Teorema de Bolzano y raíces de una función

 

Bernhard Placidus Johann Bolzano (1781-1848) fue un matemático checo que trabajo el concepto de continuidad. Uno de sus resultados es el teorema que lleva su nombre.

 

Teorema de Bolzano. Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y que toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un valor c \in (a, b) tal que f(c) = 0.

 

Teorema de Bolzano

 

En este teorema es de suma importancia que la función sea continua, esto nos permite representar su gráfica como una cuerda que consta de una sola pieza. Si la recta horizontal y = 0 representa el eje x y los extremos de la cuerda se encuentran en lados opuestos respecto al eje x, entonces la cuerda tiene que pasar sobre dicho eje coordenado, esto es, intersecta al eje  x por lo que es una raíz de la función.

 

Hay que destacar que el Teorema de Bolzano indica la existencia de un valor c \in (a, b), tal que f(c) = 0 , pero no decribe una forma de encontrar este valor.

 

El Teorema de Bolzano no solamente indica la existencia de una raíz, de hecho puede emplearse para garantizar la existencia de un valor c_1 \in (a, b), tal que f(c_1) = y_1 , para y_1 \in (f(a), f(b)). Basta considerar la cuerda antes mencionada y considerar la recta horizontal y = y_1.

 

Una de las aplicaciones del Teorema de Bolzano es la siguiente: Supongamos que se viaja en automóvil de una ciudad  A hasta una ciudad  B saliendo a las 9 : 00 \, am y arrivando el mismo día. Si al día siguiente se parte de regreso hacia la ciudad  A en el mismo horario y tiempo empleado en el viaje de ida, entonces hay un punto en el trayecto en el cual el automóvil se encuentra a la misma hora de ambos días.

 

Para comprender este problema, sin la necesidad de emplear el teorema de Bolzano, consideramos la trayectoría empleada y colocamos dos automóviles, uno en cada ciudad y que comienzan su recorrido a la misma hora. Entonces resulta sencillo visualizar que en algún punto de camino ambos automóviles se van a encontrar.

 

Empleando el Teorema de Bolzano consideramos d_1(t) la función de distancia recorrida en el viaje de ida a tiempo t \in [0, t_0], esto es d_1(t_0 ) es igual a la distancia recorrida de la ciudad  A a la ciudad  B . De igual forma d_2(t) = d_1(t_0 - t) es la función de distancia recorrida en el viaje de regreso a tiempo t \in [0, t_0].

 

Se construye la función f(t) = d_1(t) - d_2(t) la cual es continua ya que la función distancia lo es. Notamos que:

 

d_1(0) = 0, \ \ d_2(0) = d_1(t_0) > 0

d_1(t_0) > 0, \ \  d_2(t_0) = d_1(0) = 0

 

Así, al evaluar la función f(t) en los extremos del intervalo  [0, t_0] se obtiene

 

f(0) = d_1(0) - d_2(0) = - d_1(t_0) < 0

f(t_0) = d_1(t_0) - d_2(t_0) = d_1(t_0) > 0

 

Como los signos en los extremos del intervalo son distintos podemos aplicar el Teorema de Bolzano, luego existe un valor c \in (0, t_0) tal que f(c) = 0, de lo cual se obtiene

 

f(c) = d_1(c) - d_2(c) = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ d_1(c) = d_2(c)

 

Así, el automóvil se encuentra en el mismo punto a la misma hora en ambos días.

 

Como podrás notar en este ejemplo no consideramos la forma explícita de la función distancia. A continuación te presentamos una serie de ejemplos donde las funciones a emplear se encuntran en forma explícita

 

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Ejemplos de casos donde aplicamos el teorema de Bolzano

 

1Comprobar que la ecuación x^3 + x - 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].

 

Consideramos la función f(x) = x^3 + x - 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica.

 

Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

 

f(0) = (0)^3 + 0 - 1 = -1 < 0

f(1) = (1)^3 + 1 - 1 = 1 > 0

 

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un valor c \in (0, 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

 

2Comprobar que la ecuación x^7 + 3x^5 - x^2 + 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [-1,0].

 

Consideramos la función f(x) = x^7 + 3x^5 - x^2 + 1, que es continua en [-1,0] por ser polinómica.

 

Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

 

f(-1) = (-1)^7 + 3(-1)^5 - (1)^2 + 1 = -4 < 0

f(0) = (0)^7 + 3(0)^5 - (0)^2 + 1 = 1 > 0

 

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un valor c \in (-1, 0) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

 

3Comprobar que la ecuación \sqrt{x + 3} - 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [-3,1].

 

Consideramos la función f(x) = \sqrt{x + 3} - 1, que es continua en [-3,1] ya que es una diferencia de funciones continuas. El dominio es Df = [-3, \infty).

 

Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

 

f(-3) = \sqrt{-3 + 3} - 1 = -1 < 0

f(1) = \sqrt{1 + 3} - 1 = 1 > 0

 

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un valor c \in (-3, 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

 

4Comprobar que la ecuación e^x - 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [-1,1].

 

Consideramos la función f(x) = e^x - 1, que es continua en [-1,1] ya que es una diferencia de funciones continuas en \mathbb{R}.

 

Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

 

f(-1) = e^{-1} - 1 < 0

f(1) = e^1 - 1 > 0

 

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un valor c \in (-1, 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

 

5Comprobar que la ecuación \cfrac{x^2 - 2}{x^3 + 3} = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [1,2].

 

Consideramos la función f(x) = \cfrac{x^2 - 2}{x^3 + 3}, que es continua en [1,2] ya que es un cociente de polinomios y su dominio es Df = \mathbb{R} - \{- \sqrt[3]{3}\}.

 

Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

 

f(1) = \cfrac{(1)^2 - 2}{(1)^3 + 3} < 0

f(2) = \cfrac{(2)^2 - 2}{(2)^3 + 3} > 0

 

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un valor c \in (1, 2) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗