La derivada de una función {f(x)} es una función que mide la razón de cambio instantánea de {f} en {x}. Desde un punto de vista geométrico, la derivada es la función que asigna a cada punto en la gráfica de {f}, la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto

 

La derivada se denota por {f'(x)} y se expresa como

 

f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

 

Como calcular la derivada

 

Para calcular la derivada de una función basta con sustituir y calcular el límite en la expresión para la derivada; sin embargo, en ocasiones esto puede generar confusión al momento de realizar el desarrollo de toda la expresión. Por ello, es recomendable llevarlo a cabo en varios pasos

 

1 Calcular {f(x + h)}

 

2 Hallar la diferencia {f(x+h) - f(x)}

 

3 Calcular el cociente {\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

 

4 Hallar el límite cuando {h} tiende a {0}

 

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Ejemplos de derivada

 

Ejemplo 1: Determinar la derivada de {f(x)=x^2 - x + 1} empleando la definición con límites.

 

Para encontrar la derivada llevamos a cabo los cuatro pasos

 

1 Calcular {f(x + h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x+h)^2 - (x+h) + 1 \\\\ & = & x^2 + 2hx + h^2 -x - h + 1 \end{array}}

 

2 Hallar la diferencia {f(x+h) - f(x)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) - f(x) & = & x^2 + 2hx + h^2 -x - h + 1 - (x^2 - x + 1)\\\\ & = &  h^2 + 2hx - h \\\\ & = & h(h + 2x - 1) \end{array}}

 

3 Calcular el cociente {\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{h(h + 2x - 1)}{h} \\\\ & = & h + 2x - 1\end{array}}

 

4 Hallar el límite cuando {h} tiende a {0}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (h + 2x - 1) \\\\ & = & 2x - 1 \end{array}}

 

Ejemplo 2: Determinar la derivada de {f(x) = \displaystyle \frac{1}{x - 2}} empleando la definición con límites.

 

Para encontrar la derivada llevamos a cabo los cuatro pasos

 

1 Calcular {f(x + h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{1}{x + h - 2}\end{array}}

 

2 Hallar la diferencia {f(x+h) - f(x)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) - f(x) & = & \displaystyle \frac{1}{x + h - 2} - \displaystyle \frac{1}{x - 2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{x - 2 - (x + h - 2)}{(x - 2)(x + h - 2)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{- h}{(x - 2)(x + h - 2)} \end{array}}

 

3 Calcular el cociente {\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{- h}{(x - 2)(x + h - 2)}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{- 1}{(x - 2)(x + h - 2)} \end{array}}

 

4 Hallar el límite cuando {h} tiende a {0}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x - 2)(x + h - 2)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{- 1}{(x - 2)^2} \end{array}}

 

Derivada de las funciones a trozos

 

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

 

Si ambas derivadas laterales son distintas en el punto en cuestión, entonces la función no es derivable en dicho punto.

 

Ejemplo 1: Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

 

1 Escribimos {f} como una función a trozos

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} - x & \text{si} \ x<0, \\ x & \text{si} \ x \ge 0 \end{array} \right.}

 

2 Calculamos las derivadas laterales en el punto de separación {x = 0}

 

{\begin{array}{rcl}f'(0^-) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{- (0 + h) - (-0)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} \\\\ & = & - 1 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(0^+) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(0 + h) - (0)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \\\\ & = & 1 \end{array}}

 

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, entonces la función no es derivable en dicho punto.

 

ejemplo de derivada de funciones a trozos 1

 

Ejemplo 2: Estudiar la derivabilidad de la función {f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} - x & \text{si} \ x<0, \\ x^2 & \text{si} \ x \ge 0 \end{array} \right.}

 

1 Calculamos las derivadas laterales en el punto de separación {x = 0}

 

{\begin{array}{rcl}f'(0^-) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{- (0 + h) - (-0)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} \\\\ & = & - 1 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(0^+) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(0 + h)^2 - (0)^2}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} \\\\ & = & 0 \end{array}}

 

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, entonces la función no es derivable en dicho punto.

 

ejemplo de derivada de funciones a trozos 2

 

Ejemplo 3: Estudiar la derivabilidad de la función {f(x) = |x+2|}.

 

1 Escribimos {f} como una función a trozos

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} - x - 2 & \text{si} \ x<-2, \\ x + 2 & \text{si} \ x \ge -2 \end{array} \right.}

 

2 Calculamos las derivadas laterales en el punto de separación {x = -2}

 

{\begin{array}{rcl}f'(-2^-) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-2 - h -2 - (-2 - 2)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} \\\\ & = & - 1 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(-2^+) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-2 + h + 2 - (-2 + 2)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \\\\ & = & 1 \end{array}}

 

Puesto que las derivadas laterales en x = -2 son distintas, entonces la función no es derivable en dicho punto.

 

ejemplo derivada de funcion a trozos 3

 

Ejemplo 4: Estudiar la derivabilidad de la función {f(x) = |x^2 - 5x + 6|}.

 

1 Escribimos {f} como una función a trozos

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} x^2 - 5x + 6 & \text{si} \ x<2, \\ -x^2 +5x - 6 & \text{si} \ 2 \le x < 3, \\ x^2 - 5x + 6 & \text{si} \ x \ge 3, \end{array} \right.}

 

2 Calculamos las derivadas laterales en el punto de separación {x = 2}

 

{\begin{array}{rcl}f'(2^-) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 5(2+h) + 6 - (2^2  -5(2) + 6)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h(h-1)}{h} \\\\ & = & -1 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(2^+) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-(2 + h)^2 + 5(2 + h) - 6 - (-2^2 + 5(2) -6)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h(1 - h)}{h} \\\\ & = & 1 \end{array}}

 

Puesto que las derivadas laterales en x = 2 son distintas, entonces la función no es derivable en dicho punto.

 

Calculamos las derivadas laterales en el punto de separación {x = 3}

 

{\begin{array}{rcl}f'(3^-) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-(3 + h)^2 + 5(3+h) - 6 - (-3^2 + 5(3) - 6)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-h(h+1)}{h} \\\\ & = & -1 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(3^+) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^2 - 5(3 + h) + 6 - (3^2 - 5(3) + 6)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h(1 + h)}{h} \\\\ & = & 1 \end{array}}

 

Puesto que las derivadas laterales en x = 3 son distintas, entonces la función no es derivable en dicho punto.

 

ejemplo drivada de funciones a trozos 4

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗