La derivada de la cosecante de una función u(x) es igual a menos la cosecante de la función por la cotangente de la función, y por la derivada de la función

 

(cosec \, u)' = -u' \cdot cosec \, u \cdot cotg \, u

 

Para obtener esta fórmula, escribimos la cosecante como el recíproco de la función seno

 

cosec \, u = \cfrac{1}{sen \, u}

 

y aplicamos la derivada del cociente

 

(cosec \, u)' = \left ( \cfrac{1}{sen \, u} \right )' = \cfrac{sen \, u \cdot (1)' - 1 \cdot (sen \, u)'}{(sen \, u)^2} = -\cfrac{u' \cdot cos \, u}{sen^2 u}

 

Separamos el resultado anterior como el producto de dos cocientes

 

-\cfrac{u' \cdot cos \, u}{sen^2 u} = - u' \cdot \cfrac{cos \, u}{sen \, u} \cdot \cfrac{1}{sen \, u}

 

Empleando las identidades cotg \, u = \cfrac{cos \, u}{sen \, u} y cosec \, u = \cfrac{1}{sen \, u} se tiene

 

(cosec \, u)' = -u' \cdot cosec \, u \cdot cotg \, u

 

Ejemplo: Hallar la derivada de las siguientes funciones

 

1 f(x) = cosec \, 3x

 

Primero notamos que la función u(x) es igual a 3x

 

Calculamos su derivada u' = 3

 

Aplicando la fórmula de la derivada de la función cosecante, se obtiene

 

f'(x) = (cosec \, 3x)' = -3 \cdot cosec \, 3x \cdot cotg \, 3x

 

2 f(x) = cosec \left( \cfrac{x}{2} \right)

 

Primero notamos que la función u(x) es igual a \cfrac{x}{2}

 

Calculamos su derivada u' = \cfrac{1}{2}

 

Aplicando la fórmula de la derivada de la función cosecante, se obtiene

 

f'(x) = \left[cosec \left(\cfrac{x}{2}\right) \right]' = -\cfrac{1}{2} \cdot cosec \left(\cfrac{x}{2}\right) \cdot cotg \left(\cfrac{x}{2}\right)

 

3 f(x) = cosec \, (x^2 + 1)

 

Primero notamos que la función u(x) es igual a x^2 + 1

 

Calculamos su derivada u' = 2x

 

Aplicando la fórmula de la derivada de la función cosecante, se obtiene

 

f'(x) = [cosec \, (x^2 + 1)]' = -2x \cdot cosec \, (x^2 + 1) \cdot cotg \, (x^2 + 1)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗