Ejercicios propuestos

1

Calcular las derivadas en los puntos que se indica:

1 en x = -5.

2 en x = 1.

3 en x = 2.

4 en x = 3.

 

1. en x = 5.

2. en x = 1.

3. en x = 2.

4. en x = 3.

2

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

 

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

3

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t² en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

 

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t² en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

4

Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:

1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

 

Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:

1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

La función es continua

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

Se ha hallado la derivada de la función exponencial mediante la fórmula inmediata.

5

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda .

f'(−2) = −1f'(−2)+ = 1

No es derivable en: x = −2.

En x = 2 hay un pico, por lo que no es derivable en x = 2.

6

Hallar los puntos en que y = |x² − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

Hallar los puntos en que y = |x² − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Estudiamos la continuidad en x = 2 y en x = 3

La función es continua en toda .

Estudiamos la derivabilidad en x = 2 y x = 3

f'(2)- = −1f'(2)+ = 1

f'(3)- = −1f'(3)+ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x = 2 y x = 3.

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

7

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

 

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Estudiamos la continuidad en π/2

Es continua en π/2

Veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

8

Dada la función:

¿Para qué valores de a es derivable?

 

Dada la función:

¿Para qué valores de a es derivable?

Estudiamos la continuidad en x = 1

Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales

Estudiamos la derivabilidad en x = 1

9

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

 

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Estudiamos la continuidad en x = 0

Estudiamos la derivabilidad en x = 0

10

Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 

Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de a/0 no es un número real.

No existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de a y b para los cuales la función sea derivable.

Ejercicios resueltos de cálculo de derivadas

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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