Definición de derivada

Existen varias formas de definir la derivada, estás tienen que ver con geometría, física, economía, pero al final todas son la misma.

 

Desde el punto de vista geométrico, la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función. La derivada de una función {f(x)} viene dada por

 

{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

 

Se dice que la derivada de {f(x)} existe si el límite existe; en caso de que el límite no exista, se dice que la derivada no existe.

 

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Ejercicio de derivada de una función lineal

1Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = 3x - 7}

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & 3(x + h) - 7 \\\\ & = & 3x + 3h -7 \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(3x + 3h -7) - (3x - 7)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3h}{h} \\\\ & = & 3 \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} 3 \\\\ & = & 3 \end{array}}

Ejercicios de derivadas de funciones cuadráticas

2Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = x^2 - x + 1}

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^2 - (x + h) + 1 \\\\ & = & x^2 + 2xh + h^2 - x - h + 1 \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - x - h + 1) - (x^2 - x + 1)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2xh + h^2 - h}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(2x + h - 1)}{h} \\\\ & = & 2x + h - 1 \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h - 1) \\\\ & = & 2x - 1 \end{array}}

3Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = 3x^2 + 5x - 2}

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & 3(x + h)^2 + 5(x + h) - 2 \\\\ & = & 3(x^2 + 2xh + h^2) + 5(x + h) - 2 \\\\ & = & 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h - 2 \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h - 2) - (3x^2 + 5x - 2)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{6xh + 3h^2 + 5h}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(6x + 3h + 5)}{h} \\\\ & = & 6x + 3h + 5 \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (6x + 3h + 5) \\\\ & = & 6x + 5 \end{array}}

Ejercicios de derivadas de funciones cúbicas

4Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = x^3 + 8}

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^3 + 8 \\\\ & = & x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8 \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8) - (x^3 + 8)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \\\\ & = & 3x^2 + 3xh + h^2 \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) \\\\ & = & 3x^2 \end{array}}

5Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = x^3 + 8x^2 - 1}

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^3 + 8(x + h)^2 - 1 \\\\ & = & x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8x^2 + 16xh + 8h^2 - 1 \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8x^2 + 16xh + 8h^2 - 1) - (x^3 + 8x^2 - 1)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 16xh + 8h^2}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h)}{h} \\\\ & = & 3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h) \\\\ & = & 3x^2 + 16x \end{array}}

Ejercicio de derivadas de cocientes

6Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = \displaystyle \frac{3}{x - 1} }

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{3}{x + h - 1} \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x + h - 1} - \displaystyle \frac{3}{x - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(3x - 3) - (3x + 3h - 3)}{(x - 1)(x + h - 1)}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-3h}{(x - 1)(x + h - 1)}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-3}{(x - 1)(x + h - 1)} \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-3}{(x - 1)(x + h - 1)} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{3}{(x - 1)^2} \end{array}}

7Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} }

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{(x + h)^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} - \displaystyle \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(x^2 + 2xh + h^2 + 1)(x^2 - 1)-(x^2 + 1)(x^2 + 2xh + h^2 - 1)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-4xh - 2h^2}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-h(4x + 2h)}{h(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-(4x + 2h)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-(4x + 2h)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{4x}{(x^2 - 1)^2} \end{array}}

Ejercicios de derivadas de raíces

8Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = \displaystyle \sqrt{3x - 1} }

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \sqrt{3(x + h) - 1} \\\\ & = & \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y racionalizamos para tratar con el denominador {h}

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} - \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} - \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{h} \cdot \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{(3x + 3h - 1) - (3x - 1)}{h\left( \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3h}{h\left( \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}} \end{array}}

9Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x - 1}} }

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3(x + h) - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x + 3h - 1}} \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y racionalizamos para tratar con el denominador {h}

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x + 3h - 1}} - \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x - 1}}}{h} \\\\  & = & \displaystyle \frac{5(\sqrt{3x - 1} - \sqrt{3x + 3h - 1})}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(\sqrt{3x - 1} - \sqrt{3x + 3h - 1})}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})} \cdot \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1}}{\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5[(3x - 1) - (3x + 3h - 1)]}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})\left( \displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(-3h)}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})\left( \displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-15}{(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})(\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1})} \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-15}{(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})(\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1})} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{15}{2\sqrt{(3x - 1)^3}} \end{array}}

Ejercicio donde no existe la derivada

10Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = |3x|} en {x=0}

1Encontramos {f(x+h)}

 

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle |3(x + h)| \\\\ & = & \displaystyle |3x + 3h| \end{array}}

 

2Calculamos el cociente de la definición de derivada

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{|3x + 3h| - |3x|}{h} \end{array}}

 

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior en {x = 0}

 

{\begin{array}{rcl} f'(0) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{|3(0) + 3h| - |3(0)|}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|3h|}{h} \end{array}}

 

4La función valor absoluto se expresa de la forma

 

{f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 3x  &  si \ x\geq 0 \\\\ -3x  &  si \ x<0 \end{array} \right.}

 

Así, los límites laterales para {\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|3h|}{h}} no son iguales

 

{\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{|3h|}{h} = 3, \ \ \ \ \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{|3h|}{h} = -3 }

 

y por tanto la derivada de {f(x)} en {x = 0} no existe

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Gaspar

Comparto aquí mi gusto e interés por las matemáticas.