Recordemos que el teorema de Pitágoras nos dice que

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

De donde se desprende que

    \[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]

Triángulo rectángulo

Ahora bien, utilizando el teorema de Pitágoras obtendremos el lado de un triangulo equilátero y un cuadrado inscrito.

Lado de un triángulo equilátero inscrito

Queremos obtener el lado "l" de un triangulo equilátero inscrito. Sea "r" el radio de la circunferencia y consideremos el triangulo rectángulo sombreado de la figura.

Triángulo equilátero inscrito en una circunferencia. Con el radio de la circunferencia y la mitad de la base del triángulo, se forma un triángulo rectángulo.

Notemos que la hipotenusa del triangulo rectángulo es  r , y los catetos están conformados por la mitad de un lado \frac{l}{2} y la mitad del radio \frac{r}{2}, entonces

     \[r^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2} \]

Despejando

     \begin{align*} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} &= r^{2}-\left(\frac{r}{2}\right)^{2} \\ & =r^{2}-\frac{r^{2}}{4} \\ \end{align*}

entonces

    \[ \frac{l}{2} = \sqrt{\frac{3 \cdot r^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r \]

Por tanto

     \[ l = \sqrt{3} \cdot r \]

Ejemplo:

Triángulo equilátero inscrito en una circunferencia. El triángulo rectángulo que se forma con el radio y la mitad de la base del otro triángulo, tiene una altura de 5 y una hipotenusa de 10.

Del teorema de Pitágoras

     \[ 10^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + 5^2 \]

entonces

     \[ \left(\frac{l}{2}\right)=\sqrt{75} \quad \Rightarrow \quad l=2 \cdot \sqrt{75}=17.32 \]

 

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Vamos

Lado de un cuadrado inscrito

Sea "l" el lado de un cuadrado inscrito y "r" el radio de la circunferencia. Consideremos el triangulo rectángulo (sombrado en la figura) formado por dos radios que serán los catetos y un lado del cuadrado que será la hipotenusa,

Cuadrado inscrito en una circunferencia. El lado del cuadrado es la base del triángulo rectángulo que se forma junto con dos radios.

entonces

     \[ l = \sqrt{r^2 + r^2 } \]

Ejemplo:

Cuadrado inscrito en una circunferencia. El lado del cuadrado es la base del triángulo rectángulo que se forma junto con dos radios que miden 5.

Puesto que el radio del ejemplo es  r = 5 entonces el lado será

     \[ l = \sqrt{5^2 + 5^2 } = \sqrt{50} = 7.07 \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗