Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión de una función son aquellos puntos en los que la grafica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa. Informalmente hablando, podemos decir que es el momento en que la función cambia de tendencia.

Ejemplo de punto de inflexion

 

Para encontrar los puntos de inflexión de una función derivable f por medio del criterio de la tercera derivada realizamos los siguientes pasos.

1 Encontramos la primera derivada de f: f'(x).

2 Hallamos la segunda derivada de f e igualamos a cero: f''(x) = 0.

3 Despejamos la variable independiente "x" y encontramos los valores para los que se cumple la condición. Es decir, buscamos los a_i \in \mathbb{R} tales que f''(a_i) = 0 con i \in \mathbb{N}.

4 Hallamos la tercera derivada de f: f'''(x).

5 Sustituimos los a_i en la tercera derivada y si f'''(a_i) \neq 0 entonces se tiene un punto de inflexión en (a_i, f(a_i)). ​

 

Ejemplo: cálculo de puntos de inflexión utilizando el criterio de la tercera derivada.

Calcular los puntos de inflexión de:

    \[ f(x) = x^3 - 3x + 2. \]

Sigamos los pasos vistos anteriormente para encontrar los puntos de inflexión.

1 Encontramos la primera derivada de f:

    \[ f'(x) = 3x^2 -3. \]

 2  Hallamos la segunda derivada de f e igualamos a cero:

     \[ f''(x) = 6x = 0. \]

 3  Encontramos las raíces de f''.  Notemos que

     \[ f''(0) = 6(0) = 0\]

es decir  x= 0 raiz de f''.

 4  Hallamos la tercera derivada de f:

     \[ f'''(x) = 6. \]

 5  Sustituimos x=0 en la tercera derivada

     \[f'''(0) = 6. \]

y como  f'''(0) \neq 0 tendremos que  (0, f(0)) punto de inflexión, donde

     \[ f(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2 .\]

Cálculo de puntos de inflexión conociendo intervalos de concavidad y convexidad

Calculemos los puntos de inflexión de las siguientes funciones considerando los intervalos en los que es cóncava y en los que es convexa .

 

1  f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}.

Comenzamos analizando el dominio de la función. Notemos que  f no esta definida cuando el denominador se hace cero, por lo que debemos descartar los valores que anulen el denominador,

     \[ (x-1)^2 = 0 \quad \textrm{ entonces } \quad x = 1, \]

por tanto  D = \mathbb{R} - \{1\} .

Continuemos calculando la primera y segunda derivada de f para encontrar posibles puntos de inflexión,

     \begin{align*} f'(x) &= \frac{3x^2 (x-1)^2 - x^3 (2(x-1))}{(x-1)^4} = \frac{(x-1)[3x^2(x-1) - 2x^3]}{(x-1)^4}, \\ &= \frac{3x^2(x-1) - 2x^3}{(x-1)^3} = \frac{3x^3 - 3x^2 - 2x^3}{(x-1)^3}, \\ &= \frac{x^3 - 3x^2}{(x-1)^3}.\\ \\ \\ f''(x) &= \frac{(3x^2 -6x)(x-1)^3 - (x^3 - 3x^2)3(x-1)^2}{(x-1)^6}, \\ &= \frac{(3x^2 -6x)(x-1) - 3(x^3 - 3x^2)}{(x-1)^4},\\ &= \frac{3x^3 - 3x^2 -6x^2 + 6x - 3x^3 + 9x^2}{(x-1)^4},\\ &= \frac{6x}{(x-1)^4}. \end{align*}

Igualando la segunda derivada a cero obtenemos que un posible punto de inflexión es en x= 0.

Ahora bien, hay una propiedad de la segunda derivada que nos dice que si la segunda derivada de f es positiva en un intervalo entonces f es convexa en ese intervalo y similarmente si la segunda derivada de f es negativa en un intervalo entonces f es cóncava en ese intervalo . Tomando esto en cuenta notemos que

  • si  x \in (-\infty, 0) entonces f''(x) < 0,
  • si  x \in (0, 1) entonces f''(x) > 0, y
  • si  x \in (1, \infty) entonces f''(x) > 0,

entonces podemos afirmar que en x= 0 la función pasa de cóncava a convexa y por tanto (0, f(0)) punto de inflexión donde

    \[f(0) = \frac{0^3}{(0-1)^2} = 0. \]

Para mas información respecto a concavidad y convexidad, consulte aquí

Grafica de función del ejercicio

2  g(x) = x^4 - 2x^2 -8.

Notemos que en este caso no tenemos ningún problema al tratarse de una función polinómica por lo que D = \mathbb{R}. Calculamos la primera y segunda derivada

     \begin{align*} g'(x) &= 4x^3 - 4x,\\ \\ g''(x) &= 12x^2 - 4. \end{align*}

Igualamos la segunda derivada a cero y encontramos sus raíces

     \begin{align*} 12x^2 - 4 &= 0 \\ 12x^2 &= 4 \\ x^2 &= \frac{1}{3}\\ \textrm{por tanto} \quad x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad &\textrm{y} \quad x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}

Ahora bien, tenemos que

  • si  x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}) entonces g''(x) > 0,
  • si  x \in (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) entonces g''(x) < 0, y
  • si  x \in (\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty) entonces g''(x) > 0,

 

Similar al ejercio anterior esto nos dice que g cambia de convexa a cóncava en  x= -\frac{1}{\sqrt{3}} y de cóncava a convexa en x= \frac{1}{\sqrt{3}}. Por lo que podemos concluir que sus puntos de inflexión son

     \[ (-\frac{1}{\sqrt{3}}, g(-\frac{1}{\sqrt{3}})) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{77}{9}) \quad \textrm{y} \quad (\frac{1}{\sqrt{3}}, g(\frac{1}{\sqrt{3}})) = (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{77}{9}) \]

Grafica de función de ejercicio 2 con sus puntos de inflexión

Problemas de puntos de inflexión

 

1 Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de  f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4 en su punto de inflexión.

Encontraremos primeramente el punto de inflexión de f, para esto empezamos calculando primera y segunda derivada de  f

     \begin{align*} f'(x) &= 6x^2 - 12x, \\ f''(x)&= 12x - 12. \end{align*}

Igualamos segunda derivada a cero y encontramos valor para el que se anula

    \begin{align*} 12x - 12 &= 0,\\ 12x &= 12,\\ x &= 1. \end{align*}

Proseguimos calculando la tercera derivada de f y verificando que f'''(x) no se anula en x=1

    \begin{align*} f'''(x) &= 12 \\ f'''(1) = 1&2 \neq 0 \end{align*}

Puesto que f'''(1) \neq 0, entonces (1, f(1)) = (1, 0) punto de inflexión.

Ahora bien, encontraremos la ecuación de la recta tangente en el punto (1,0), para esto utilizaremos la forma punto-pendiente de la recta

    \[ y - y_1 = m (x- x_2) \]

donde (x_1, y_1) punto de la recta y  m pendiente de la recta.

La pendiente de la recta tangente en el punto (1,0) la encontramos con la primera derivada

    \[ m = f'(1) = 6 - 12= -6 .\]

Por tanto la ecuación de la recta tangente es

     \[ y- 0 = -6(x-1) \quad \rightarrow \quad y = -6x +6.\]

Observar la recta tangente y el punto de inflexión

2 La curva f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (\frac{2}{3}, \frac{1}{9}). Hallar a, b y c.

Tenemos que  f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c con derivadas

     \begin{align*} f'(x) &= 3x^2 + 2ax + b \\ f''(x) &= 6x + 2a \end{align*}

Ahora bien, sabemos que  f corta al eje de las abscisas en  x= 3 entonces

(1)   \begin{equation*} f(3) = 0 \quad \textrm{es decir} \quad 27 + 9a + 3b + c = 0. \end{equation*}

También sabemos que el punto de inflexión es en (\frac{2}{3}, \frac{1}{9}) por lo que la segunda derivada debe anularse en  x= 2/3 y  f(2/3) = 1/9, es decir

(2)   \begin{equation*} f''(2/3) = 4 + 2a = 0 \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} f(2/3) = \frac{8}{27} + \frac{4}{9}a + \frac{2}{3}b + c = \frac{1}{9}. \end{equation*}

De (2) concluimos que  a = -2 , y sustituyendo el valor de a en (1) y (3) tendremos que

     \begin{equation*} \begin{aligned} 27 + 9(-2) + 3b + c &= 0\\ 3b + c &= -9 \end{aligned} \qquad\text{y}\qquad \begin{aligned} \frac{8}{27} + \frac{4}{9}(-2) + \frac{2}{3}b + c &= \frac{1}{9}\\ \frac{2}{3}b + c &= \frac{19}{27} \end{aligned} \end{equation*}

Obteniendo asi un sistema de ecuaciones lineales 2\times 2:

     \begin{equation*} \begin{cases} 3b + c &= -9\\ \frac{2}{3}b + c &= \frac{19}{27} \end{cases} \end{equation*}

Resolvemos dicho sistema utilizando cualquier método de su preferencia y obtenemos que

     \[a= -2, \quad \quad b = -\frac{262}{63}, \quad \quad c = \frac{27}{21}.\]

 

3 Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva:  f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x + 1.

Procedemos similarmente al problema 1, pero esta vez considerando que la ecuación de la recta normal en un punto x = a es

    \[ y-f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a). \]

Comenzamos buscando el punto de inflexión de f y para esto calculamos la primera y segunda derivada

    \begin{align*} f'(x) &= 3x^2 - 6x + 7\\ f''(x) &= 6x -6 \end{align*}

Igualamos segunda derivada a cero y encontramos raíz

     \[ 6x - 6 = 0 \quad \textrm{entonces} \quad x=1. \]

Calculamos tercera derivada y verificamos que no se anule en  x= 1

    \[ f'''(x) = 6 \quad \textrm{entonces} \quad f'''(1) \neq 0. \]

Entonces (1,f(1)) = (1, 6) punto de inflexión.

Ahora bien,  m = f'(1) = 4 entonces

Recta tangente :  y-6 = 4(x-1) \quad \quad \textrm{o} \quad \quad 4x-y+2 = 0

Recta normal :  y-6 = -\frac{1}{4}(x-1)\quad \quad \textrm{o} \quad \quad x+4y-25 = 0

 

4 Sea f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para  x= 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45^{\circ} con el eje OX.

Empezamos calculando primera y segunda derivada

     \begin{align*} f'(x) &= 3x^2+ 2ax + b \\ f''(x) &= 6x + 2a \end{align*}

Puesto que queremos un ángulo de 45^{\circ} con el eje OX en el punto de inflexión se debe tener que

(4)   \begin{equation*} f'(1) = 1 \quad \textrm{es decir} \quad 3 + 2a + b = 1 .\end{equation*}

y además queremos un punto de inflexion en  x= 1 entonces

(5)   \begin{equation*} f''(1) = 0 \quad \textrm{es decir} \quad 6 + 2a = 0 .\end{equation*}

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (4) y (5), y obtenemos que

     \[ a = -3 ,\quad \quad \quad b = 4 .\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗