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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos

1 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ${f(x) = |x|}$ .

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ${f(x) = |x|}$ .

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =-1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

2 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)^{2}-0^{2}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h \to 0^{+}}h=0}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

3 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}$

La función no es continua, por lo tanto tampoco derivable.

4 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{0-0}{h} = 0}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

5Hallar el punto en que ${y = |x + 2|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Hallar el punto en que ${y = |x + 2|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

1Pasamos a una función a trozos

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -x-2 & \mbox{si} & x<-2 \\ x+2 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}$

2Estudiamos la continuidad en ${x = -2}$

${f(-2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=0}$

La función es continua en todo ${\mathbb{R}}$ .

3Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -1 & \mbox{si} & x<-2 \\ 1 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=-2}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Ejercicios de continuidad y derivabilidad 1

En ${x=-2}$ hay un pico, por lo que no es derivable en dicho punto.

6Hallar los puntos en que ${y = |x^{2}-5x + 6|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Hallar los puntos en que ${y = |x^{2}-5x + 6|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

1Pasamos a una función a trozos

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x<2 \\ -x^{2}+5x - 6 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x\ge 3\end{array}}$

2Estudiamos la continuidad en ${x = 2}$ y ${x = 3}$

${f(2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=0}$

${f(3) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=0}$

La función es continua en todo ${\mathbb{R}}$ .

3Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x-5 & \mbox{si} & x<2 \\ -2x+5 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ 2x-5 & \mbox{si} & x\ge 3 \end{array}}$

${f'(2^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(2^+) =1}$

${f'(3^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(3^+) = 1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=-2}$ y en ${x=3}$ son distintas, la función no es derivable en dichos puntos.

Ejercicios de continuidad y derivabilidad 2

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} cos\; x +2 & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2x}{\pi}+1 & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ sen\; x +1 & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}$

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

1La función no es continua en ${x = 0}$ porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.Estudiamos la continuidad en ${x = \displaystyle\frac{\pi}{2}}$

${f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}f(x)=2}$

La función es continua en ${\displaystyle\frac{\pi}{2}}$ .

2Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -sen\; x & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2}{\pi} & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ cos\; x & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}$

${f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^-\right) = -\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^+\right) =0}$

Puesto que las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en ${\displaystyle\frac{\pi}{2}}$ .

8Dada la función:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}$

¿Para qué valores de ${a}$ es derivable?

Dada la función:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}$

¿Para qué valores de ${a}$ es derivable?

1Estudiamos la continuidad en ${x = 1}$

${f(1) = 3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{2}{a}}$

Para que la función sea continua en ${x=1}$ , se requiere que los límites laterales sean iguales

${3-a=\displaystyle\frac{2}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=1, \; 2 }$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x=1}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2ax & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{-2}{ax^{2}} & \mbox{si} & x> 1\end{array}}$

${f'\left(1^-\right) = -2a, \ \ \ \ \ f'\left(1^+\right) =\displaystyle\frac{-2}{a}, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a=\pm 1}$

Derivable para ${a=1}$ . Para ${a=-1}$ la función no es continua..

9Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

1Estudiamos la continuidad en ${x = 0}$

${f(0) = b, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=b}$

Para que la función sea continua en ${x=0}$ , se requiere que los límites laterales sean iguales, entonces ${b=0}$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x=0}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3x^{2}-1 & \mbox{si} & x< 0 \\ a & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

${f'\left(0^-\right) = -1, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =a, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a= -1}$

Derivable para ${a=-1}$ .

10Determinar los valores de ${a}$ y ${b}$ para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} bx^{2}+ax & \mbox{si} & x\le -1 \\ && \\ \displaystyle\frac{a}{x} & \mbox{si} & -1<x\le 1 \\ && \\ \displaystyle\frac{x^{2}+ax+1}{x+1} & \mbox{si} & x > 1 \end{array}}$

Determinar los valores de ${a}$ y ${b}$ para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en ${x=0}$ porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de ${a/0}$ no es un número real.

No existen valores de ${a}$ y ${b}$ que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de ${a}$ y ${b}$ para los cuales la función sea derivable.

11Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+2 & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\sqrt{ax+b} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \mbox{si} & x > 2 \end{array}}$

Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

1Estudiamos la continuidad en ${x = 0}$ y ${x = 2}$

${f(0) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=4 }$

${f(2) = \sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=-1 }$

Para que la función sea continua en todo ${\mathbb{R}}$ , se requiere que ${a=-1}$ y ${b=4}$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x = 0}$ y ${x = 2}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{-x+4}} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}\end{array}}$