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El teorema de Rolle obtiene su nombre de Michel Rolle (1652 - 1719), un matemático francés. Rolle fue uno de los primeros matemáticos en trabajar en el desarrollo del cálculo, a pesar de que fue uno de los críticos de las bases de esta área. Asimismo, es uno de los inventores del procedimiento conocido como eliminación gausiana.
Enunciado del teorema
El teorema de Rolle nos permite afirmar si una función 
tiene un punto crítico en un intervalo dado. Este teorema se enuncia como sigue:
Teorema: Sea una función que
1 es continua en 
,
2 es derivable en 
,
3 y cumple que 
.
Entonces existe algún punto 
tal que 
.
Gráficamente el teorema se interpreta como que existe un punto en el que la recta tangente es parallela al eje-x (siempre que se cumplan las hipótesis del teorema). Justo como se observa la siguiente figura:
Si alguna de las hipótesis falla, entonces no podemos concluir que no existe punto tal que . Es decir, es posible que 
y que todavía exista un punto tal que 
.
Ejemplos y ejercicios
1 Verifica si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle para la siguiente función
en el intervalo 
.
Debemos verificar las tres hipótesis del teorema de Rolle:
\begin{enumerate}
\item Primero debemos comprobar que la función sea continua. Cada "trozo" de la función ya sabemos que sí es continua porque son polinomios. Por lo tanto, sólo debemos verificar la continuidad en el punto 
. Calculamos primero el límite por la izquierda:
y ahora calculamos el límite por la derecha:
Como los límites son iguales (y la función también vale 2 cuando ), entonces concluímos que la función es continua.
\item Ahora debemos verificar que la función sea diferenciable en todo el intervalo 
. Para empezar, la función es diferenciable en los intervalos 
y 
ya que en esos trozos, la función está definida por polinomios.
Por lo tanto, debemos comprobar que la función sea diferenciable en , para ello, calculamos las "derivadas laterales". Primero, encontramos la derivada de la función. Para el intervalo , tenemos:
mientras que para , la derivada es
De aquí se sigue que 
. Por lo tanto, la derivada no está definida en y la función no es diferenciable en todo el intervalo.
\end{enumerate}
Por tanto, una de las hipótesis falla. Así, no podemos utilizar el teorema de Rolle para asegurar la existencia de un valor 
tal que (de hecho, no existe ese valor).
2 ¿Se puede utilizar el teorema de Rolle en la función 
para el intervalo 
?
De nuevo, verificamos las hipótesis una por una:
1 Sabemos que la función 
es continua para todo 
. Por lo tanto, si el argumento de la función es mayor a cero (y contínuo), entonces sabremos que también es continua.
Como 
, entonces 
. De aquí se sigue que
Que, al restar 
a ambos lados, obtenemos
Por tanto, concluimos que 
. Además, 
es un polinomio (es decir, continuo y derivable). Así,
es también continua.
2 La comprobación de la diferenciabilidad es igual que la comprobación de la continuidad. Sabemos que es diferenciable en 
. Por lo tanto, mientras el argumento satisfaga que es mayor a 0 y sea diferenciable, entonces también lo será.
Como y es diferenciable, entonces es diferenciable también.
3 Por último, debemos verificar que 
:
mientraas que
por tanto, sí se cumple que .
Por tanto, concluímos que sí se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rollo. Así, debe existir algún 
tal que . De hecho, el valor de c es 
, el cual podemos obtener al calcular la derivada de .
3 Utiliza el teorema de Rolla para comprobar que 
tiene una única raíz.
Pista: utiliza el teorema de Rolle.
El polinomio 
es impar, por lo tanto sabemos que debe tener al menos una raíz. Es decir, existe un valor 
tal que 
.
Por reducción al absudo, supongamos que el polinomio tiene dos o más raíces diferentes. Sean estas raíces 
y 
, donde 
.
Sabemos que es un polinomio. Por lo tanto, es continuo y diferenciable en toda 
.
Además, como y son raíces, entonces 
.
Por tanto, las hipótesis del teorema de Rolle se cumplen para el intervalo 
. Así, por el teorema de Rolle, debe existir 
tal que .
Sin embargo, la derivada de es
la cual siempre es mayor a 0. Es decir, no existe tal que .
Así, tenemos una contradicción (decimos que existe y que no existe). Como esta contradicción surge de asumir que tiene dos o más raíces diferentes, entonces podemos concluir que tiene exactamente una raíz real.
4 ¿La función 
satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 
?
Comprobamos las hipótesis una por una:
1 Sabemos que la función 
(valor absoluto) es continua para todo 
. Por tanto, es continua.
2 Para comprobar que es diferenciable, notemos que:
por lo tanto, la función se puede escribir como
Luego calculamos las derivadas laterales en :
y
de donde se sigue que 
. Así, no es diferenciable en todo el intervalo 
.
En consecuencia, no se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle.
5 Verifica que la función 
satisfaga las hipótesis del teorema de Rolle en los intervalos 
y 
. En caso afirmativo, encuentra los valores tales que .
Como es un polinomio, entonces es continua y diferenciable en todo . Por lo tanto, sólo debemos verificar que
y que
Así, para 
:
para 
:
y para :
Por lo tanto, las hipótesis del teorema de Rolle se cumplen para el intervalo y .
Ahora encontramos los valores de tales que . Para hacerlo, primero encontramos la derivada de :
Ahora igualamos a 0:
de donde se sigue que
Así,
Notemos que 
y que 
. Con lo que encontramos los valores de tales que .
6 Verifica que la función 
satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 
.
Debemos verificar las hipótesis una por una. Sin embargo, la continuidad y la diferenciabilidad son muy sencillas ya que es un polinomio (y por tanto, diferenciable y continuo).
Así, sólo debemmos verificar que 
:
y
Por lo tanto 
.
Podemos concluir, entonces, que no se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle.
7 Demuestra que la ecuación 
tiene una única solución.
Pista: utiliza el teorema de Rolle.
Al igual que en algún ejercicio anterior, procedemos por reducción al absurdo.
En primer lugar, sabemos que 
tiene al menos una raíz al ser un polinomio impar.
Por reducción al absurdo, suponemos que existe más de una raíz real (diferente). Es decir, existen y , tales que 
, y
Como es un polinomio, entonces es continuo y diferenciable. Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo .
Así, debe existir tal que .
Sin embargo, la derivada de es
cuyo discriminate es
lo que significa que 
no tiene raíces, es decir, no existen 
tales que . Así, tenemos una contradicción.
Por tanto, concluimos que tiene, a lo más, una única raíz.
8 ¿Cuántas raíces tiene la ecuación 
?
Este ejercicio es muy similar al anterior.
En primer lugar, sabemos que 
tiene al menos una raíz, debido a que es un polinomio de grado impar.
Ahora suponemos que existe más de una raíz real (diferente). Es decir, que existen y , tales que , y
De nuevo, como es un polinomio, entonces es continuo y diferenciable. Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo .
Así, debe existir tal que .
Sin embargo, la derivada de es
cuyo discriminate es
lo que significa que no tiene raíces, es decir, no existen tales que . Así, tenemos una contradicción.
Por tanto, concluimos que tiene, a lo más, una única raíz (diferente). Notemos que es todavía posible que hayan más raíces iguales (es decir, que la raíz tenga multiplicidad diferente a 1).
9 Demuestra que la ecuación 
tiene una única solución real en el intervalo .
De nuevo, procedemos por reducción al absurdo. No obstante, el procedimiento ahora será ligeramente diferente.
En primer lugar, sabemos que 
tiene al menos una raíz al ser un polinomio impar. Pero no podemos asegurar con esto que la raíz está en el intervalo . Para ello, evaluamos la función en los extremos del intervalo:
y
Así, 
. Luego, como es continua, entonces por el teorema del valor intermedio, existe 
tal que . Nota: no debemos confundir el teorema del valor intermedio con el teorema de Rolle.
Por reducción al absurdo, suponemos que existe más de una raíz real (diferente) en el intervalo . Es decir, existen 
, tales que , y
Como es un polinomio, entonces es continuo y diferenciable. Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo .
Así, debe existir 
tal que . Notemos que se debe cumplir que 
.
Luego, la derivada de es
que al igualar a 0, tenemos
es decir 
. Por tanto, las raíces son 
y 
. Sin embargo, ninguna de esta raíces pertenece al intervalo , lo cual contradice el teorema de Rolle.
Por tanto, concluimos que tiene una única raíz en el intervalo .
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La descripcion es erronea donde da la derivada de arcocotangente, ya que dice derivada de arcotangete, se comieron el co, lo que puede llevar a confunciones, como en mi caso que pense que era la derivada de la inversa de tangente, cuando era la derivada de la inversa de cotangente.
Hola entendemos la confusión, pero como sabes en cada lugar toman la notación en forma diferente, en este caso se tomo arccot(x) donde se repite la c para diferenciar de arctan(x).
me pueden ayudar encontrar la derivada de : y=7 elevado a la 4 + e elevado a la x-4 – ln X + 100
Medio tarde me parece mi respuesta, pero simplemente tenes que derivar cada termino independientemente:
7^4=(7.4)^3
e^x-4=e^x-4 (por formula)
lnx=1/x
100=0 (Derivando una constante en terminos de x)
Excelente contenido. Creo es posible mejorar el contenido para que sea más didáctico con más ejemplos, partiendo de lo elemental a lo complejo, para que el texto pueda ser más entendible para estudiantes de secundaria en Costa Rica.
Excelente artículo y muy dinámico.
Agradecemos tu comentario, la verdad estamos trabajando mucho para lograr tener las mejores explicaciones para que sea mas entendible al publico y para ello lo que ustedes recomienden nos ayuda en gran forma, esperamos que en un futuro seamos mejores siguiendo sus sugerencias, otra vez gracias.
Hola podrías hacernos el favor de mostrarnos la función para dar una mejor explicación.