La altura de un polígono se define como la medida de cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Altura de una paralelogramo

Altura y prolongación de un lado

Ortocentro

En el caso particular de un triángulo existe un punto donde se intersectan las tres rectas perpendiculares trazadas desde cada uno de los vértices a través de su lado opuesto. Dicho punto recibe el nombre de ortocentro

ortocentro

Altura del triángulo equilátero

Recordemos que un triángulo equilatero es aquel que tiene tres lados iguales. Para encontrar la altura de un triángulo de este tipo trazamos una recta perpendicular desde uno de sus vertices hasta su lado opuesto y calculamos su magnitud usando el teorema de Pitagoras.

Altura de una triángulo equilatero

Al considerar el triángulo rectángulo de las dos l, \cfrac{l}{2} y h podemos aplicar el teorema de Pitagoras para encontrar el valor de h.

    $$l^{2}=\left(\cfrac{l}{2}\right)^{2}+h^{2},$$

    $$l^{2}=\cfrac{l^{2}}{4}+h^{2},$$

    $$h^{2}=l^{2}-\cfrac{l^{2}}{4}\Rightarrow h=\sqrt{l^{2}-\cfrac{l^{2}}{4}},$$

    $$h=\sqrt{\cfrac{3l^{2}}{4}}\Rightarrow h=\cfrac{\sqrt{3}}{2}l.$$

Ejemplo

Calcular la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

Triangulo equilatero y teorema de Pitagoras

En este caso particular tenemos que el lado de nuestro triángulo vale l=10cm. La formula anterior para la altura solo depende del valor del lado, por lo tanto podemos concluir que

    $$h=\cfrac{\sqrt{3}}{2}l$$

    $$h=\cfrac{\sqrt{3}}{2}(10)=\sqrt{3}\cdot 5=8.66cm.$$

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Altura del trapecio isósceles

Un trapecio isósceles tiene dos bases, una menor b y una mayor B que son paralelos y dos lados oblicuos que miden l. La altura de este trapecio es la distancia que hay entre las bases y se puede calcular usando el teorema de Pitagoras nuevamente.

Trapecio isósceles

Consideramos el triángulo formado por el lado l, la altura h y n=\cfrac{B-b}{2}. Al aplicar el teorema de Pitagoras a este triángulo rectángulo obtenemos que

    $$l^{2}=h^{2}+n^{2}=h^{2}+\left(\cfrac{B-b}{2}\right)^{2}=$$

    $$=h^{2}+\cfrac{(B^{2}-2Bb+b^{2})}{4}=$$

    $$=h^{2}+\cfrac{B^{2}}{4}-\cfrac{Bb}{2}+\cfrac{b^{2}}{4}.$$

    $$h^{2}=l^{2}-\cfrac{B^{2}}{4}+\cfrac{Bb}{2}-\cfrac{b^{2}}{4},$$

    $$h=\sqrt{l^{2}-\cfrac{B^{2}}{4}+\cfrac{Bb}{2}-\cfrac{b^{2}}{4}},$$

    $$h=\sqrt{l^{2}-\cfrac{(B-b)^{2}}{4}}.$$

Ejemplo

Calcular la altura de un trapecio isósceles cuyas bases miden 10 y 4 cm, y lado mide 5 cm.

Altura de un trapecio

Usando la formula anterior y teniendo en cuenta que l=5cm, B=10cm y b=4cm, entonces

    $$h=\sqrt{l^{2}-\cfrac{(B-b)^{2}}{4}}=\sqrt{5^{2}-\cfrac{(10-4)^{2}}{4}}=$$

    $$=\sqrt{25-\cfrac{36}{4}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4cm.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗