Calcular la derivada

 

1 Calcular las derivadas en los puntos que se indica:

  • f(x)=2x^2-6x+5 en x=-5.

  • f(x)=x^3+2x-5 en x=1.

  • f(x)=\frac{1}{x} en x=2.

  • f(x)=\sqrt{x} en x=3.

 

Recordemos que una manera de calcular la derivada es a través de su definición, esto es, calculando el siguiente límite

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
 

1 f(x)=2x^2-6x+5 en x=-5

 

Obtener la derivada

 

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{2(x+h)^2-6(x+h)+5-(2x^2-6x+5)}{h}

Eliminamos paréntesis desarrollando

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{2x^2+4xh+2h^2-6x-6h+5-2x^2+6x-5}{h}

Cancelamos términos y factorizamos la h en el numerador

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{4xh-6h+2h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{h(4x-6+2h)}{h}

Simplificamos y calculamos el límite

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} 4x-6+2h = 2x-6 + 2\cdot 0 =4x-6

Finalmente

f'(x)=4x-6

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto x=-5

f'(-5)=4(-5)-6=-26

 

2 f(x)=x^3+2x-5 en x=1.

 

Obtener la derivada

 

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^3+2(x+h)-5-(x^3+2x-5)}{h}

Eliminamos paréntesis desarrollando

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+2x+2h-5-x^3-2x+5}{h}

Cancelamos términos y factorizamos la h en el numerador

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3+2h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2+2)}{h}

Simplificamos y calculamos el límite

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} 3x^2+3xh+h^2+2=3x^2+3x\cdot 0+0^2+2=3x^2+2

Finalmente

f'(x)=3x^2+2

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto x=1

f'(1)=3(1)^2+2=5

 

3 f(x)=\frac{1}{x} en x=2

 

Obtener la derivada

 

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}

Desarrollamos

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{-h}{x^2+xh}}{h}

Simplificamos y calculamos el límite

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}-\frac{1}{x^2+xh}=-\frac{1}{x^2}

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto x=2

f'(2)=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}

 

4 f(x)=\sqrt{x} en x=3.

 

Obtener la derivada

 

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}

Mutliplicamos por el conjugado para racionalizar

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}

Desarrollamos

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}

Simplificamos y calculamos el límite

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto x=3

f'(3)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}

 

2 ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 - 3t^2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

 

Obtener la derivada

 

La velocidad es igual a la derivada de la ecuación de posición, en este caso e

\displaystyle v(t)=e'(t)=\lim_{h\rightarrow 0 }\frac{2-3(t+h)^2-(2-3t^2)}{h}

Eliminamos paréntesis desarrollando

\displaystyle v(t)=\lim_{h\rightarrow 0 }\frac{2-3t^2-6th-3h^2-2+3t^2}{h}

Cancelamos términos y factorizamos la h en el numerador

\displaystyle v=\lim_{h\rightarrow 0 }\frac{-6th-3h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0 }\frac{h(-6t-3h)}{h}

Simplificamos y calculamos el límite

\displaystyle v=\lim_{h\rightarrow 0 }-6t-3h=-6t

 

Evaluar

 

v(5)=-6(5)=-30\text{m/s}

 

Encontrar las coordenadas

 

3 Dada la curva de ecuación f(x) = 2x^2 - 3x - 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

 

Obtener la derivada

 

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h)^2-3(x+h)-1-(2x^2-3x-1)}{h}

Eliminamos paréntesis desarrollando

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2-3x-3h-1-2x^2+3x+1}{h}

Cancelamos términos y factorizamos la h en el numerador

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4xh+2h^2-3h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(4x+2h-3)}{h}

Simplificamos y calculamos el límite

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}4x-3

 

Igualar la derivada y obtener el valor de la abscisa

 

Queremos que la recta tangente a la curva forme un ángulo de 45° con el eje OX, es decir, queremos que su pendiente tenga de valor \tan 45^\circ

f'(x)=\tan 45^\circ=1

Esto es,

4x-3=1 \hspace{2cm} 4x=4 \hspace{2cm} x=1

 

Obtener la ordenada y encontrar el punto

 

Evaluamos el punto x=1 en f(x) y así obtenemos la ordenada del punto

f(1)=2\cdot 1^2-3\cdot 1-1=-2 \hspace{2cm} P(1,-2)

 

 

Estudiar continuidad y derivabilidad

 

4 Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

f(t)=\left\{\begin{matrix} 10^6 & & \text{si} & &0\leq t\leq 2 \\ 10^6 \cdot e^{t-2} & & \text{si} & & t>2 \end{matrix}\right.

Se pide:

  • Verificar que la población es función continua del tiempo.

  • Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

  • Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

 

1 Continuidad

 

Una función constante y exponencial son continuas, por lo que claramente f es continua en 0<x<2 y x>2.

Resta verificar si f es continua en el punto x=2

 

\text{Valor de la funci\'on en el punto } \hspace{1cm}\rightarrow \hspace{1cm} f(2)=10^6

\displaystyle \text{L\'imite izquierdo } \hspace{1cm}\rightarrow \hspace{1cm} \lim_{t\rightarrow 2^-}10^6=10^6

\displaystyle \text{L\'imite derecho } \hspace{1cm}\rightarrow \hspace{1cm} \lim_{t\rightarrow 2^+}10^6\cdot e^{t-2}=10^6

 

Como estos tres valores son iguales, la función es continua en 2, y con esto, es continua en todos los puntos.

 

2 Tasa de variación media en [0, 2] y [0, 4]

 

En [0, 2]

\displaystyle \text{TVM}=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{10^6-10^6}{2}=0

En [0, 4]

\displaystyle \text{TVM}=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{10^6\cdot e^{2}-10^6}{4}=1.59\cdot 10^6

 

3 Tasa de variación instantánea en t = 4

 

La derivada está dada por la función

f'(x)=10^6\cdot e^{t-2}

La derivada en t=4 es

f'(4)=10^6\cdot e^{4-2}=10^6\cdot e^2=7.38\cdot 10^6

Se ha hallado la derivada de la función exponencial mediante la fórmula inmediata.

 

5 Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

La función y = |x + 2| es equivalente a la siguiente función

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x-2 & & \text{si }\ x<-2 \\ x+2 & & \text{si }\ x\geq -2 \end{matrix}\right.

La función es claramente continua y derivable para los valores  x<-2 y  -2<x

Sólo queda verificar si lo es en el punto x=-2

Estudiamos la continuidad en x = -2

Podemos verificar que

f(-2)=\lim_{x\rightarrow -2^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)=0

Y por lo tanto la función es continua en toda \mathbb{R}

 

Por otro lado, la función derivada está dada por

\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & & \text{si }\ x<-2 \\ 1 & & \text{si }\ x> -2 \end{matrix}\right.

Estudiamos la derivabilidad en x=-2

Entonces el límite izquierdo y derecho están dados por

\lim_{x\rightarrow -2^-} f'(x) = -1

\lim_{x\rightarrow -2^+} f'(x) = 1

Como no son iguales podemos concluir que f(x) no es derivable en: x = -2.

Analizamos la gráfica

función no derivable representación gráfica

En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en ese punto.

 

6 Hallar los puntos en que y = |x^2 - 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

La función y = |x^2 - 5x + 6| es equivalente a la siguiente función

\left\{\begin{matrix} x^2-5x+6 & & \text{si }\ x<2\ \ \ \ \ \ \\ -x^2+5x-6 & & \text{si }\ 2\leq x<3\\ x^2-5x+6 & & \text{si }\ x\geq 3 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

La función es claramente continua y derivable para los valores  x<2,  2<x<3 y 3<x

Sólo queda verificar si lo es en los puntos x=2 y x=3

Estudiamos la continuidad en x = 2 y en x = 3

Podemos verificar que

 f(2)=\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=0

 f(3)=\lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)=0

Entonces la función es continua en toda \mathbb{R}.

 

Estudiamos la derivabilidad en x = 2 y x = 3

\left\{\begin{matrix} 2x-5 & & \text{si }\ x<2\ \ \ \ \ \ \\ -2x+5 & & \text{si }\ 2< x<3\\ 2x-5 & & \text{si }\ x> 3 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Podemos verificar que los límites laterales en x=2

\lim_{x\rightarrow 2^-} f'(x) = -1

\lim_{x\rightarrow 2^+} f'(x) = 1

Y los límites laterales en x=3 son

\lim_{x\rightarrow 3^-} f'(x) = -1

\lim_{x\rightarrow 3^+} f'(x) = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x = 2 y x = 3.

Analizamos la gráfica

 representación gráfica de la nocion de derivabilidad

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

 

7 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \cos x +2 & & \text{si }\ x<0\ \ \ \ \ \ \\ \frac{2x}{\pi}+1 & & \text{si }\ 0< x<\frac{\pi}{2} \\ \text{sen }x+1 & & \text{si }\ x\geq \frac{\pi}{2}\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Estudiamos la continuidad en \frac{\pi}{2}

El valor en la función es

\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\text{sen }\frac{\pi}{2}+1=2

Los límites laterales son

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \frac{2x}{\pi}+1= \lim_{x\rightarrow \left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}}\text{sen }x+1 =2

Como estos son iguales la función tiene límite en este punto y además

\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)= \lim_{x\rightarrow \left(\frac{\pi}{2}\right)}f(x)

Por lo tanto f(x) es continua en \frac{\pi}{2}

Veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{matrix} -\text{sen } x & &\text{si }\ x<0\ \ \ \ \ \ \\ \frac{2}{\pi} & &\text{si }\ 0<x<\frac{\pi}{2} \\ \cos x & & \text{si }\ x>\frac{\pi}{2} \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Calculamos los límites laterales de la función derivada en \frac{\pi}{2}

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} f'(x) =\frac{2}{\pi}

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} f'(x) =\cos \frac{\pi}{2}=0

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

 

Hallar parámetros

 

8 Dada la función:

\displaystyle f(x)= \left\{\begin{matrix} 3-ax^2 & & \text{si }\ x\leq 1 \\ \frac{2}{ax} & & \text{si }\ x>1 \end{matrix}\right.

¿Para qué valores de a es derivable?

 

Estudiamos la continuidad en x = 1

\displaystyle f(1)=3-a

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}(3-ax^2)=3-a

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \left(\frac{2}{ax}\right)=\frac{2}{a}

Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales

\displaystyle 3-a =\frac{2}{a} \hspace{1cm} a^2-3a-2=0

Resolvemos la cuadrática

\displaystyle a=1 \hspace{2cm} a=2

Estudiamos la derivabilidad en x = 1

\displaystyle f(x)= \left\{\begin{matrix} -2ax & & \text{si }\ x< 1 \\ -\frac{2}{ax^2} & & \text{si }\ x>1 \end{matrix}\right.

Los límites laterales de la derivada son

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f'(x)=-2a [latex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}} f'(x)=\frac{-2}{a}

Para que sea derivable los límites laterales tienen que ser iguales

\displaystyle -2a=\frac{-2}{a} \hspace{1cm} a^2=1 \hspace{1cm} a=\pm 1

Para ser derivable también tiene que ser continua así que sólo es derivable para a=1, pues para a=-1 no es continua

 

9 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^3-x & &\text{si }\ x<0 \\ ax+b & & \text{si }\ x\geq 0 \end{matrix}\right.

 

Estudiamos la continuidad en x = 0

f(0)=b

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x^3-x)=0

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}(ax+b)=b

Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales

b=0

Estudiamos la derivabilidad en x = 0

f'(x)=\left\{\begin{matrix} 3x^2-1 & &\text{si }\ x<0 \\ a & & \text{si }\ x> 0 \end{matrix}\right.

\lim_{x\rightarrow 0^{-}} 3x^2-1=-1

\lim_{x\rightarrow 0^{-}} a=a

Para que sea derivable los límites laterales tienen que ser iguales

a=-1

 

10 Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} bx^2+ax & & \text{si}\ x\leq -1\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{a}{x} & & \text{si}\ -1<x\leq 1 \\ \frac{x^2+ax+1}{x+1} & & \text{si}\ x\geq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de a/0 no es un número real.

No existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de a y b para los cuales la función sea derivable.

 

Ejercicios resueltos de cálculo de derivadas

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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