Ejercicios de derivabilidad y continuidad

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

No es derivable en x = 0.

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Pasamos a una función a trozos

x + 2 = 0 x = –2

Estudiamos la continuidad en x = –2

La función es continua en toda ℛ.

Estudiamos la derivabilidad en x = –2

f'(−2)⁻ = −1f'(−2)⁺ = 1

No es derivable en: x = –2

En x = –2 hay un pico, por lo que no es derivable en x = –2

Hallar los puntos en que y = |x² − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Estudiamos la continuidad en x = 2 y en x = 3

La función es continua en toda ℛ.

Estudiamos la derivabilidad en x = 2 y x = 3

f'(2)^- = −1f'(2)⁺ = 1

f'(3)^- = −1f'(3)⁺ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x = 2 y x = 3.

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Estudiamos la continuidad en π/2

Es continua en π/2

Veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

Dada la función:

¿Para qué valores de a es derivable?

Estudiamos la continuidad en x = 1

Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales

Estudiamos la derivabilidad en x = 1

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Estudiamos la continuidad en x = 0

Estudiamos la derivabilidad en x = 0

Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de a/0 no es un número real.

No existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de a y b para los cuales la función sea derivable.

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Estudiamos la continuidad en x = 0 y en x = 2

Estudiamos la derivabililidad en x =0 y en x = 2