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Puntos de inflexión
Los puntos de inflexión de una función son aquellos puntos en los que la grafica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa. Informalmente hablando, podemos decir que es el momento en que la función cambia de tendencia.
Encontrar los puntos de inflexión por medio del criterio de la tercera derivada
Para encontrar los puntos de inflexión de una función derivable por medio del criterio de la tercera derivada realizamos los siguientes pasos.
1 Encontramos la primera derivada de :
.
2 Hallamos la segunda derivada de e igualamos a cero:
.
3 Despejamos la variable independiente "" y encontramos los valores para los que se cumple la condición. Es decir, buscamos los
tales que
con
.
4 Hallamos la tercera derivada de :
.
5 Sustituimos los en la tercera derivada y si
entonces se tiene un punto de inflexión en
.
Ejemplo: cálculo de puntos de inflexión utilizando el criterio de la tercera derivada.
Calcular los puntos de inflexión de:
1 Encontramos la primera derivada de :
2 Hallamos la segunda derivada de e igualamos a cero:
3 Encontramos las raíces de . Notemos que
es decir raiz de
.
4 Hallamos la tercera derivada de :
5 Sustituimos en la tercera derivada
y como tendremos que
punto de inflexión, donde
Cálculo de puntos de inflexión conociendo intervalos de concavidad y convexidad
Calculemos los puntos de inflexión de las siguientes funciones considerando los intervalos en los que es cóncava y en los que es convexa .
1
Comenzamos analizando el dominio de la función. Notemos que no esta definida cuando el denominador se hace cero, por lo que debemos descartar los valores que anulen el denominador,
por tanto .
Continuemos calculando la primera y segunda derivada de para encontrar posibles puntos de inflexión,
Igualando la segunda derivada a cero obtenemos que un posible punto de inflexión es en .
Ahora bien, hay una propiedad de la segunda derivada que nos dice que si la segunda derivada de es positiva en un intervalo entonces
es convexa en ese intervalo y similarmente si la segunda derivada de
es negativa en un intervalo entonces
es cóncava en ese intervalo . Tomando esto en cuenta notemos que
- si
entonces
,
- si
entonces
, y
- si
entonces
,
entonces podemos afirmar que en la función pasa de cóncava a convexa y por tanto
punto de inflexión donde
Para mas información respecto a concavidad y convexidad, consulte aquí
2
Ahora bien, tenemos que
- si
entonces
,
- si
entonces
, y
- si
entonces
,
Similar al ejercio anterior esto nos dice que cambia de convexa a cóncava en
y de cóncava a convexa en
. Por lo que podemos concluir que sus puntos de inflexión son
Problemas de puntos de inflexión
1 Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en su punto de inflexión.
Encontraremos primeramente el punto de inflexión de , para esto empezamos calculando primera y segunda derivada de
Igualamos segunda derivada a cero y encontramos valor para el que se anula
Proseguimos calculando la tercera derivada de y verificando que
no se anula en
Puesto que , entonces
punto de inflexión.
Ahora bien, encontraremos la ecuación de la recta tangente en el punto , para esto utilizaremos la forma punto-pendiente de la recta
donde punto de la recta y
pendiente de la recta.
La pendiente de la recta tangente en el punto la encontramos con la primera derivada
Por tanto la ecuación de la recta tangente es
2 La curva corta al eje de abscisas en
y tiene un punto de inflexión en
. Hallar
y
.
Tenemos que con derivadas
Ahora bien, sabemos que corta al eje de las abscisas en
entonces
(1)
También sabemos que el punto de inflexión es en por lo que la segunda derivada debe anularse en
y
, es decir
(2)
(3)
De (2) concluimos que , y sustituyendo el valor de
en (1) y (3) tendremos que
Obteniendo asi un sistema de ecuaciones lineales :
Resolvemos dicho sistema utilizando cualquier método de su preferencia y obtenemos que
3 Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: .
Procedemos similarmente al problema 1, pero esta vez considerando que la ecuación de la recta normal en un punto es
Comenzamos buscando el punto de inflexión de y para esto calculamos la primera y segunda derivada
Igualamos segunda derivada a cero y encontramos raíz
Calculamos tercera derivada y verificamos que no se anule en
Entonces punto de inflexión.
Ahora bien, entonces
Recta tangente :
Recta normal :
4 Sea . Hallar
y
de manera que la gráfica de la función
tenga para
un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de
con el eje OX.
Empezamos calculando primera y segunda derivada
Puesto que queremos un ángulo de con el eje OX en el punto de inflexión se debe tener que
(4)
y además queremos un punto de inflexion en entonces
(5)
Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (4) y (5), y obtenemos que
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Muy buenas, Me encantaron los ejercicios muchas gracias!!!!
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