Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

 

La diferencial de una función se representa por dy.

 

dy=f'(x)\cdot h

 

dy=f'(x)\cdot dy

Interpretación geométrica

 

Representación gráfica de diferencial

 

f'(x)=\tan \beta =\cfrac{QR}{PR}=\cfrac{QR}{h}

 

QR=f'(x)\cdot h\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; QR=(dy)_{x=a}

 

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

 

Ejercicios Propuestos

1Obtén el diferencial de y=4x^{3}-2x^{2}+5x

 

Obtén el diferencial de y=4x^{3}-2x^{2}+5x

 

1 Obtenemos la derivada de la función y añadimos los diferenciales en ambos lados de la igualdad

 

y=4x^{3}-2x^{2}+5x

 

dy=(12x^{2}-4x+5)dx

2Obtén el diferencial de y=e^{\sin x}

 

Obtén el diferencial de y=e^{\sin x}

 

1 Obtenemos la derivada de la función y añadimos los diferenciales en ambos lados de la igualdad

 

y=e^{\sin x}

 

dy=\cos x\cdot e^{\sin x}dx

3Obtén el diferencial de y=\cfrac{x-3}{x^{2}}

 

Obtén el diferencial de y=\cfrac{x-3}{x^{2}}

 

1 Obtenemos la derivada de la función y añadimos los diferenciales en ambos lados de la igualdad

 

y=\cfrac{x-3}{x^{2}}

 

dy=\cfrac{x^{2}-(x-3)(2x)}{x^{4}}\; dx

 

dy=\cfrac{x^{2}-2x^{2}+6x}{x^{4}}\; dx

 

dy=\cfrac{-x^{2}+6x}{x^{4}}\; dx

 

dy=\cfrac{-x+6}{x^{3}}\; dx

 

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Problemas de aplicación


4 Hallar el incremento del área de una circunferencia de 3cm de radio cuando su radio se incrementa en 0.5cm

Hallar el incremento del área de una circunferencia de 3cm de radio cuando su radio se incrementa en 0.5cm

 

1 Sabemos que la relación entre el área y el radio de una circunferencia es:

 

A=\pi \cdot r^{2}

 

2 Calculamos el diferencial del Volumen y el Radio

 

dA=2\pi \cdot r\, dr

 

3 Sustituimos r=3 cm y dr=0.5 cm

 

dA=2\pi \cdot (3\; \textup{cm})\, (0.5\; \textup{cm})=3\pi \; \textup{cm}^{2}

5 Un cono de 5 m de altura y 3 m de radio en la base incrementa su radio en 0.25 m manteniendo su altura constante. Calcula el incremento en su volumen

Un cono de 5 m de altura y 3 m de radio en la base incrementa su radio en 0.25 m manteniendo su altura constante. Calcula el incremento en su volumen

 

1 Sabemos que el volumen de un cono esta dado por:

 

V=\cfrac{1}{3}\, \pi \cdot r^{2}\cdot h

 

2 Calculamos el diferencial del Volumen y el Radio

 

dV=\cfrac{2}{3}\, \pi \cdot r\cdot h\cdot dr

 

3 Sustituimos r=3 m. h=5 m y dr=0.25 m

 

dV=\cfrac{2}{3}\, \pi \cdot (3\, \textup{m})\cdot (5\, \textup{m})\cdot (0.25\, \textup{m})= \cfrac{5}{2}\, \pi \, \textup{m}^{3}

6 Un cubo tiene aristas de 10 cm ¿En cuánto debería incrementarse la arista para que su volumen se incremente en 0.36\, \textup{cm}^{3}?

 

Un cubo tiene aristas de 10 cm ¿En cuánto debería incrementarse la arista para que su volumen se incremente en 0.36\, \textup{cm}^{3}?

 

1 Sabemos que el volumen de un cubo esta dado por:

 

V=a^{3}

 

2 Calculamos el diferencial del Volumen y la arista

 

dV=3a^{2}\cdot da

 

3 Despejamos da

 

da=\cfrac{dV}{3a^{2}}

 

4 Sustituimos a=10\: \textup{cm} y dV=0.36\: cm^{3}

 

da=\cfrac{0.36\: \textup{cm}^{3}}{3(10\: \textup{cm})^{2}}=0.0012\: \textup{cm}

7Una esfera de metal disminuye su volumen en 0.015\: \textup{cm}^{3} al enfriarse. Si originalmente su radio era de 3 cm. Calcula el decremento en su radio.

 

Una esfera de metal disminuye su volumen en 0.015\: \textup{cm}^{3} al enfriarse. Si originalmente su radio era de 3 cm. Calcula el decremento en su radio.

 

1 Sabemos que el volumen de una esfera esta dado por:

 

V=\cfrac{4}{3}\: \pi \cdot r^{3}

 

2 Calculamos el diferencial del Volumen y el radio

 

dV=4\: \pi \cdot r^{2}\cdot dr

 

3 Despejamos dr

 

dr=\cfrac{dV}{4\: \pi \cdot r^{2}}

 

4 Sustituimos r=3\: \textup{cm} y dV=-0.015\: cm^{3}

 

dr=\cfrac{-0.015\: \textup{cm}^{3}}{4\: \pi \cdot (3\: \textup{cm})^{2}}=-0.000132\: \textup{cm}

8Al inflar un globo esférico el radio se incrementa en 0.0035 cm en un soplido cuando éste media 4cm. ¿En cuánto se incrementó el volumen?

 

Al inflar un globo esférico el radio se incrementa en 0.0035 cm en un soplido cuando éste media 4cm. ¿En cuánto se incrementó el volumen?

 

1 Sabemos que el volumen de una esfera esta dado por:

 

V=\cfrac{4}{3}\: \pi \cdot r^{3}

 

2 Calculamos el diferencial del Volumen y el Radio

 

dV=4\: \pi \cdot r^{2}\cdot dr

 

3 Sustituimos r=4 cm y dr=0.0035 cm

 

dV=4\: \pi \cdot (4\: \textup{cm})^{2}\cdot (0.0035\: \textup{cm})=0.224\: \textup{cm}^{3}

9¿En cuánto incrementa el valor de 'y' cuando el valor de 'x' incrementa en 0.45 unidades en la función y=2x^{2}-3x cuando x=5?

1 Calculamos el diferencial de la función y=2x^{2}-3x

 

dy=(4x-3)dx

 

2 Sustituimos x=5 y dx=0.45[/latex]

 

dy=(4\cdot 5-3)(0.45)=7.65

10¿En cuánto se incrementa el volumen de un cono con 4 cm de altura y 2 cm de radio si se mantiene su base constante y su altura se incrementa en 0.75 cm?

¿En cuánto se incrementa el volumen de un cono con 4 cm de altura y 2 cm de radio si se mantiene su base constante y su altura se incrementa en 0.75 cm?

 

1 Sabemos que el volumen de un cono esta dado por:

 

V=\cfrac{1}{3}\: \pi \cdot r^{2}\cdot h

 

2 Calculamos el diferencial tomando en cuenta que el radio se mantiene constante

 

dV=\cfrac{1}{3}\: \pi \cdot r^{2}\cdot dh

 

3 Sustituimos r=2 cm y dh=0.75 cm

 

dV=\cfrac{1}{3}\: \pi \cdot (2\: \textup{cm})^{2}\cdot (0.75\: \textup{cm})=\pi\: \textup{cm}^{3}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗