1 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función {f(x) = |x|}.

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función {f(x) = |x|}.

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\  x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}

 

La función es continua.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=0} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

2 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}

 

La función es continua.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)^{2}-0^{2}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h \to 0^{+}}h=0}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=0} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

3 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}

 

La función no es continua, por lo tanto tampoco derivable.

 

4 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}

 

1En primer lugar estudiamos la continuidad en {x=0}

 

{f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}

 

La función es continua.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{0-0}{h} = 0}

 

{\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=0} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

5Hallar el punto en que {y = |x + 2|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

 

Hallar el punto en que {y = |x + 2|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

1Pasamos a una función a trozos

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -x-2 & \mbox{si} & x<-2 \\ x+2 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}

 

2Estudiamos la continuidad en {x = -2}

 

{f(-2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=0}

 

La función es continua en todo {\mathbb{R}}.

 

3Estudiamos la derivabilidad.

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -1 & \mbox{si} & x<-2 \\ 1 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=-2} son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

 

Ejercicios de continuidad y derivabilidad grafica funcion no derivable en -2

 

En {x=-2} hay un pico, por lo que no es derivable en dicho punto.

 

6Hallar los puntos en que {y = |x^{2}-5x + 6|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

 

Hallar los puntos en que {y = |x^{2}-5x + 6|} no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

1Pasamos a una función a trozos

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x<2 \\ -x^{2}+5x - 6 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x\ge 3\end{array}}

 

2Estudiamos la continuidad en {x = 2} y {x = 3}

 

{f(2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=0}

 

{f(3) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=0}

La función es continua en todo {\mathbb{R}}.

 

3Estudiamos la derivabilidad.

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x-5 & \mbox{si} & x<2 \\ -2x+5 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ 2x-5 & \mbox{si} & x\ge 3 \end{array}}

 

{f'(2^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(2^+) =1}

 

{f'(3^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(3^+) = 1}

 

Puesto que las derivadas laterales en {x=2} y en {x=3} son distintas, la función no es derivable en dichos puntos.

 

Ejercicios de continuidad y derivabilidad grafica de funcion no derivable en x=2 y x=3

 

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

 

7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} cos\; x +2 & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2x}{\pi}+1 & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ sen\; x +1 & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}

 

 

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} cos\; x +2 & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2x}{\pi}+1 & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ sen\; x +1 & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}

 

1La función no es continua en {x = 0} porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.Estudiamos la continuidad en {x = \displaystyle\frac{\pi}{2}}

 

{f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}f(x)=2}

 

La función es continua en {\displaystyle\frac{\pi}{2}}.

 

2Estudiamos la derivabilidad.

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -sen\; x & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2}{\pi} & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ cos\; x & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}

 

{f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^-\right) = -\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^+\right) =0}

 

Puesto que las derivadas laterales  son distintas, la función no es derivable en {\displaystyle\frac{\pi}{2}}.

8Dada la función:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}

 

¿Para qué valores de {a} es derivable?

 

 

Dada la función:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}

 

¿Para qué valores de {a} es derivable?

 

1Estudiamos la continuidad en {x = 1}

 

{f(1) = 3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{2}{a}}

 

Para que la función sea continua en {x=1}, se requiere que los límites laterales sean iguales

 

{3-a=\displaystyle\frac{2}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=1, \; 2 }

 

2Estudiamos la derivabilidad en {x=1}

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2ax & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{-2}{ax^{2}} & \mbox{si} & x> 1\end{array}}

 

{f'\left(1^-\right) = -2a, \ \ \ \ \ f'\left(1^+\right) =\displaystyle\frac{-2}{a}, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a=\pm 1}

 

Derivable para {a=1}. Para {a=-1} la función no es continua..

 

9Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}

 

 

Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}

 

1Estudiamos la continuidad en {x = 0}

 

{f(0) = b, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=b}

 

Para que la función sea continua en {x=0}, se requiere que los límites laterales sean iguales, entonces {b=0}

 

2Estudiamos la derivabilidad en {x=0}

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3x^{2}-1 & \mbox{si} & x< 0 \\ a & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}

 

{f'\left(0^-\right) = -1, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =a, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a= -1}

 

Derivable para {a=-1}.

 

10Determinar los valores de {a} y {b} para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} bx^{2}+ax & \mbox{si} & x\le -1 \\ && \\ \displaystyle\frac{a}{x} & \mbox{si} & -1<x\le 1 \\ && \\ \displaystyle\frac{x^{2}+ax+1}{x+1} & \mbox{si} & x > 1 \end{array}}

 

 

Determinar los valores de {a} y {b} para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} bx^{2}+ax & \mbox{si} & x\le -1 \\ && \\ \displaystyle\frac{a}{x} & \mbox{si} & -1<x\le 1 \\ && \\ \displaystyle\frac{x^{2}+ax+1}{x+1} & \mbox{si} & x > 1 \end{array}}

 

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en {x=0} porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de {a/0} no es un número real.

 

No existen valores de {a} y {b} que hagan continua la función.

 

Por tanto, no existen valores de {a} y {b} para los cuales la función sea derivable.

 

11Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+2 & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\sqrt{ax+b} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \mbox{si} & x > 2 \end{array}}

 

 

Estudiar para qué valores de {a} y {b} la función es continua y derivable:

 

{f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+2 & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\sqrt{ax+b} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \mbox{si} & x > 2 \end{array}}

 

1Estudiamos la continuidad en {x = 0} y {x = 2}

 

{f(0) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=4 }

 

{f(2) = \sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=-1 }

 

Para que la función sea continua en todo {\mathbb{R}}, se requiere que {a=-1} y {b=4}

 

2Estudiamos la derivabilidad en {x = 0} y {x = 2}

 

{f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x & \mbox{si} & x\le  0 \\ && \\  \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{-x+4}} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}\end{array}}

 

{f'\left(0^-\right) = 0, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{4}}

 

No es derivable en {x=0}.

 

{f'\left(2^-\right) = \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}, \ \ \ \ \ f'\left(2^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}}

 

Es derivable en {x=2}.

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,14/5 - 37 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗