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Formula para derivar una función logarítmica
Derivada con logaritmo neperiano
Ejercicios de derivada de la función logaritmica

Formula para derivar una función logarítmica

Cuando tenemos una función logarítmica

$f(x)=\log_a u$

usaremos la siguiente formula para derivarla:

$\displaystyle f'(x)=\frac{u'}{u}\cdot \log_a e$

O visto de otra forma, como

$\displaystyle \log _a e = \frac{ln \ e}{ln \ a}= \frac{1}{ln \ a}$

Entonces, la formula descrita arriba, es equivalente a:

$\displaystyle f'(x)=\frac{u'}{u} \cdot \frac{1}{\ln a}$

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Derivada con logaritmo neperiano

Si tengo una función con logaritmo natural o neperiano

$f(x)=\ln u$

La derivada es

$\displaystyle f'(x)= \frac{u'}{u}$

Ejercicios de derivada de la función logaritmica

1 $\displaystyle f(x)=\log_2 (x^4-3x)$

$\displaystyle f(x)=\log_2 (x^4-3x)$

Identificamos $u$ y derivamos

$\displaystyle u=x^4-3x$

$\displaystyle u'=4x^3-3$

Usamos la fórmula de la derivada de funciones logarítmicas

$\displaystyle f'(x)=\frac{4x^3-3}{x^4-3x} \cdot \log_2 e$

2 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\log_4 3x}$

$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\log_4 3x}$

Para derivar necesitamos mostrar a $f$ como composición de dos funciones derivables

$\displaystyle h(x)=\sqrt[3]{x} \hspace{2cm} g(x)=\log_4 3x$

Entonces

$\displaystyle f(x)=h(g(x))=\sqrt[3]{\log_4 3x}$

Derivamos $h$ y $g$ , tomando en cuenta la fórmula para derivar funciones logarítmicas

$\displaystyle h'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\hspace{2cm} g'(x)=\frac{3}{3x}\cdot \log_4 e$

Usamos regla de la cadena y desarrollamos

$\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)$

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(\log_4 3x)^2}}\cdot \frac{3}{3x}\cdot \log_4 e= \frac{\log_4 e}{3x \sqrt[3]{(\log_4 3x)^2}}$

3 $\displaystyle f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos

$\displaystyle f(x)= \ln (1-x) - \ln (1+x)$

Derivamos y desarrollamos

$\displaystyle f'(x)=\frac{-1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=\frac{-1-x-1+x}{(1-x)(1+x)}=\frac{-2}{1-x^2}$

4 $\displaystyle f(x)= \log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) =\frac{1}{2}[\log (1+x)-\log (1-x)]$

Derivamos y desarrollamos

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x}\cdot \log e +\frac{1}{1-x}\cdot \log e \right) =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right) \log e$

$\displaystyle f'(x)= \frac{1}{2} \left( \frac{1-x+1+x}{1-x^2}\right) \log e = \frac{1}{1-x^2}\cdot \log e$

5 $\displaystyle f(x)=x^5\cdot \ln x$

$\displaystyle f(x)=x^5\cdot \ln x$

Notamos que la función es un producto de funciones

$\displaystyle u=x^5\hspace{2cm} v= \ln x$

Derivamos tomando en cuenta la fórmula para derivar funciones logarítmicas

$\displaystyle u'=5x^4\hspace{2cm} v'= \frac{1}{x}$

Usamos regla del producto

$\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$

Sustituimos y desarrollamos

$\displaystyle f'(x)= 5x^4 \cdot \ln x+x^5\cdot \frac{1}{x}= 5x^4 \cdot \ln x +x^4=x^4(5\ln x +1)$

6 $\displaystyle f(x)=\ln^5 3x=(\ln 3x)^5$

$\displaystyle f(x)=\ln^5 3x=(\ln 3x)^5$

Para derivar necesitamos mostrar a $f$ como composición de dos funciones derivables

$\displaystyle h(x)=x^5 \hspace{2cm} g(x)=\ln 3x$

Entonces

$\displaystyle f(x)=h(g(x))=(\ln 3x)^5$

Derivamos $h$ y $g$ , tomando en cuenta la fórmula para derivar funciones logarítmicas

$\displaystyle h'(x)=5x^4 \hspace{2cm} g'(x)=\frac{3}{3x}$

Usamos regla de la cadena y desarrollamos

$\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)$

$\displaystyle f'(x)=5\cdot (\ln 3x)^4 \cdot \frac{3}{3x}=\frac{5}{x}\cdot \ln^4 3x$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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José

Octubre 2020

Hola Profe Marta, espero se encuentre muy bien!. Le tengo varias consultas.

¿Para que sirve la derivada de la función Ln (x)?

Nombra un uso para la derivación de una función ln

¿ Cual sería un ejemplo de aplicación de la derivación de una función ln ?

La agradecería todo su apoyo y colaboración, por favor!

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Noviembre 2020

Hola José.

Conociendo la derivada de la función $ln(x)$ , podemos resolver cierto tipo de integrales con mayor facilidad haciendo un cambio de variable, por ejemplo:
$\int \frac{1}{x-6}dx$

Si queremos resolver esta integral, hacemos un cambio de variable y tomamos: $u=x-6$ , $du=dx$

$\int \frac{1}{x-6}=\int \frac{1}{u}du$

Ya que sabemos que $ln(x)$ es la anti-derivada de $1/x$ , tenemos:

$\int \frac{1}{x-6}=\int \frac{1}{u}du=ln(u)=ln(x-6)+c$

La derivada de la función $ln(x)$ , nos sirve para encontrar la tasa de cambio de sucesos que sean descritos por medio de una función logarítmica.

Saludos.

Brandon

Junio 2021

Profe Marta, le envío un cordial saludo esperando se encuentre bien de salud, el motivo de mi consulta es el siguiente, me piden derivar:
log base 3√X^2+17=2 espero ilumine mi entendimiento con su acertada explicación sin otro en particular reciba un cordial saludo.

Luis Williams

Septiembre 2021

Hola buenas tardes profesor, espero se encuentre bien, tengo una na pregunta hay algun documento libro de educación media que contenga el números irracionales E?. o algun documento que analisis sobre derivada de función logarítmica ?

Christian Chavez

Abril 2021

¿Cuál es la fórmula para derivar estas primitivas?

y=lnu? y=lnx?

Juan Manuel Gómez

Noviembre 2021

Y si la derivada es así f(x) =×^2 ln ×^2

Juan Manuel Gómez

Noviembre 2021

Y si la derivada es así f(x) =×^2 ln ×^2

carmen

Septiembre 2021

Aplique la función logaritmo natural al seno de 4z

Maria

Noviembre 2021

Yo Me podrían ayudar con esta función logaritmica f(x)=In(x^4)

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