1 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ${f(x) = |x|}$ .

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ${f(x) = |x|}$ .

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

2 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)^{2}-0^{2}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h \to 0^{+}}h=0}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

3 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}$

La función no es continua, por lo tanto tampoco derivable.

4 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{0-0}{h} = 0}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

5Hallar el punto en que ${y = |x + 2|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Hallar el punto en que ${y = |x + 2|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

1Pasamos a una función a trozos

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -x-2 & \mbox{si} & x<-2 \\ x+2 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}$

2Estudiamos la continuidad en ${x = -2}$

${f(-2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=0}$

La función es continua en todo ${\mathbb{R}}$ .

3Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -1 & \mbox{si} & x<-2 \\ 1 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=-2}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Ejercicios de continuidad y derivabilidad grafica funcion no derivable en -2

En ${x=-2}$ hay un pico, por lo que no es derivable en dicho punto.

6Hallar los puntos en que ${y = |x^{2}-5x + 6|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Hallar los puntos en que ${y = |x^{2}-5x + 6|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

1Pasamos a una función a trozos

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x<2 \\ -x^{2}+5x - 6 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x\ge 3\end{array}}$

2Estudiamos la continuidad en ${x = 2}$ y ${x = 3}$

${f(2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=0}$

${f(3) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=0}$

La función es continua en todo ${\mathbb{R}}$ .

3Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x-5 & \mbox{si} & x<2 \\ -2x+5 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ 2x-5 & \mbox{si} & x\ge 3 \end{array}}$

${f'(2^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(2^+) =1}$

${f'(3^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(3^+) = 1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=2}$ y en ${x=3}$ son distintas, la función no es derivable en dichos puntos.

Ejercicios de continuidad y derivabilidad grafica de funcion no derivable en x=2 y x=3

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} cos\; x +2 & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2x}{\pi}+1 & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ sen\; x +1 & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}$

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

1La función no es continua en ${x = 0}$ porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.Estudiamos la continuidad en ${x = \displaystyle\frac{\pi}{2}}$

${f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}f(x)=2}$

La función es continua en ${\displaystyle\frac{\pi}{2}}$ .

2Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -sen\; x & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2}{\pi} & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ cos\; x & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}$

${f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^-\right) = -\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^+\right) =0}$

Puesto que las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en ${\displaystyle\frac{\pi}{2}}$ .

8Dada la función:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}$

¿Para qué valores de ${a}$ es derivable?

Dada la función:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}$

¿Para qué valores de ${a}$ es derivable?

1Estudiamos la continuidad en ${x = 1}$

${f(1) = 3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{2}{a}}$

Para que la función sea continua en ${x=1}$ , se requiere que los límites laterales sean iguales

${3-a=\displaystyle\frac{2}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=1, \; 2 }$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x=1}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2ax & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{-2}{ax^{2}} & \mbox{si} & x> 1\end{array}}$

${f'\left(1^-\right) = -2a, \ \ \ \ \ f'\left(1^+\right) =\displaystyle\frac{-2}{a}, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a=\pm 1}$

Derivable para ${a=1}$ . Para ${a=-1}$ la función no es continua..

9Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

1Estudiamos la continuidad en ${x = 0}$

${f(0) = b, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=b}$

Para que la función sea continua en ${x=0}$ , se requiere que los límites laterales sean iguales, entonces ${b=0}$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x=0}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3x^{2}-1 & \mbox{si} & x< 0 \\ a & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

${f'\left(0^-\right) = -1, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =a, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a= -1}$

Derivable para ${a=-1}$ .

10Determinar los valores de ${a}$ y ${b}$ para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} bx^{2}+ax & \mbox{si} & x\le -1 \\ && \\ \displaystyle\frac{a}{x} & \mbox{si} & -1<x\le 1 \\ && \\ \displaystyle\frac{x^{2}+ax+1}{x+1} & \mbox{si} & x > 1 \end{array}}$

Determinar los valores de ${a}$ y ${b}$ para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en ${x=0}$ porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de ${a/0}$ no es un número real.

No existen valores de ${a}$ y ${b}$ que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de ${a}$ y ${b}$ para los cuales la función sea derivable.

11Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+2 & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\sqrt{ax+b} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \mbox{si} & x > 2 \end{array}}$

Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

1Estudiamos la continuidad en ${x = 0}$ y ${x = 2}$

${f(0) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=4 }$

${f(2) = \sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=-1 }$

Para que la función sea continua en todo ${\mathbb{R}}$ , se requiere que ${a=-1}$ y ${b=4}$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x = 0}$ y ${x = 2}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{-x+4}} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}\end{array}}$

${f'\left(0^-\right) = 0, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{4}}$

No es derivable en ${x=0}$ .

${f'\left(2^-\right) = \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}, \ \ \ \ \ f'\left(2^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}}$

Es derivable en ${x=2}$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de derivadas

Maximos, minimos y puntos de inflexion

Rolle, Lagrande, Cauchy y Regla de LHopital

Teoría

Tasa de variacion media

Derivadas inmediatas

Derivadas de sumas, productos y cocientes

Derivada de las funciones trigonometricas

Derivacion de una composicion de funciones

Derivadas sucesivas

Ecuacion de la recta tangente

Extremos relativos o locales

Ejemplos de derivadas de la funcion exponencial

Derivadas de las funciones trigonometricas inversas

Ecuacion de la recta normal

¿Cuales son las aplicaciones fisicas de la derivada?

¿Como derivar la funcion inversa?

Interpretacion geometrica de la derivada

¿Que son la concavidad y la convexidad?

Derivar una funcion logaritmica

¿Que es la diferencial de una funcion?

Derivacion implicita

Ejercicios de la funcion derivada

Explicacion del Teorema de Rolle

Teorema de Lagrange o del valor medio

Teorema de Bolzano

Derivada en un punto y ejemplos

Interpretación física de la derivada

Derivabilidad y continuidad

Teorema del valor medio generalizado – Cauchy

Derivada de la funcion potencial-exponencial

¿Que son los Puntos de inflexion?

Derivadas laterales

Derivabilidad y continuidad

Fórmulas

Derivada de una constante

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcotangente

Máximos y mínimos

Derivada del arcoseno

Derivada de un cociente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada del coseno

Derivadas de funciones

Derivada de la funcion exponencial

Ejercicios de funciones crecientes y decrecientes

Ejercicios resueltos de derivacion implicita

Ejercicios de diferencial de una funcion

Derivada de un producto

Derivada de una potencia

Derivadas logaritmicas

Derivada de una función con raíces

La recta tangente

Derivada del seno

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Regla de la cadena

Derivada de la tangente

Derivada de x: Calculo

Optimización

Derivada primera, segunda, …, enesima

Derivada de la secante

Interpretación de la derivada

Derivada de la cotangente

Recta normal

Derivada

Derivada del arcocoseno

Derivada de la cosecante

Derivacion logaritmica

Tabla de derivadas

Otros ejercicios

Ejercicios de derivadas y continuidad I

Ejercicios de la definicion de derivada

Ejercicios de aplicaciones fisicas de la derivada

Ejercicios del teorema de Rolle, de Bolzano, y del valor medio

Ejercicios de calculo de derivadas

Ejercicios de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ejercicios de aplicaciones de la derivada II

Ejercicios de derivadas

Ejercicios de aplicaciones de la derivada I

Ejercicios de aplicaciones de la derivada IV

Ejercicios de derivadas 2

Ejercicios de derivadas y continuidad II

Ejercicios de aplicaciones de la derivada III

Ejercicios: Teoremas de Rolle, Lagrange y Regla de L’Hopital

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Delia

Febrero 2022

Buenas noches, en el último ejercicio, si en lugar de hacer las continuidades juntas, hago primero en el punto 0 la continuidad, y después la derivabilidad, me daría, obviamente, b=4, pero me saldría a=0 y no -1 …. por otro lado, la derivada de Raiz(ax+b), no seria a/(2*raiz(ax+b)), es decir, quedaria un -1 arriba, en el numerador, al ser, supuestamente mi a=-1…

Sorangel Muños

Junio 2021

Hola!!!!! necesito ayuda en Calculo
Sean f y g funciones continuas en a,b y con derivadas en a,b .
a) Demuestre que existe un ca,b tal que:
f ‘(c)g(b)  g(a)  g ‘(c) f (b)  f (a)
b) Demuestre el teorema del valor medio utilizando la premisa a)

Mario González

Junio 2021

Buenas, tenía una pregunta.
Pero lo primero, agradecer todo el trabajo haciendo los ejercicios y explicando sus resultados.

Ahora bien, mi pregunta es sobre el ejercicio 7, dado que al calcular la continuidad en el punto Pi/2, al sustituir y calcular no me da como resultado 2, sino que el sen(pi/2)+1 me da como resultado 1,024… lo cual (obviamente) no es igual a dos, por lo que en este punto no sería continua. Lo que más se acercaría a dos seria haciendo el coseno, en vez del seno, y aun así no daría como resultado 2, sino que daría 1.99962. No se si me estoy saltando algo, pero le he dado un par de vueltas y no encuentro ningún error.

Un saludo, y, de nuevo, muchas gracias por el trabajo.

Antonio Tapia

Octubre 2021

Tienes un error, para calcular $sen( \frac{\pi}{2})$ tienes que cambiar el formato de tu calculadora a radianes o hacer la conversión $\frac{\pi }{2}=90^{0}$ .

DENELL GUERRERO

Abril 2022

Hola buenas noches profe me puede ayudar
Aplique la definición de la derivada y verifique que sea está forma
F1(c)=limi f(c+h)-f(c)
H -0 h
Para las siguientes funciones
Cos( x )
Log(x)
Ln(x)
ax; a es un número o valor constaste
Cos(x)

maria virginia

Junio 2021

hola como se yo para una función no derivable

sergio javier

Abril 2021

Hola, me podrían ayudar con este problema: Reconstruya la función derivable 𝑓(𝑧) a partir de la condición 𝑓(𝑖) = −1 + 2𝑖 y la parte real 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 + 2x

Ejercicios de derivabilidad y continuidad

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