0.

 

Sin embargo, la derivada de f(x) es

 

\displaystyle f'(x) = 7x^6 + 3 > 0

 

la cual siempre es mayor a 0. Es decir, no existe c tal que f'(c) = 0.

 

Así, tenemos una contradicción (decimos que c existe y que no existe). Como esta contradicción surge de asumir que f(x) tiene dos o más raíces diferentes, entonces podemos concluir que f(x) tiene exactamente una raíz real.

 

4 ¿La función f(x) = | x - 1 | satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 2]?

 

Comprobamos las hipótesis una por una:

 

1 Sabemos que la función |y| (valor absoluto) es continua para todo y \in \mathbb{R}. Por tanto, f(x) es continua.

 

2 Para comprobar que f(x) es diferenciable, notemos que:

 

\displaystyle x - 1 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 1

 

por lo tanto, la función se puede escribir como

 

\displaystyle f(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{si } x < 1\\x - 1 & \text{si } x \geq 1\end{cases}

 

Luego calculamos las derivadas laterales en x = 1:

 

\displaystyle f'(1^{-}) = -1

 

y

 

\displaystyle f'(1^{+}) = 1

 

de donde se sigue que f'(1^{-}) \neq f'(1^{+}). Así, f(x) no es diferenciable en todo el intervalo (0, 2).

 

En consecuencia, no se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle.

 

5 Verifica que la función f(x) = x - x^3 satisfaga las hipótesis del teorema de Rolle en los intervalos [-1, 0] y [0, 1]. En caso afirmativo, encuentra los valores c tales que f'(c) = 0.

 

Como f(x) es un polinomio, entonces es continua y diferenciable en todo \mathbb{R}. Por lo tanto, sólo debemos verificar que

 

\displaystyle f(-1) = f(0)

 

y que

 

\displaystyle f(0) = f(1)

 

Así, para x = -1:

 

\displaystyle f(-1) = -1 - (-1)^3 = -1 - (-1) = 0

 

para x = 0:

 

\displaystyle f(0) = 0 - 0 = 0

 

y para x = 1:

 

\displaystyle f(1) = 1 - 1^3 = 1 - 1 = 0

 

Por lo tanto, las hipótesis del teorema de Rolle se cumplen para el intervalo [-1, 0] y [0, 1].

 

Ahora encontramos los valores de c tales que f'(c) = 0. Para hacerlo, primero encontramos la derivada de f(x):

 

\displaystyle f'(x) = 1 - 3x^2

 

Ahora igualamos a 0:

 

\displaystyle 1 - 3x^2 = 0

 

de donde se sigue que

 

\displaystyle 3x^2 = 1 \quad \longrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{3}

 

Así,

 

\displaystyle x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

 

Notemos que c_1 = -1/\sqrt{3} \in (-1, 0) y que c_2 = 1/\sqrt{3} \in (0, 1). Con lo que encontramos los valores de c tales que f'(c) = 0.

 

6 Verifica que la función f(x) = 1 - x satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-1, 1].

 

Debemos verificar las hipótesis una por una. Sin embargo, la continuidad y la diferenciabilidad son muy sencillas ya que f(x) es un polinomio (y por tanto, diferenciable y continuo).

 

Así, sólo debemmos verificar que f(-1) = f(1):

 

\displaystyle f(-1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

 

y

 

\displaystyle f(1) = 1 - 1 = 0

 

Por lo tanto f(-1) \neq f(1).

 

Podemos concluir, entonces, que no se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle.

 

7 Demuestra que la ecuación 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 = 0 tiene una única solución.

 

Pista: utiliza el teorema de Rolle.

 

Al igual que en algún ejercicio anterior, procedemos por reducción al absurdo.

 

En primer lugar, sabemos que f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 tiene al menos una raíz al ser un polinomio impar.

 

Por reducción al absurdo, suponemos que existe más de una raíz real (diferente). Es decir, existen a_1 y a_2, tales que a_1 \neq a_2, a_1 < a_2 y

 

\displaystyle f(a_1) = 0 = f(a_2)

 

Como f(x) es un polinomio, entonces es continuo y diferenciable. Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [a_1, a_2].

 

Así, debe existir c \in (a_1, a_2) tal que f'(c) = 0.

 

Sin embargo, la derivada de f(x) es

 

\displaystyle f'(x) = 12x^2 + 6x + 2

 

cuyo discriminate es

 

\displaystyle \Delta = 6^2 - 4(12)(2) = 36 - 96 = -60 < 0

 

lo que significa que f'(x) no tiene raíces, es decir, no existen c \in \mathbb{R} tales que f'(c) = 0. Así, tenemos una contradicción.

 

Por tanto, concluimos que f(x) tiene, a lo más, una única raíz.

 

8 ¿Cuántas raíces tiene la ecuación x^3 + 6x^2 + 15x - 25 = 0?

 

Este ejercicio es muy similar al anterior.

 

En primer lugar, sabemos que f(x) = x^3 + 6x^2 + 15x - 25 tiene al menos una raíz, debido a que es un polinomio de grado impar.

 

Ahora suponemos que existe más de una raíz real (diferente). Es decir, que existen a_1 y a_2, tales que a_1 \neq a_2, a_1 < a_2 y

 

\displaystyle f(a_1) = 0 = f(a_2)

 

De nuevo, como f(x) es un polinomio, entonces es continuo y diferenciable. Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [a_1, a_2].

 

Así, debe existir c \in (a_1, a_2) tal que f'(c) = 0.

 

Sin embargo, la derivada de f(x) es

 

\displaystyle f'(x) = 3x^2 + 12x + 15 = 3(x^2 + 4x + 5)

 

cuyo discriminate es

 

\displaystyle \Delta = 4^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0

 

lo que significa que f'(x) no tiene raíces, es decir, no existen c \in \mathbb{R} tales que f'(c) = 0. Así, tenemos una contradicción.

 

Por tanto, concluimos que f(x) tiene, a lo más, una única raíz (diferente). Notemos que es todavía posible que hayan más raíces iguales (es decir, que la raíz tenga multiplicidad diferente a 1).

 

9 Demuestra que la ecuación 2x^3 - 6x + 1 = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0, 1).

 

De nuevo, procedemos por reducción al absurdo. No obstante, el procedimiento ahora será ligeramente diferente.

 

En primer lugar, sabemos que f(x) = 2x^3 - 6x + 1 tiene al menos una raíz al ser un polinomio impar. Pero no podemos asegurar con esto que la raíz está en el intervalo (0, 1). Para ello, evaluamos la función en los extremos del intervalo:

 

\displaystyle f(0) = 1

 

y

 

\displaystyle f(1) = 2 - 6 + 1 = -3

 

Así, f(0) < 0 < f(1). Luego, como f(x) es continua, entonces por el teorema del valor intermedio, existe a \in (0, 1) tal que f(a) = 0. Nota: no debemos confundir el teorema del valor intermedio con el teorema de Rolle.

 

Por reducción al absurdo, suponemos que existe más de una raíz real (diferente) en el intervalo (0, 1). Es decir, existen a_1, a_2 \in (0, 1), tales que a_1 \neq a_2, a_1 < a_2 y

 

\displaystyle f(a_1) = 0 = f(a_2)

 

Como f(x) es un polinomio, entonces es continuo y diferenciable. Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [a_1, a_2].

 

Así, debe existir c \in (a_1, a_2) \subseteq (0, 1) tal que f'(c) = 0. Notemos que se debe cumplir que 0 < c < 1.

 

Luego, la derivada de f(x) es

 

\displaystyle f'(x) = 6x^2 - 6

 

que al igualar a 0, tenemos

 

\displaystyle 6x^2 - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 6x^2 = 6

 

es decir x^2 = 1. Por tanto, las raíces son x_1 = -1 y x_2 = 1. Sin embargo, ninguna de esta raíces pertenece al intervalo (0, 1), lo cual contradice el teorema de Rolle.

 

Por tanto, concluimos que f(x) tiene una única raíz en el intervalo (0, 1).

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗