Resolver los siguientes ejercicios propuestos de derivadas

1 Calcula la derivada de la función logarítmica:

    \[f(x) = \ln \frac{(x-2)^3}{\sqrt{2x-1}}\]

Aplicando propiedades de logaritmos obtenemos

    \begin{align*} f(x) &= \ln \frac{(x-2)^3}{\sqrt{2x-1}}\\ &= \ln (x-2)^3 - \ln \sqrt{2x-1} \\ &= 3\ln (x-2) - \frac{1}{2} \ln (2x-1) \end{align*}

entonces

    \begin{align*} f'(x) &= 3\left( \frac{1}{x-2}\right) - \frac{1}{2}\left( \frac{2}{2x-1}\right)\\ &= \frac{3}{x-2} - \frac{1}{2x-1}\\ &= \frac{6x-3-x+2}{(x-2)(2x-1)} \end{align*}

por lo tanto

    \[ f'(x) = \frac{5x-1}{(x-2)(2x-1)} \]

 

2Derivar la función:

    \[ f(x) = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \]

Derivar la función

    \[ f(x) = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \]

Recordemos que

    \[ \frac{d}{dx} \arctan g(x) = \frac{g'(x)}{1+ (g(x))^2}. \]

en este caso tenemos que

    \begin{equation*} g(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*}

entonces

    \begin{align*} g'(x) &= \frac{\sqrt{1-x^2} - \left[\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot x\right]}{1-x^2}\\ &= \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\ &= \frac{\frac{1-x^2+ x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\ &= \frac{1}{(\sqrt{1-x^2})(1-x^2)}\\ \end{align*}

Continuando con la derivada de la función f, tendríamos

    \begin{align*} f'(x) &= \left[\frac{1}{1 + (\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})^2 }\right]\left[ \frac{1}{(\sqrt{1-x^2})(1-x^2)} \right]\\ &= \left[\frac{1}{\frac{1 -x^2 + x^2}{1-x^2}}\right]\left[ \frac{1}{(\sqrt{1-x^2})(1-x^2)} \right]\\ &= (1- x^2)\left[ \frac{1}{(\sqrt{1-x^2})(1-x^2)} \right]\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}

 

3Derivar

    \[ f(x) = \cos(\cos (\cos x)) \]

Recordemos que

    \[ \frac{d}{dx}cos (g(x)) = -\textrm{sen}(g(x))\cdot g'(x) \]

entonces

    \[\frac{d}{dx} \cos(\cos (\cos x)) = -\textrm{sen}(\cos (\cos x))\cdot \frac{d}{dx} \cos (\cos x) \]

pero nuevamente

    \begin{equation*} \frac{d}{dx} \cos (\cos x) = -\textrm{sen}(\cos x) \cdot (-\textrm{sen} x) = \textrm{sen}(\cos x)\cdot \textrm{sen} x \end{equation*}

por lo tanto

    \[ f'(x) = -\textrm{sen}(\cos (\cos x))\cdot \textrm{sen}(\cos x)\cdot \textrm{sen} x \]

 

4Calcular la derivada de la función:

    \[ f(x) = \textrm{arcsen} (x^{cos^2 x}) \]

Recordemos que si

    \[ g(x) = \textrm{arcsen} u \quad \Rightarrow \quad g'(x) = \frac{u'}{1- u^2}. \]

Ahora bien, en este caso tendremos que

    \begin{equation*} u = x^{cos^2 x} \end{equation*}

entonces notemos que

(1)   \begin{equation*} \ln u &= \ln x^{cos^2 x}\\ \ln u &= \cos^2 x \ln x \end{equation**}

derivando ambos lados de la igualdad anterior, obtenemos

    \[ \frac{u'}{u} = -2\textrm{sen}x\cdot \cos x \cdot \ln x + \frac{1}{x}\cdor \cos^2 x \]

por tanto

    \[ u' = \left(-2\textrm{sen}x\cdot \cos x \cdot \ln x + \frac{1}{x}\cdor \cos^2 x\right)x^{cos^2 x}.\]

Con esto podemos concluir que

    \begin{equation*} f'(x) = \frac{\left(-2\textrm{sen}x\cdot \cos x \cdot \ln x + \frac{1}{x}\cdor \cos^2 x\right)x^{cos^2 x}}{\sqrt{1- (x^{cos^2 x})^2}} \end{equation*}

 

5 Derivar:

    \[ f(x) = \log_x \tan x \]

Para derivar la función f, consideremos

    \[ y = \log_x \tan x \]

aplicando la definición de logaritmo obtenemos que

    \begin{equation*} x^y = \tan x \\ \Rightarrow \quad \ln x^y = \ln \tan x \\ \Rightarrow \quad y\ln x = \ln \tan x \\ \end{equation*}

por tanto

(2)   \begin{equation*} f(x) = \frac{\ln \tan x}{\ln x}. \end{equation*}

Notemos que escribimos a f de manera que nos resulta mas sencillo derivar. Derivando (2)

    \begin{align*} f'(x) &= \left( \frac{1}{\ln^2 x} \right) \left( \frac{\frac{1}{\cos^2 x}\ln x}{\tan x} - \frac{\ln \tan x}{x}\right) \\ &= \left( \frac{1}{\ln^2 x} \right) \left( \frac{\frac{1}{\cos^2 x}\ln x}{\frac{\textrm{sen} x}{\cos x}} - \frac{\ln \tan x}{x}\right) \\ &= \frac{1}{\ln^2 x} \left( \frac{\ln x}{\textrm{sen} x \cdot \cos x } - \frac{\ln \tan x}{x}\right) \end{align*}

 

6 Un cuadrado tiene 2m de lado. Determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

La función de área del cuadrado está dada por

A=x^2

entonces su diferencial es

dA=2x dx.

Del problema tenemos que el cuadrado mide de lado 2m y este lado aumenta 1mm=0.001m, es decir

x=2 \quad \quad \textrm{y} \quad \quad dx=0.001

Por lo tanto el incremento de área utilizando diferenciales es

dA=2x dx= 2\cdot 2\cdot 0.001=0.004 m^2

Usando incrementos tendríamos que

 \Delta A=(x+h)^2-x^2=2.001^2-2^2=0.004001m^2

Por lo tanto el error es

    \[ Error = \Delta A - dA=10^{-6}m^2 \]

 

7 Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

La función de volumen está dada por

V=x^3

donde x denota la medida de la arista, entonces su diferencial es

dV=3x^2 dx.

Ahora bien, tenemos que el cubo mide de lado 20cm y este aumenta 0.2cm en longitud, es decir

x=20 \quad \quad \textrm{y} \quad \quad dx=0.2

Por lo tanto el incremento de volumen es

dV=3x^2 dx= 3\cdot (20)^2 \cdot 0.2=240 cm^3

 

8 Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.

Recordemos que volumen de una esfera es

\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3,

por lo que su diferencial es

dV=4\pi r^2 dr

En los datos nos dan el volumen de la esfera, por lo que a partir de esta podemos calcular el valor del radio despejando y obtenemos que

r=6.26

nos mencionan que el error de este es de 0.001cm=0.01mm, es decir

dr=0.01

Por lo tanto el error absoluto de volumen es

dV=4\pi (6.26)^2 \cdot 0.01=4.924 mm^3

y el error relativo es

\displaystyle \frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^2 dr}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{4.924mm^3}{1027.570mm^3}=0.00479

 

9 Si el lugar de \sqrt{0.80} se halla \sqrt{0.81} = 0.9. ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

Tenemos la función

f(x)=\sqrt{x}

con diferencial (con lo que se mide el error absoluto)

\displaystyle df(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx

y error relativo dado por

\displaystyle \frac{df(x)}{f(x)}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}{\sqrt{x}}=\frac{dx}{2x}.

Tenemos que el incremento de x es de

dx=0.81-0.80=0.01

Entonces el incremento de la función o error absoluto es

\displaystyle df(x)=\frac{1}{2\sqrt{0.81}}\cdot 0.01=\frac{1}{180}

y el error relativo es

\displaystyle \frac{df(x)}{f(x)}=\frac{dx}{2x}=\frac{0.01}{2\cdot 0.81}=\frac{1}{162}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗