Name: ¿Que son los Puntos de inflexion?
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Puntos de inflexión
Encontrar los puntos de inflexión por medio del criterio de la tercera derivada
Cálculo de puntos de inflexión conociendo intervalos de concavidad y convexidad
Problemas de puntos de inflexión

Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión de una función son aquellos puntos en los que la grafica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa. Informalmente hablando, podemos decir que es el momento en que la función cambia de tendencia.

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Encontrar los puntos de inflexión por medio del criterio de la tercera derivada

Para encontrar los puntos de inflexión de una función derivable $f$ por medio del criterio de la tercera derivada realizamos los siguientes pasos.

1 Encontramos la primera derivada de $f$ : $f'(x)$ .

2 Hallamos la segunda derivada de $f$ e igualamos a cero: $f''(x) = 0$ .

3 Despejamos la variable independiente " $x$ " y encontramos los valores para los que se cumple la condición. Es decir, buscamos los $a_i \in \mathbb{R}$ tales que $f''(a_i) = 0$ con $i \in \mathbb{N}$ .

4 Hallamos la tercera derivada de $f$ : $f'''(x)$ .

5 Sustituimos los $a_i$ en la tercera derivada y si $f'''(a_i) \neq 0$ entonces se tiene un punto de inflexión en $(a_i, f(a_i))$ .

Ejemplo: cálculo de puntos de inflexión utilizando el criterio de la tercera derivada.

Calcular los puntos de inflexión de:

$f(x) = x^3 - 3x + 2.$

Sigamos los pasos vistos anteriormente para encontrar los puntos de inflexión.

1 Encontramos la primera derivada de $f$ :

$f'(x) = 3x^2 -3.$

2 Hallamos la segunda derivada de $f$ e igualamos a cero:

$f''(x) = 6x = 0.$

3 Encontramos las raíces de $f''$ . Notemos que

$f''(0) = 6(0) = 0$

es decir $x= 0$ raiz de $f''$ .

4 Hallamos la tercera derivada de $f$ :

$f'''(x) = 6.$

5 Sustituimos $x=0$ en la tercera derivada

$f'''(0) = 6.$

y como $f'''(0) \neq 0$ tendremos que $(0, f(0))$ punto de inflexión, donde

$f(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2 .$

Cálculo de puntos de inflexión conociendo intervalos de concavidad y convexidad

Calculemos los puntos de inflexión de las siguientes funciones considerando los intervalos en los que es cóncava y en los que es convexa .

1 $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}.$

Comenzamos analizando el dominio de la función. Notemos que $f$ no esta definida cuando el denominador se hace cero, por lo que debemos descartar los valores que anulen el denominador,

$(x-1)^2 = 0 \quad \textrm{ entonces } \quad x = 1,$

por tanto $D = \mathbb{R} - \{1\}$ .

Continuemos calculando la primera y segunda derivada de $f$ para encontrar posibles puntos de inflexión,

$\begin{align*} f'(x) &= \frac{3x^2 (x-1)^2 - x^3 (2(x-1))}{(x-1)^4} = \frac{(x-1)[3x^2(x-1) - 2x^3]}{(x-1)^4}, \\ &= \frac{3x^2(x-1) - 2x^3}{(x-1)^3} = \frac{3x^3 - 3x^2 - 2x^3}{(x-1)^3}, \\ &= \frac{x^3 - 3x^2}{(x-1)^3}.\\ \\ \\ f''(x) &= \frac{(3x^2 -6x)(x-1)^3 - (x^3 - 3x^2)3(x-1)^2}{(x-1)^6}, \\ &= \frac{(3x^2 -6x)(x-1) - 3(x^3 - 3x^2)}{(x-1)^4},\\ &= \frac{3x^3 - 3x^2 -6x^2 + 6x - 3x^3 + 9x^2}{(x-1)^4},\\ &= \frac{6x}{(x-1)^4}. \end{align*}$

Igualando la segunda derivada a cero obtenemos que un posible punto de inflexión es en $x= 0$ .

Ahora bien, hay una propiedad de la segunda derivada que nos dice que si la segunda derivada de $f$ es positiva en un intervalo entonces $f$ es convexa en ese intervalo y similarmente si la segunda derivada de $f$ es negativa en un intervalo entonces $f$ es cóncava en ese intervalo . Tomando esto en cuenta notemos que

si $x \in (-\infty, 0)$ entonces $f''(x) < 0$ ,
si $x \in (0, 1)$ entonces $f''(x) > 0$ , y
si $x \in (1, \infty)$ entonces $f''(x) > 0$ ,

entonces podemos afirmar que en $x= 0$ la función pasa de cóncava a convexa y por tanto $(0, f(0))$ punto de inflexión donde

$f(0) = \frac{0^3}{(0-1)^2} = 0.$

Para mas información respecto a concavidad y convexidad, consulte aquí

2 $g(x) = x^4 - 2x^2 -8.$

Notemos que en este caso no tenemos ningún problema al tratarse de una función polinómica por lo que $D = \mathbb{R}$

. Calculamos la primera y segunda derivada

$\begin{align*} g'(x) &= 4x^3 - 4x,\\ \\ g''(x) &= 12x^2 - 4. \end{align*}$

Igualamos la segunda derivada a cero y encontramos sus raíces

$\begin{align*} 12x^2 - 4 &= 0 \\ 12x^2 &= 4 \\ x^2 &= \frac{1}{3}\\ \textrm{por tanto} \quad x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad &\textrm{y} \quad x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}$

Ahora bien, tenemos que

si $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ entonces $g''(x) > 0$ ,
si $x \in (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ entonces $g''(x) < 0$ , y
si $x \in (\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty)$ entonces $g''(x) > 0$ ,

Similar al ejercio anterior esto nos dice que $g$ cambia de convexa a cóncava en $x= -\frac{1}{\sqrt{3}}$ y de cóncava a convexa en $x= \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Por lo que podemos concluir que sus puntos de inflexión son

$(-\frac{1}{\sqrt{3}}, g(-\frac{1}{\sqrt{3}})) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{77}{9}) \quad \textrm{y} \quad (\frac{1}{\sqrt{3}}, g(\frac{1}{\sqrt{3}})) = (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{77}{9})$

Grafica de función de ejercicio 2 con sus puntos de inflexión

Problemas de puntos de inflexión

1 Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4$ en su punto de inflexión.

Encontraremos primeramente el punto de inflexión de $f$ , para esto empezamos calculando primera y segunda derivada de $f$

$\begin{align*} f'(x) &= 6x^2 - 12x, \\ f''(x)&= 12x - 12. \end{align*}$

Igualamos segunda derivada a cero y encontramos valor para el que se anula

$\begin{align*} 12x - 12 &= 0,\\ 12x &= 12,\\ x &= 1. \end{align*}$

Proseguimos calculando la tercera derivada de $f$ y verificando que $f'''(x)$ no se anula en $x=1$

$\begin{align*} f'''(x) &= 12 \\ f'''(1) = 1&2 \neq 0 \end{align*}$

Puesto que $f'''(1) \neq 0$ , entonces $(1, f(1)) = (1, 0)$ punto de inflexión.

Ahora bien, encontraremos la ecuación de la recta tangente en el punto $(1,0)$ , para esto utilizaremos la forma punto-pendiente de la recta

$y - y_1 = m (x- x_2)$

donde $(x_1, y_1)$ punto de la recta y $m$ pendiente de la recta.

La pendiente de la recta tangente en el punto $(1,0)$ la encontramos con la primera derivada

$m = f'(1) = 6 - 12= -6 .$

Por tanto la ecuación de la recta tangente es

$y- 0 = -6(x-1) \quad \rightarrow \quad y = -6x +6.$

Observar la recta tangente y el punto de inflexión

2 La curva $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ corta al eje de abscisas en $x = 3$ y tiene un punto de inflexión en $(\frac{2}{3}, \frac{1}{9})$ . Hallar $a, b$ y $c$ .

Tenemos que $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ con derivadas

$\begin{align*} f'(x) &= 3x^2 + 2ax + b \\ f''(x) &= 6x + 2a \end{align*}$

Ahora bien, sabemos que $f$ corta al eje de las abscisas en $x= 3$ entonces

(1) $\begin{equation*} f(3) = 0 \quad \textrm{es decir} \quad 27 + 9a + 3b + c = 0. \end{equation*}$

También sabemos que el punto de inflexión es en $(\frac{2}{3}, \frac{1}{9})$ por lo que la segunda derivada debe anularse en $x= 2/3$ y $f(2/3) = 1/9$ , es decir

(2) $\begin{equation*} f''(2/3) = 4 + 2a = 0 \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} f(2/3) = \frac{8}{27} + \frac{4}{9}a + \frac{2}{3}b + c = \frac{1}{9}. \end{equation*}$

De (2) concluimos que $a = -2$ , y sustituyendo el valor de $a$ en (1) y (3) tendremos que

$\begin{equation*} \begin{aligned} 27 + 9(-2) + 3b + c &= 0\\ 3b + c &= -9 \end{aligned} \qquad\text{y}\qquad \begin{aligned} \frac{8}{27} + \frac{4}{9}(-2) + \frac{2}{3}b + c &= \frac{1}{9}\\ \frac{2}{3}b + c &= \frac{19}{27} \end{aligned} \end{equation*}$

Obteniendo asi un sistema de ecuaciones lineales $2\times 2$ :

$\begin{equation*} \begin{cases} 3b + c &= -9\\ \frac{2}{3}b + c &= \frac{19}{27} \end{cases} \end{equation*}$

Resolvemos dicho sistema utilizando cualquier método de su preferencia y obtenemos que

$a= -2, \quad \quad b = -\frac{262}{63}, \quad \quad c = \frac{27}{21}.$

3 Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x + 1$ .

Procedemos similarmente al problema 1, pero esta vez considerando que la ecuación de la recta normal en un punto $x = a$ es

$y-f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a).$

Comenzamos buscando el punto de inflexión de $f$ y para esto calculamos la primera y segunda derivada

$\begin{align*} f'(x) &= 3x^2 - 6x + 7\\ f''(x) &= 6x -6 \end{align*}$

Igualamos segunda derivada a cero y encontramos raíz

$6x - 6 = 0 \quad \textrm{entonces} \quad x=1.$

Calculamos tercera derivada y verificamos que no se anule en $x= 1$

$f'''(x) = 6 \quad \textrm{entonces} \quad f'''(1) \neq 0.$

Entonces $(1,f(1)) = (1, 6)$ punto de inflexión.

Ahora bien, $m = f'(1) = 4$ entonces

Recta tangente : $y-6 = 4(x-1) \quad \quad \textrm{o} \quad \quad 4x-y+2 = 0$

Recta normal : $y-6 = -\frac{1}{4}(x-1)\quad \quad \textrm{o} \quad \quad x+4y-25 = 0$

4 Sea $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 7$ . Hallar $a$ y $b$ de manera que la gráfica de la función $f(x)$ tenga para $x= 1$ un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje OX.

Empezamos calculando primera y segunda derivada

$\begin{align*} f'(x) &= 3x^2+ 2ax + b \\ f''(x) &= 6x + 2a \end{align*}$

Puesto que queremos un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje OX en el punto de inflexión se debe tener que

(4) $\begin{equation*} f'(1) = 1 \quad \textrm{es decir} \quad 3 + 2a + b = 1 .\end{equation*}$

y además queremos un punto de inflexion en $x= 1$ entonces

(5) $\begin{equation*} f''(1) = 0 \quad \textrm{es decir} \quad 6 + 2a = 0 .\end{equation*}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (4) y (5), y obtenemos que

$a = -3 ,\quad \quad \quad b = 4 .$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de derivadas

Maximos, minimos y puntos de inflexion

Rolle, Lagrande, Cauchy y Regla de LHopital

Teoría

Tasa de variacion media

Derivadas inmediatas

Derivadas de sumas, productos y cocientes

Derivada de las funciones trigonometricas

Derivacion de una composicion de funciones

Derivadas sucesivas

Ecuacion de la recta tangente

Extremos relativos o locales

Ejemplos de derivadas de la funcion exponencial

Derivadas de las funciones trigonometricas inversas

Ecuacion de la recta normal

¿Cuales son las aplicaciones fisicas de la derivada?

¿Como derivar la funcion inversa?

Interpretacion geometrica de la derivada

¿Que son la concavidad y la convexidad?

Derivar una funcion logaritmica

¿Que es la diferencial de una funcion?

Derivacion implicita

Ejercicios de la funcion derivada

Explicacion del Teorema de Rolle

Teorema de Lagrange o del valor medio

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Interpretación física de la derivada

Derivabilidad y continuidad

Teorema del valor medio generalizado – Cauchy

Derivada de la funcion potencial-exponencial

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Derivabilidad y continuidad

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Derivada de una constante

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcotangente

Máximos y mínimos

Derivada del arcoseno

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Derivada del arcocosecante

Derivada del coseno

Derivadas de funciones

Derivada de la funcion exponencial

Ejercicios de funciones crecientes y decrecientes

Ejercicios resueltos de derivacion implicita

Ejercicios de diferencial de una funcion

Derivada de un producto

Derivada de una potencia

Derivadas logaritmicas

Derivada de una función con raíces

La recta tangente

Derivada del seno

Derivada de una suma

Regla de la cadena

Derivada de la tangente

Derivada de x: Calculo

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Derivada de la secante

Interpretación de la derivada

Derivada de la cotangente

Recta normal

Derivada

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Derivacion logaritmica

Tabla de derivadas

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Edwin Fernandez

Octubre 2020

Muy buenas, Me encantaron los ejercicios muchas gracias!!!!

Superprof

Octubre 2020