El estudio de la continuidad y la derivabilidad de funciones es esencial para comprender el comportamiento local y global de las mismas. Estas propiedades están estrechamente relacionadas con la suavidad de una curva y con la posibilidad de calcular sus pendientes en cada punto.
Una función es continua en un punto si no presenta "saltos", "agujeros" ni "rupturas" en ese punto. Formalmente, decimos que una función 
es continua en 
si se cumple que:
Una función es derivable en un punto si existe su derivada en ese punto, es decir, si se puede calcular su pendiente en ese instante. La derivabilidad implica continuidad, pero no ocurre lo contrario: una función puede ser continua en un punto sin ser derivable allí.
A continuación, encontrarás una serie de ejercicios resueltos que te ayudarán a identificar, verificar y entender la continuidad y derivabilidad de funciones, tanto de forma algebraica como gráfica.
Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:
1En primer lugar estudiamos la continuidad en 
La función es continua.
2Estudiamos la derivabilidad.
La función es polinomial, por tanto es derivable en todos los puntos.
1En primer lugar estudiamos la continuidad en 
La función es continua.
2Estudiamos la derivabilidad.
La función es polinomial, por tanto es derivable en todos los puntos.
1En primer lugar estudiamos la continuidad en 
La función es no es continua.
2Como la función no es continua en 
, entonces no es derivable en dicho punto.
1En primer lugar estudiamos la continuidad en , ya que el denominador nunca se anula.
La función es continua.
2Estudiamos la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales en son iguales, la función es derivable en dicho punto.
Primero notamos que
1En primer lugar estudiamos la continuidad en
La función es continua.
2Estudiamos la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales en son distintas, la función no es derivable en dicho punto.
1En primer lugar estudiamos la continuidad en
La función es continua.
2Estudiamos la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales en son distintas, la función no es derivable en dicho punto.
1En primer lugar estudiamos la continuidad en
La función no es continua, por lo tanto tampoco derivable.
1En primer lugar estudiamos la continuidad en
La función es continua.
2Estudiamos la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales en son distintas, la función no es derivable en dicho punto.
1Pasamos a una función a trozos
2Estudiamos la continuidad en 
La función es continua en todo 
.
3Estudiamos la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales en 
son distintas, la función no es derivable en dicho punto.
En hay un pico, por lo que no es derivable en dicho punto.
1Pasamos a una función a trozos
2Estudiamos la continuidad en 
y 
La función es continua en todo .
3Estudiamos la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales en 
y en 
son distintas, la función no es derivable en dichos puntos.
Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.
1La función no es continua en 
porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.Estudiamos la continuidad en 
La función es continua en 
.
2Estudiamos la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en .
Dada la función:
¿Para qué valores de 
es derivable?
1Estudiamos la continuidad en 
Para que la función sea continua en , se requiere que los límites laterales sean iguales
2Estudiamos la derivabilidad en
Derivable para 
. Para 
la función no es continua.
Estudiar para qué valores de y 
la función es continua y derivable:
1Estudiamos la continuidad en
Para que la función sea continua en , se requiere que los límites laterales sean iguales, entonces 
2Estudiamos la derivabilidad en
Derivable para .
Determinar los valores de y para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:
Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de 
no es un número real.
No existen valores de y que hagan continua la función.
Por tanto, no existen valores de y para los cuales la función sea derivable.
Estudiar para qué valores de y la función es continua y derivable:
1Estudiamos la continuidad en y
Para que la función sea continua en todo , se requiere que y 
2Estudiamos la derivabilidad en y
No es derivable en .
Es derivable en .
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La descripcion es erronea donde da la derivada de arcocotangente, ya que dice derivada de arcotangete, se comieron el co, lo que puede llevar a confunciones, como en mi caso que pense que era la derivada de la inversa de tangente, cuando era la derivada de la inversa de cotangente.
Hola entendemos la confusión, pero como sabes en cada lugar toman la notación en forma diferente, en este caso se tomo arccot(x) donde se repite la c para diferenciar de arctan(x).
me pueden ayudar encontrar la derivada de : y=7 elevado a la 4 + e elevado a la x-4 – ln X + 100
Medio tarde me parece mi respuesta, pero simplemente tenes que derivar cada termino independientemente:
7^4=(7.4)^3
e^x-4=e^x-4 (por formula)
lnx=1/x
100=0 (Derivando una constante en terminos de x)
Excelente contenido. Creo es posible mejorar el contenido para que sea más didáctico con más ejemplos, partiendo de lo elemental a lo complejo, para que el texto pueda ser más entendible para estudiantes de secundaria en Costa Rica.
Excelente artículo y muy dinámico.
Agradecemos tu comentario, la verdad estamos trabajando mucho para lograr tener las mejores explicaciones para que sea mas entendible al publico y para ello lo que ustedes recomienden nos ayuda en gran forma, esperamos que en un futuro seamos mejores siguiendo sus sugerencias, otra vez gracias.
Hola: El últipo ejercicio de aplicación me parece que es incorrecto ya que no está obteniendo la derivada del volumen del cono
Hola si te refieres al triángulo que gira, si se derivo el volumen, si estoy equivocado por favor indícamelo.