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Marta

24 febrero 2020

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos

1 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ${f(x) = |x|}$ .

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ${f(x) = |x|}$ .

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

2 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-x & \mbox{si} & x<0 \\ x^{2} & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{-h}{h} =-1}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)^{2}-0^{2}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h \to 0^{+}}h=0}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

3 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}$

La función no es continua, por lo tanto tampoco derivable.

4 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x<0 \\ x & \mbox{si} & x\ge 0 \end{array}}$

1En primer lugar estudiamos la continuidad en ${x=0}$

${f(0) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0}$

La función es continua.

2Estudiamos la derivabilidad.

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}}\frac{0-0}{h} = 0}$

${\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{h}{h} =1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=0}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

5Hallar el punto en que ${y = |x + 2|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Hallar el punto en que ${y = |x + 2|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

1Pasamos a una función a trozos

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -x-2 & \mbox{si} & x<-2 \\ x+2 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}$

2Estudiamos la continuidad en ${x = -2}$

${f(-2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=0}$

La función es continua en todo ${\mathbb{R}}$ .

3Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -1 & \mbox{si} & x<-2 \\ 1 & \mbox{si} & x\ge -2 \end{array}}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=-2}$ son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

En ${x=-2}$ hay un pico, por lo que no es derivable en dicho punto.

6Hallar los puntos en que ${y = |x^{2}-5x + 6|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Hallar los puntos en que ${y = |x^{2}-5x + 6|}$ no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

1Pasamos a una función a trozos

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x<2 \\ -x^{2}+5x - 6 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ x^{2}-5x + 6 & \mbox{si} & x\ge 3\end{array}}$

2Estudiamos la continuidad en ${x = 2}$ y ${x = 3}$

${f(2) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=0}$

${f(3) = 0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=0}$

La función es continua en todo ${\mathbb{R}}$ .

3Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x-5 & \mbox{si} & x<2 \\ -2x+5 & \mbox{si} & 2\le x < 3 \\ 2x-5 & \mbox{si} & x\ge 3 \end{array}}$

${f'(2^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(2^+) =1}$

${f'(3^-) = -1, \ \ \ \ \ f'(3^+) = 1}$

Puesto que las derivadas laterales en ${x=2}$ y en ${x=3}$ son distintas, la función no es derivable en dichos puntos.

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} cos\; x +2 & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2x}{\pi}+1 & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ sen\; x +1 & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}$

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

1La función no es continua en ${x = 0}$ porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.Estudiamos la continuidad en ${x = \displaystyle\frac{\pi}{2}}$

${f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}f(x)=2}$

La función es continua en ${\displaystyle\frac{\pi}{2}}$ .

2Estudiamos la derivabilidad.

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -sen\; x & \mbox{si} & x<0 \\ \displaystyle\frac{2}{\pi} & \mbox{si} & 0< x < \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ cos\; x & \mbox{si} & x\ge \displaystyle\frac{\pi}{2}\end{array}}$

${f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^-\right) = -\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}^+\right) =0}$

Puesto que las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en ${\displaystyle\frac{\pi}{2}}$ .

8Dada la función:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}$

¿Para qué valores de ${a}$ es derivable?

Dada la función:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3-ax^2 & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{2}{ax} & \mbox{si} & x>1\end{array}}$

¿Para qué valores de ${a}$ es derivable?

1Estudiamos la continuidad en ${x = 1}$

${f(1) = 3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=3-a, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{2}{a}}$

Para que la función sea continua en ${x=1}$ , se requiere que los límites laterales sean iguales

${3-a=\displaystyle\frac{2}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=1, \; 2 }$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x=1}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2ax & \mbox{si} & x\le 1 \\ \displaystyle\frac{-2}{ax^{2}} & \mbox{si} & x> 1\end{array}}$

${f'\left(1^-\right) = -2a, \ \ \ \ \ f'\left(1^+\right) =\displaystyle\frac{-2}{a}, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a=\pm 1}$

Derivable para ${a=1}$ . Para ${a=-1}$ la función no es continua..

9Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}-x & \mbox{si} & x< 0 \\ ax+b & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

1Estudiamos la continuidad en ${x = 0}$

${f(0) = b, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=b}$

Para que la función sea continua en ${x=0}$ , se requiere que los límites laterales sean iguales, entonces ${b=0}$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x=0}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 3x^{2}-1 & \mbox{si} & x< 0 \\ a & \mbox{si} & x\ge 0\end{array}}$

${f'\left(0^-\right) = -1, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =a, \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ a= -1}$

Derivable para ${a=-1}$ .

10Determinar los valores de ${a}$ y ${b}$ para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} bx^{2}+ax & \mbox{si} & x\le -1 \\ && \\ \displaystyle\frac{a}{x} & \mbox{si} & -1<x\le 1 \\ && \\ \displaystyle\frac{x^{2}+ax+1}{x+1} & \mbox{si} & x > 1 \end{array}}$

Determinar los valores de ${a}$ y ${b}$ para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en ${x=0}$ porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de ${a/0}$ no es un número real.

No existen valores de ${a}$ y ${b}$ que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de ${a}$ y ${b}$ para los cuales la función sea derivable.

11Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

${f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+2 & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\sqrt{ax+b} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \mbox{si} & x > 2 \end{array}}$

Estudiar para qué valores de ${a}$ y ${b}$ la función es continua y derivable:

1Estudiamos la continuidad en ${x = 0}$ y ${x = 2}$

${f(0) = 2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=2, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=4 }$

${f(2) = \sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\sqrt{2a+4}, \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=-1 }$

Para que la función sea continua en todo ${\mathbb{R}}$ , se requiere que ${a=-1}$ y ${b=4}$

2Estudiamos la derivabilidad en ${x = 0}$ y ${x = 2}$

${f'(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 2x & \mbox{si} & x\le 0 \\ && \\ \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{-x+4}} & \mbox{si} & 0<x\le 2 \\ && \\ \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}\end{array}}$

${f'\left(0^-\right) = 0, \ \ \ \ \ f'\left(0^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{4}}$

No es derivable en ${x=0}$ .

${f'\left(2^-\right) = \displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}, \ \ \ \ \ f'\left(2^+\right) =\displaystyle\frac{-1}{2\sqrt{2}}}$

Es derivable en ${x=2}$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Mia Torres

Octubre

Tengo una duda sobre el ejercicio 10… A pesar de que exista un punto (x=0) donde la función no existe, podemos seguir calculando su continuidad, por lo tanto, si el valor b fuera 0, y el valor a fuera 2, la función sería continua en todos sus puntos (excepto x=0).
Por lo tanto, al comprovar su derivabilidad, observamos que, pese a ser continua, no es derivable por ningún valor de a o b.

¿Es correcto?

Gaspar Leon

Mayo

Hola Mia,

estás en lo correcto. Esto es debido a que la continuidad no implica diferenciabilidad.

Para los valores de a y b que mencionas la función es continua si restringimos al intervalo abierto que va de menos infinito a 0, pero al calcular la derivada cuando x se aproxima a -1 por la izquierda se obtiene -2, mientras que al calcular la derivada cuando x se aproxima a -1 por la derecha se obtiene 2; como ambos valores no son iguales se concluye que la función no posee derivada en x=-1. De manera similar se muestra que aunque la función sea continua al restringir al intervalo abierto que va de 0 a infinito, la función no posee derivada en x=1.

Espero haber resuelto tu duda.
Saludos

Agustina

Junio

En el ejercicio número 9 me gustaría saber porqué se iguala, ósea porque se iguala y se dice que b=0 y a=-1. Gracias

Luis Maciel Baron

Julio

¡Hola!

Con gusto respondo a tu pregunta.

Para que una función sea continua no deben existir «saltos» en su gráfica, y como esta función está representada en 2 trozos, cuya regla de correspondencia cambia en x=0, debemos buscar que ambas reglas de correspondencia coincidan para ese valor de ‘x’. Justo es lo que se realiza en el ejercicio y para que esa condición se cumpla, b=0.

Por otro lado, para que una función a trozos sea derivable, la derivada en x=0 debe ser la misma para ambas reglas de correspondencia, por lo tanto se evalúa la primer derivada en el primer trozo y se iguala con la derivada del segundo trozo, de ahí se deduce que ‘a’ debe ser -1 para que se cumpla dicha condición.

Espero que esta breve explicación te haya sido de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas.

¡Saludos!

ignacio

Septiembre

hola, buenos dias! profe le puedo hacer una consulta en el ejercicio 1 me surgieron 2 dudas ¿por qué? en la parte donde estudiamos la continuidad de el limite de la función estaria dando cero, yo habia estado calculando limetes por ambos lados como se combierte en una funcion partida , me dió negativo y positivo , ó estudio el limite de el modulo que ensecaso el modulo de cualquier numero siempre da un número positivo .
y mi segunda consulta seria en el estudio de la derivabilidad de la misma funcion noto que esta escrito » -(0+h)-0/h » mi duda esta porque aparece el signo negativo espero pueda responder de ante mano se lo re agradezco !!!

Luis Ernesto Sanchez Perez

Octubre

Buen día.

Claro, con gusto te aclaro tus dudas.

De tu primer duda. Sabemos que el valor absoluto (o módulo) de un número siempre es positivo. Así, si nos acercamos desde la derecha al cero, notemos que siempre serán números positivos acercándose al cero. Por otro lado, si nos acercamos desde la izquierda, tenemos que $x$ es negativo, pero $|x|$ siempre será positivo, por la definición de valor absoluto. En realidad, en este caso no importa si es positivo o negativo, sino que al aproximarnos por ambos lados, obtengamos el mismo valor, notemos que si un número negativo se aproxima a cero, su valor absoluto también, igual, si un número positivo se acerca a cero, su valor absoluto también, y por lo tanto la función valor absoluto es continua en $x = 0$ .

Tu segunda duda. Tienes razón, en el límite de la derivada por la izquierda tenemos $-1$ y en el límite de la derivada por la derecha deberíamos tener $1$ , ahí tenemos un error, lo corregiré en breve para evitar más confusiones.

Gracias por tu apoyo.

Saludos

Christian

Octubre

Hola, tengo una duda en el ejercicio 11. Cuando calculan la derivada lateral cuando x tiende a 2+ pone √b en lugar de sustituir 2 en el tercer trozo de la función. Creo que es un error pero no me fío mucho de mi mismo xd.

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Noviembre

Hola Christian.

Esto se debe a que si te «acercas» a 0 por la izquierda, es decir tomas valores de $x| x<0$ entonces la función esta definida como $f(x)=x^2+2$ , por lo que el limite es 2, pero si te «acercas» por la derecha tomas valores de $0<x\leq2$ , por lo que para estos valores la función esta definida como $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , en cuyo caso cuando $x \rightarrow 0^{+}$ el limite es $\sqrt{b}$ .

Saludos.

Ejercicios de derivabilidad y continuidad

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