¿Cómo derivar una potencia?

 

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

 

{f(x) = u^k \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(x) = k \cdot u^{k - 1} \cdot u'}

 

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

 

{f(x) = x^k \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(x) = k \cdot x^{k - 1}}

 

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Ejercicios propuestos

 

Encuentra la derivada de las siguientes funciones potencia

1{f(x) = x^4}

1Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 4 \cdot x^{4 - 1} \\\\ & = & 4x^3 \end{array}}

2{f(x) = x^{-4}}

1Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & -4 \cdot x^{-4 - 1} \\\\ & = & -4 x^{-5} \end{array}}

 

2Aplicamos las propiedades de los exponentes

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{4}{x^5} \end{array}}

3{f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}

1Expresamos la fracción como función potencia

 

{\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} \\\\ & = & x^{-1/2} \end{array}}

 

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{1}{2} \cdot x^{-1/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{1}{2} x^{-3/2} \end{array}}

 

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{1}{2x^{3/2}} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{1}{2 \sqrt{x^3}} \end{array}}

4{f(x) = \displaystyle \frac{5}{x^5}}

1Expresamos la fracción como función potencia

 

{\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{5}{x^5} \\\\ & = & 5x^{-5} \end{array}}

 

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -5 \cdot 5x^{-5 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -25 x^{-6} \end{array}}

 

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -25 x^{-6} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{25}{x^6} \end{array}}

5{f(x) = \displaystyle \frac{5}{x^5} + \frac{3}{x^2}}

1Expresamos la fracción como función potencia

 

{\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{5}{x^5} + \frac{3}{x^2} \\\\ & = & 5x^{-5} + 3x^{-2} \end{array}}

 

2Como la base de cada término es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -5 \cdot 5x^{-5 - 1} + (-2) \cdot 3x^{-2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -25 x^{-6} - 6x^{-3} \end{array}}

 

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -25 x^{-6} - 6x^{-3} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{25}{x^6} - \frac{6}{x^3} \end{array}}


6{f(x) = \displaystyle \sqrt{x}}

1Expresamos la raíz como función potencia

 

{\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \sqrt{x} \\\\ & = & x^{1/2} \end{array}}

 

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \left ( \frac{1}{2} \right ) \cdot x^{1/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} x^{-1/2} \end{array}}

 

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{1}{2} x^{-1/2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{x}}  \end{array}}

7{f(x) = \displaystyle \frac{1}{x \sqrt{x}}}

1Expresamos la fracción como función potencia

 

{\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{1}{x \sqrt{x}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{x^{3/2}} \\\\  & = & x^{-3/2} \end{array}}

 

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{3}{2} \cdot x^{-3/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{3}{2} x^{-5/2} \end{array}}

 

3Aplicamos las propiedades de los exponentes y expresamos mediante raíces cuadradas

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{3}{2} x^{-5/2} \\\\  & = &  \displaystyle -\frac{3}{2x^{5/2}} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{3}{2 \sqrt{x^5}} \end{array}}

8{f(x) = \displaystyle \sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x}}

1Expresamos como función potencia

 

{\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x} \\\\ & = & x^{2/3} + x^{1/2}  \end{array}}

 

2Como la base de cada término de la suma es la función identidad, la derivada es igual a la suma de las derivadas de cada término, la cual es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{2}{3} \cdot x^{2/3 - 1} + \frac{1}{2} \cdot x^{1/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{1}{2} x^{-1/2} \end{array}}

 

3Aplicamos las propiedades de los exponentes y expresamos mediante raíces cuadradas

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{1}{2} x^{-1/2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2}{3x^{1/3}} + \frac{1}{2x^{1/2}}  \\\\ & = & \displaystyle \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}}

9{f(x) = \left ( x^2 + 3x - 2 \right )^4}

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 4 \cdot \left ( x^2 + 3x - 2 \right )^{4 - 1} \cdot (2 \cdot x + 3 \cdot 1) \\\\ & = & 4 \left ( x^2 + 3x - 2 \right )^{3}  (2 x + 3)  \end{array}}

10{f(x) = \displaystyle \left ( 2x - \frac{1}{2} \right )^3}

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle 3 \cdot \left ( 2x - \frac{1}{2} \right )^{3 - 1} \cdot (2\cdot 1) \\\\ & = & \displaystyle 6 \left ( 2x - \frac{1}{2} \right )^{2} \end{array}}

11{f(x) = \displaystyle sen^3 \, 3x}

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle 3 \cdot sen^{3 - 1} 3x  \cdot (3 \, cos \, 3x) \\\\ & = & \displaystyle 9 \, sen^2 \, 3x \, cos \, 3x \end{array}}

12{f(x) = \displaystyle sen^2 \, (cos \, 2x)}

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle 2 \cdot sen^{2 - 1} (cos \, 2x) \cdot \left [cos \, (cos \, 2x) \cdot (- sen \, 2x) \cdot (2 \cdot 1) \right] \\\\ & = & \displaystyle -4 \, sen \, (cos \, 2x) \, cos \, ( cos \, 2x) \, sen \, 2x \end{array}}

 

2El resultado anterior se puede expresar de forma simplificada empleando la identidad trigonométrica {sen \, 2\theta = 2 \, sen \, \theta \, cos \, \theta}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -4 \, sen \, (cos \, 2x) \, cos \, ( cos \, 2x) \, sen \, 2x \\\\ & = & -2 \, sen \, 2x \left [sen \, (2 \, cos \, 2x) \right ] \end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗