Formula para derivar una función logarítmica

 

Cuando tenemos una función logarítmica

f(x)=\log_a u

usaremos la siguiente formula para derivarla:

\displaystyle f'(x)=\frac{u'}{u}\cdot \log_a e

O visto de otra forma, como

\displaystyle \log _a e = \frac{ln \ e}{ln \ a}= \frac{1}{ln \ a}

Entonces, la formula descrita arriba, es equivalente a:

\displaystyle f'(x)=\frac{u'}{u} \cdot \frac{1}{\ln a}

 

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Vamos

Derivada con logaritmo neperiano

 

Si tengo una función con logaritmo natural o neperiano

f(x)=\ln u

La derivada es

 \displaystyle f'(x)= \frac{u'}{u}

 

Ejercicios de derivada de la función logaritmica

 

1 \displaystyle f(x)=\log_2 (x^4-3x)

 

\displaystyle f(x)=\log_2 (x^4-3x)

Identificamos u y derivamos

\displaystyle u=x^4-3x

\displaystyle u'=4x^3-3

Usamos la fórmula de la derivada de funciones logarítmicas

\displaystyle f'(x)=\frac{4x^3-3}{x^4-3x} \cdot  \log_2 e

 

2 \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\log_4 3x}

 

\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\log_4 3x}

Para derivar necesitamos mostrar a f como composición de dos funciones derivables

\displaystyle h(x)=\sqrt[3]{x} \hspace{2cm} g(x)=\log_4 3x

Entonces

\displaystyle f(x)=h(g(x))=\sqrt[3]{\log_4 3x}

Derivamos h y g, tomando en cuenta la fórmula para derivar funciones logarítmicas

\displaystyle h'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\hspace{2cm} g'(x)=\frac{3}{3x}\cdot \log_4 e

Usamos regla de la cadena y desarrollamos

\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(\log_4 3x)^2}}\cdot \frac{3}{3x}\cdot \log_4 e= \frac{\log_4 e}{3x \sqrt[3]{(\log_4 3x)^2}}

 

3 \displaystyle f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos

\displaystyle f(x)= \ln (1-x) - \ln (1+x)

Derivamos y desarrollamos

\displaystyle f'(x)=\frac{-1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=\frac{-1-x-1+x}{(1-x)(1+x)}=\frac{-2}{1-x^2}

 

4 \displaystyle f(x)= \log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos

\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) =\frac{1}{2}[\log (1+x)-\log (1-x)]

Derivamos y desarrollamos

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x}\cdot \log e +\frac{1}{1-x}\cdot \log e \right) =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right) \log e

\displaystyle f'(x)= \frac{1}{2} \left( \frac{1-x+1+x}{1-x^2}\right) \log e = \frac{1}{1-x^2}\cdot \log e

 

5 \displaystyle f(x)=x^5\cdot \ln x

 

\displaystyle f(x)=x^5\cdot \ln x

Notamos que la función es un producto de funciones

\displaystyle u=x^5\hspace{2cm} v= \ln x

Derivamos tomando en cuenta la fórmula para derivar funciones logarítmicas

\displaystyle u'=5x^4\hspace{2cm} v'= \frac{1}{x}

Usamos regla del producto

\displaystyle (uv)'=u'v+uv'

Sustituimos y desarrollamos

\displaystyle f'(x)= 5x^4 \cdot \ln x+x^5\cdot \frac{1}{x}= 5x^4 \cdot \ln x +x^4=x^4(5\ln x +1)

6 \displaystyle f(x)=\ln^5 3x=(\ln 3x)^5

 

\displaystyle f(x)=\ln^5 3x=(\ln 3x)^5

Para derivar necesitamos mostrar a f como composición de dos funciones derivables

\displaystyle h(x)=x^5 \hspace{2cm} g(x)=\ln 3x

Entonces

\displaystyle f(x)=h(g(x))=(\ln 3x)^5

Derivamos h y g, tomando en cuenta la fórmula para derivar funciones logarítmicas

\displaystyle h'(x)=5x^4 \hspace{2cm} g'(x)=\frac{3}{3x}

Usamos regla de la cadena y desarrollamos

\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)

\displaystyle f'(x)=5\cdot (\ln 3x)^4 \cdot \frac{3}{3x}=\frac{5}{x}\cdot \ln^4 3x

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗