En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.
Si f y f' son derivables en a, a es un punto de inflexión si:
1. Si f''(a) = 0
2. Si f'''(a) ≠ 0
Observamos que en x = 0 hay un punto de inflexión porque cambia la curvatura
Estudio de los puntos de inflexión
Calcular los puntos de inflexión de:
f(x) = x³ − 3x + 2
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) = 6
f'''(0) ≠ 0 Hay un punto de inflexión ex x = 0
3 Calculamos la segunda coordenada del punto de inflexión en la función.
f(0) = (0)³ − 3 (0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad
Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.
Ejercicios:
Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de concava a convexa.
Punto de inflexión (0, 0)
Dominio
Problemas
Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
f'(x) = 6x2− 12xf''(x) = 12x − 121
2x − 12 = 0x = 1
f'''(x) = 12 f'''(1) ≠ 0 f(1) = 0
Punto de inflexión: (1, 0)
f′(1) = 6 − 12= − 6 = m
y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6
La curva f(x) = x3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f'(x) = 3 x 2 − 6x+ 7
f''(x) =6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f'''(x) =12 f'''(1) ≠ 0 f(1)= 6
Punto de inflexión: (1, 6)
m t = f′(1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
f'(x) = 3 x2 + 2 ax + b f''(x) = 6x + 2a
f'(1) = 1 3 + 2a + b = 1
f''(1) = 0 6 + 2a = 0
a = − 3 b = 4
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