¿Que es la regla de la cadena?

 

Muy seguido, aparecen funciones que presentan una estructura más elaborada y que se deben derivar, donde una derivación directa no es posible con las fórmulas habituales.

 

Por esta razón resulta útil conocer más herramientas y darnos cuenta de la forma en que ya es posible ir derivando a las funciones mencionadas.

 

Cuando nos  referimos a funciones más elaboradas, hablamos de funciones que se construyen de la composición de otras dos.

 

Veamos, si tenemos a estas dos funciones

 

  • f(x)=\sin x

 

  • g(x)=3x^6

 

entonces podemos crear a una nueva función usando composición

 

f(g(x))=\sin(g(x))=\sin(3x^6)

 

y con esto preguntarnos ¿cuál es la derivada de la nueva función \sin(3x^6)?

 

Para responder esta pregunta, necesitamos utilizar la siguiente fórmula

 

Fórmula de la regla de la cadena

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}f(g(x))=\left.\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \right|_{g(x)} \cdot \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}

 

¿Cómo derivamos con la regla de la cadena?

 

La regla de la cadena, nos permite conocer la derivada de una función compuesta, utilizando las derivadas de las funciones que la componen, el proceso de derivación es muy simple y lo podemos efectuar siguiendo los siguientes pasos (utilicemos como referencia a la función mencionada):

 

  • Si debemos derivar a la función h(x)=\sin(3x^6), que se construye de la composición de otras dos funciones h(x)=f(g(x)), lo primero que debemos hacer es identificar tanto a f(x)=\sin x como a g(x)=3x^6

 

  • Una vez identificadas a las funciones, debemos derivar a f(x)=\sin x

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}=\displaystyle \frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x}=\cos x

 

  • Al resultado de la derivada de f(x), lo debemos evaluar con g(x)

 

\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \right|_{g(x)} = \left.\frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x} \right|_{3x^6}=\left. \cos x \right|_{3x^6}=\cos(3x^6)

 

  • Ahora derivemos a g(x)

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}3x^6=18x^5

 

  • Finalmente multipliquemos a los dos resultados para tener a la derivada de h(x)

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sin(3x^6)=\cos(3x^6) \cdot 18x^5

 

Con este proceso ya podemos tener a la derivada deseada. Es importante mencionar que con más práctica es posible efectuar el procedimiento de manera más rápida, una vez identificados los pasos a seguir claro.

 

Ejemplos de ejercicios usando la regla de la cadena

 

1 Derivar a la función h(x)=\cos(3^x)

 

Sigamos el proceso:

 

  • Identifiquemos a las funciones f(x)=\cos x, g(x)=3^x

 

  • Derivemos a f(x)

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d} \cos x}{\mathrm{d} x}=-\sin x

 

  • Evaluemos el resultado con g(x)=3^x

 

\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} \cos x}{\mathrm{d} x} \right|_{3^x}=\left. -\sin x \right|_{3^x}=-\sin(3^x)

 

  • Derivemos a g(x)

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d} 3^x}{\mathrm{d} x}=3^x \ln (3)

 

  • Multipliquemos ambos resultados

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d} \cos(3^x)}{\mathrm{d} x}=-3^x \ln (3)\sin(3^x)

 

y con este proceso ya tenemos a la derivada de la función h(x).

 

Es importante mencionar, que existen ocasiones donde no solamente hay una composición, sino que puede haber varias, en ese caso la regla de la cadena sigue siendo válida, solamente que ahora la aplicamos varias veces hasta que terminemos de derivar.

 

El proceso también, lo desarrollaremos de manera directa sin mencionar los pasos en específico, el propósito es adquirir mayor habilidad para su manejo.

 

2 Derivar a la función \tan(\ln x)

 

Primero identificamos a las funciones f(x)=\tan x, y g(x)=\ln x, para que de esta manera ya podamos aplicar la regla de la cadena, veamos:

    \begin{align*}\frac{\mathrm{d} \tan(\ln x)}{\mathrm{d} x} &=\left.\frac{\mathrm{d} \tan x}{\mathrm{d} x} \right|_{\ln x} \cdot \frac{\mathrm{d} \ln x}{\mathrm{d} x}\\ &= \left.\sec^2 x\right|_{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \sec^2 \left ( \ln x \right ) \cdot \frac{1}{x} \\ &=\frac{\sec^2 \left ( \ln x \right )}{x} \end{align*}

 

y entonces ya tenemos a la derivada de la función

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d} \tan(\ln x)}{\mathrm{d} x}= \frac{\sec^2 \left ( \ln x \right )}{x}

 

observe que en el proceso de derivación se fueron aplicando los pasos que se encuentran desglozados al principio.

 

3 Derivar a la función \sin(\sin x)

 

Identificamos a las funciones f(x)=\sin x, y g(x)=\sin x, como observamos ahora será menos complicado por lo simple de sus derivadas, veamos el desarrollo:

 

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d} \sin(\sin x)}{\mathrm{d} x} &= \left.\frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x} \right|_{\sin x} \cdot \frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x}\\ &= \left.\cos x\right|_{\sin x} \cdot \cos x \\ &= \cos \left ( \sin x \right ) \cdot \cos x \end{align*}

 

llegando al resultado buscado.

 

4 Derivar a la función \sin \sqrt{\ln (1-3x)}

 

Aquí observamos que existe mas de una composición, para poder derivar a la función, lo que haremos será aplicar la regla de la cadena en diversas ocasiones hasta terminar de derivar.

 

Comencemos suponiendo que f(x)=\sin x y g(x)=\sqrt{\ln (1-3x), entonces apliquemos la regla de la cadena

 

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sin \sqrt{\ln (1-3x)}&= \left.\frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x} \right|_{\sqrt{\ln (1-3x)}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sqrt{\ln (1-3x)}\\ &= \cos\left ( \sqrt{\ln (1-3x)} \right )  \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sqrt{\ln (1-3x)}\end{align*}

 

nos damos cuenta con esto, que ahora es necesario aplicar la regla de la cadena para

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sqrt{\ln (1-3x)}

 

así que hagámoslo y posteriormente agregamos el resultado a la derivada original

 

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sqrt{\ln (1-3x)}&= \left.\frac{\mathrm{d} \sqrt{x} }{\mathrm{d} x} \right|_{\ln (1-3x)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln (1-3x)\\ &= \frac{1}{2\sqrt{\ln (1-3x)}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln (1-3x) \end{align*}

 

llevándonos así, a que ahora debemos aplicar regla de la cadena nuevamente

 

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln (1-3x) &= \left.\frac{\mathrm{d} \ln x }{\mathrm{d} x} \right|_{1-3x} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(1-3x)\\ &= \frac{1}{1-3x} \cdot (-3) \end{align*}

 

y entonces ya con esto podemos juntar todos los resultados

 

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sin \sqrt{\ln (1-3x)}&=  \cos\left ( \sqrt{\ln (1-3x)} \right ) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sqrt{\ln (1-3x)}\\ &= \cos\left ( \sqrt{\ln (1-3x)} \right ) \frac{1}{2\sqrt{\ln (1-3x)}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln (1-3x) \\ &= \cos\left ( \sqrt{\ln (1-3x)} \right ) \frac{1}{2\sqrt{\ln (1-3x)}}\frac{1}{1-3x}  (-3) \end{align*}

 

para que de esta forma ya podamos concluir que

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sin \sqrt{\ln (1-3x)}=\cos\left ( \sqrt{\ln (1-3x)} \right )\frac{1}{2\sqrt{\ln (1-3x)}}\frac{1}{1-3x}(-3)

 

5 Derivar a la función \textrm{arccot}(\ln x)

 

Nuevamente, identificamos a las funciones f(x)=\textrm{arccot} x y g(x)=\ln x, para que de esta manera nos sea posible aplicar la regla de la cadena

 

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\textrm{arccot}(\ln x) &= \left. \frac{\mathrm{d}\textrm{arccot}(x)}{\mathrm{d} x}\right|_{\ln x}\frac{\mathrm{d} \ln x}{\mathrm{d} x}\\ &= -\left. \frac{1}{1+x^2} \right|_{\ln x}\frac{1}{x}\\ &= -\frac{1}{1+\left ( \ln x \right )^2} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{-1}{x\left (1+\left ( \ln x \right )^2 \right )}\end{align*}

 

donde ahora podemos concluir que

 

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\textrm{arccot}(\ln x)=\frac{-1}{x\left (1+\left ( \ln x \right )^2 \right )}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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