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Marta

20 octubre 2020

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¿Cómo derivar una potencia?
Ejercicios propuestos

¿Cómo derivar una potencia?

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

${f(x) = u^k \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(x) = k \cdot u^{k - 1} \cdot u'}$

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

${f(x) = x^k \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(x) = k \cdot x^{k - 1}}$

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Ejercicios propuestos

Encuentra la derivada de las siguientes funciones potencia

1 ${f(x) = x^4}$

1Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 4 \cdot x^{4 - 1} \\\\ & = & 4x^3 \end{array}}$

2 ${f(x) = x^{-4}}$

1Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & -4 \cdot x^{-4 - 1} \\\\ & = & -4 x^{-5} \end{array}}$

2Aplicamos las propiedades de los exponentes

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{4}{x^5} \end{array}}$

3 ${f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$

1Expresamos la fracción como función potencia

${\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} \\\\ & = & x^{-1/2} \end{array}}$

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{1}{2} \cdot x^{-1/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{1}{2} x^{-3/2} \end{array}}$

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{1}{2x^{3/2}} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{1}{2 \sqrt{x^3}} \end{array}}$

4 ${f(x) = \displaystyle \frac{5}{x^5}}$

1Expresamos la fracción como función potencia

${\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{5}{x^5} \\\\ & = & 5x^{-5} \end{array}}$

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -5 \cdot 5x^{-5 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -25 x^{-6} \end{array}}$

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -25 x^{-6} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{25}{x^6} \end{array}}$

5 ${f(x) = \displaystyle \frac{5}{x^5} + \frac{3}{x^2}}$

1Expresamos la fracción como función potencia

${\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{5}{x^5} + \frac{3}{x^2} \\\\ & = & 5x^{-5} + 3x^{-2} \end{array}}$

2Como la base de cada término es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -5 \cdot 5x^{-5 - 1} + (-2) \cdot 3x^{-2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -25 x^{-6} - 6x^{-3} \end{array}}$

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -25 x^{-6} - 6x^{-3} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{25}{x^6} - \frac{6}{x^3} \end{array}}$

6 ${f(x) = \displaystyle \sqrt{x}}$

1Expresamos la raíz como función potencia

${\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \sqrt{x} \\\\ & = & x^{1/2} \end{array}}$

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \left ( \frac{1}{2} \right ) \cdot x^{1/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} x^{-1/2} \end{array}}$

3Aplicamos las propiedades de los exponentes

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{1}{2} x^{-1/2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}}$

7 ${f(x) = \displaystyle \frac{1}{x \sqrt{x}}}$

1Expresamos la fracción como función potencia

${\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \frac{1}{x \sqrt{x}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{x^{3/2}} \\\\ & = & x^{-3/2} \end{array}}$

2Como la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{3}{2} \cdot x^{-3/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{3}{2} x^{-5/2} \end{array}}$

3Aplicamos las propiedades de los exponentes y expresamos mediante raíces cuadradas

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -\frac{3}{2} x^{-5/2} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{3}{2x^{5/2}} \\\\ & = & \displaystyle -\frac{3}{2 \sqrt{x^5}} \end{array}}$

8 ${f(x) = \displaystyle \sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x}}$

1Expresamos como función potencia

${\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle \sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x} \\\\ & = & x^{2/3} + x^{1/2} \end{array}}$

2Como la base de cada término de la suma es la función identidad, la derivada es igual a la suma de las derivadas de cada término, la cual es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{2}{3} \cdot x^{2/3 - 1} + \frac{1}{2} \cdot x^{1/2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{1}{2} x^{-1/2} \end{array}}$

3Aplicamos las propiedades de los exponentes y expresamos mediante raíces cuadradas

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{1}{2} x^{-1/2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2}{3x^{1/3}} + \frac{1}{2x^{1/2}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}}$

9 ${f(x) = \left ( x^2 + 3x - 2 \right )^4}$

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 4 \cdot \left ( x^2 + 3x - 2 \right )^{4 - 1} \cdot (2 \cdot x + 3 \cdot 1) \\\\ & = & 4 \left ( x^2 + 3x - 2 \right )^{3} (2 x + 3) \end{array}}$

10 ${f(x) = \displaystyle \left ( 2x - \frac{1}{2} \right )^3}$

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle 3 \cdot \left ( 2x - \frac{1}{2} \right )^{3 - 1} \cdot (2\cdot 1) \\\\ & = & \displaystyle 6 \left ( 2x - \frac{1}{2} \right )^{2} \end{array}}$

11 ${f(x) = \displaystyle sen^3 \, 3x}$

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle 3 \cdot sen^{3 - 1} 3x \cdot (3 \, cos \, 3x) \\\\ & = & \displaystyle 9 \, sen^2 \, 3x \, cos \, 3x \end{array}}$

12 ${f(x) = \displaystyle sen^2 \, (cos \, 2x)}$

1Como la base no es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle 2 \cdot sen^{2 - 1} (cos \, 2x) \cdot \left [cos \, (cos \, 2x) \cdot (- sen \, 2x) \cdot (2 \cdot 1) \right] \\\\ & = & \displaystyle -4 \, sen \, (cos \, 2x) \, cos \, ( cos \, 2x) \, sen \, 2x \end{array}}$

2El resultado anterior se puede expresar de forma simplificada empleando la identidad trigonométrica ${sen \, 2\theta = 2 \, sen \, \theta \, cos \, \theta}$

${\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle -4 \, sen \, (cos \, 2x) \, cos \, ( cos \, 2x) \, sen \, 2x \\\\ & = & -2 \, sen \, 2x \left [sen \, (2 \, cos \, 2x) \right ] \end{array}}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Rubio

Abril

Puede explicarme como obtener las derivadas de estos: ?
(2+x)^2 (1-x)^2
(x-1)^2 (x+2)

Luis Ernesto Sanchez Perez

Junio

Buen día

Las derivadas de funciones tipo (x + a)^n, se obtiene por sustitución, sustituyes x + a = u, entonces, por regla de la cadena

((u)^n)’ ) = n u^{n – 1} u’

Así, para (2+x)^2, u = 2 + x y u’ = (2 + x)’ = 1

(u^2)’ = 2u u’ = 2(2 + x)*1 = 4 + 4x

Las demás se resuelven de la misma manera. Igual te invito a investigar sobre la regla de la cadena para derivar.

Saludos

zopilota

Abril

g(x) = in x^2 / x^2 – derivada por la regla de la cadena.

Michell

Diciembre

Dx²(8x³+3)
Me puede explicar cómo resolver ese problema con regla de la cadena y derivada

pol

Noviembre

como son los pasos para la derivada de 1 sobre 3x al cuadrado ???

Nohemy

Marzo

Porfa ayudame con este problema procedimiento. Y=x2-arctgx

Maribel

Noviembre

Quisiera saber la derivada de f(x)=3x^2
Por el método de definición

miguel angel

Febrero

me puede explica varios de estos
13) f(x) = Ln 9000×3 – 567×2

LA POSICION DEL JOVEN CRISTIAN ROSARIO EN EL TIEMPO t= 5 HORAS ESTA DADA
POR f(t) = 8t^4 – 5t^3 + 2t – 30 KILOMETROS. CALCULE EL MODULO DE LA VELO-
CIDAD ALCANZADA POR EL EN SU JEEPETA.
t este f(x) = X

miguel angel

Febrero

ayuda me de esta deribada
– LA COMPAÑIA DESTINADA A FABRICAR CHIPS(MICROPROCESADORES) DEL JOVEN KEVIN ROSARIO Y DE LA JOVEN ELANNI GARCIA QUIERE SABER: a) EL INGRESO MAXIMO DADO POR ING(X) = 400X – X^2. b) LA CANTIDAD DE CHIPS PARA ESE INGRESO. C) EL COSTO DE PRODUCCION( C= 270 + 60X) DE DICHOS CHIPS. d) LA UTILIDADA MAXIMA DE DICHA PRODUCCION DADA POR U(X) = ( INGRESO – COSTO) = – X^2 + 460X – 270

LaParita

Febrero

F (X) = -4X⁶ + 6X³ – 12X³ – 10X² + 6
Ayudenme ahí🙏🏼

Rafa

Febrero

Alguien me podría ayudar en esto por favor.
f(x)= 17^(3x^5+1)/(7x^(3/2) )

zopilota

Abril

g(x) = in x^2 / x^2 – derivada por la regla de la cadena.

Derivada de una potencia

¿Cómo derivar una potencia?

Ejercicios propuestos

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Resumen

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Resumen de derivadas

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Interpretación física de la derivada

Derivadas laterales

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Derivacion de una composicion de funciones

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