Ejercicios propuestos

1 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función {f(x) = |x|}.

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función {f(x) = |x|}.

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\  x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}

 

La función es continua.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =-1}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=0} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

2 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}

 

La función es continua.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)^{2}-0^{2}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h \to 0^{+}}h=0}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=0} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

3 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}

 

La función no es continua, por lo tanto tampoco derivable.

 

4 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}

 

La función es continua.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{0-0}{h} = 0}

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=0} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

5Hallar el punto en que {y = |x + 2|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

 

Hallar el punto en que {y = |x + 2|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

1Pasamos a una función a trozos

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -x-2 & \mbox{si} & x<-2 \\ x+2 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}

 

2Estudiamos la continuidad en {x = -2}

 

{f(-2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=0}

 

La función es continua en todo {\mathbb{R}}.

 

3Estudiamos la derivabilidad.

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -1 & \mbox{si} & x<-2 \\ 1 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=-2} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

Ejercicios de continuidad y derivabilidad 1

 

En {x=-2} hay un pico, por lo que no es derivable en dicho punto.

 

6Hallar los puntos en que {y = |x^{2}-5x + 6|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

 

Hallar los puntos en que {y = |x^{2}-5x + 6|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

1Pasamos a una función a trozos

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x<2 \\ -x^{2}+5x - 6 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x\ge 3\end{array}}

 

2Estudiamos la continuidad en {x = 2} y {x = 3}

 

{f(2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=0}

 

{f(3) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=0}

La función es continua en todo {\mathbb{R}}.

 

3Estudiamos la derivabilidad.

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x-5 & \mbox{si} & x<2 \\ -2x+5 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ 2x-5 & \mbox{si} & x\ge 3 \end{array}}

 

{f'(2^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(2^+) =1}

 

{f'(3^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(3^+) = 1}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=-2} y en {x=3} son distintas, la función no es derivable en dichos puntos.

 

Ejercicios de continuidad y derivabilidad 2

 

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

 

7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} cos\; x +2 & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2x}{\pi}+1 & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ sen\; x +1 & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}

 

 

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} cos\; x +2 & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2x}{\pi}+1 & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ sen\; x +1 & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}

 

1La función no es continua en {x = 0} porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.Estudiamos la continuidad en {x = \displaystyle\frac{\pi}{2}}

 

{f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}f(x)=2}

 

La función es continua en {\displaystyle\frac{\pi}{2}}.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -sen\; x & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2}{\pi} & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ cos\; x & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}

 

{f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^-\right) = -\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^+\right) =0}

 

Puesto que las derivadas laterales  son distintas, la función no es derivable en {\displaystyle\frac{\pi}{2}}.

8Dada la función:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}

 

¿Para qué valores de {a} es derivable?

 

 

Dada la función:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}

 

¿Para qué valores de {a} es derivable?

 

1Estudiamos la continuidad en {x = 1}

 

{f(1) = 3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{2}{a}}

 

Para que la función sea continua en {x=1}, se requiere que los límites laterales sean iguales

 

{3-a=\displaystyle\frac{2}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=1, \; 2 }

 

2Estudiamos la derivabilidad en {x=1}

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2ax & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{-2}{ax^{2}} & \mbox{si} & x> 1\end{array}}

 

{f'\left(1^-\right) = -2a, \ \ \ \ \ f'\left(1^+\right) =\displaystyle\frac{-2}{a}, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a=\pm 1}

 

Derivable para {a=1}. Para {a=-1} la función no es continua..

 

9Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}

 

 

Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}

 

1Estudiamos la continuidad en {x = 0}

 

{f(0) = b, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=b}

 

Para que la función sea continua en {x=0}, se requiere que los límites laterales sean iguales, entonces {b=0}

 

2Estudiamos la derivabilidad en {x=0}

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3x^{2}-1 & \mbox{si} & x< 0 \\ a & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}

 

{f'\left(0^-\right) = -1, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =a, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a= -1}

 

Derivable para {a=-1}.

 

10Determinar los valores de {a} y {b} para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} bx^{2}+ax & \mbox{si} & x\le -1 \\ && \\ \displaystyle\frac{a}{x} & \mbox{si} & -1<x\le 1 \\ && \\ \displaystyle\frac{x^{2}+ax+1}{x+1} & \mbox{si} & x > 1 \end{array}}

 

 

Determinar los valores de {a} y {b} para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} bx^{2}+ax & \mbox{si} & x\le -1 \\ && \\ \displaystyle\frac{a}{x} & \mbox{si} & -1<x\le 1 \\ && \\ \displaystyle\frac{x^{2}+ax+1}{x+1} & \mbox{si} & x > 1 \end{array}}

 

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en {x=0} porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de {a/0} no es un número real.

 

No existen valores de {a} y {b} que hagan continua la función.

 

Por tanto, no existen valores de {a} y {b} para los cuales la función sea derivable.

 

11Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+2 & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\sqrt{ax+b} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \mbox{si} & x > 2 \end{array}}

 

 

Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+2 & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\sqrt{ax+b} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \mbox{si} & x > 2 \end{array}}

 

1Estudiamos la continuidad en {x = 0} y {x = 2}

 

{f(0) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=4 }

 

{f(2) = \sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=-1 }

 

Para que la función sea continua en todo {\mathbb{R}}, se requiere que {a=-1} y {b=4}

 

2Estudiamos la derivabilidad en {x = 0} y {x = 2}

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x & \mbox{si} & x\le  0 \\ && \\  \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{-x+4}} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}\end{array}}

 

{f'\left(0^-\right) = 0, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{4}}

 

No es derivable en {x=0}.

 

{f'\left(2^-\right) = \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}, \ \ \ \ \ f'\left(2^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}}

 

Es derivable en {x=2}.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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