1Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 \, cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

1Representamos gráficamente el cuadrado

 

problemas de areas 1

 

2Su perímetro es 4 \cdot 12 = 48 \, cm. Para calcular el área empleamos

 

A_c = l^2 = (12)^2 = 144 \, cm^2

 

3El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por lo que si su perímetro es de 48 \, cm, entonces cada uno de sus lados mide \cfrac{48}{3} = 16 \, cm

 

problemas de areas 2

 

4Para encontrar el área requerimos conocer su altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h = \sqrt{16^2 - 8^2} = 13.86 \, cm

 

5Para calcular su área, empleamos

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{16 \cdot 13.86}{2} = 110.88 \, cm^2

 

Así, ambas figuras tienen el mismo perímetro, pero distinta área.

 

2Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 \, cm.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 3

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto r = \cfrac{2 h}{3} y se obtiene

 

6 = \cfrac{2 h}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 9 \, cm

 

3Para encontrar el área del triángulo requerimos conocer su base, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

l^2 = 9^2 + \cfrac{l^2}{4} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \cfrac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = 10.39 \, cm

 

4Para calcular su área, empleamos

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{10.39 \cdot 9}{2} = 46.76 \, cm^2

 

3Dado un triángulo equilátero de 6 \, m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 4

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto r = \cfrac{2 h}{3} y se obtiene

 

3Para encontrar el radio, necesitamos conocer la altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

6^2 = 3^2 + h^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 5.2 \, cm

 

4Calculamos el radio

 

r = \cfrac{2 (5.2)}{3} = 3.47 \, cm

 

5Así, el área solicitada es

 

A = \cfrac{\pi \cdot 3.47^2 \cdot 120}{360} = 12.57 \, cm^2

 

4Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 \, m.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 5

 

2Necesitamos conocer un lado del cuadrado, para esto primero calculamos el radio a partir de conocer la circunferencia

 

18.84 = 2 \pi r \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 3 \, cm

 

3Para encontrar el lado del cuadrado, consideramos el triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales son los radios de la circunferencia

 

l^2 = 3^2 + 3^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{18} \, cm

 

4Así, el área del cuadrado es

 

A_c = l^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \, cm^2

 

5En un cuadrado de 2 \, cm de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 6

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el lado del cuadrado de lado 2 \, cm es igual al diámetro del círculo inscrito

 

2 = 2 r_1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_1 = 1 \, cm

 

3El díámetro del primer círculo es igual a la diagonal del segundo cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos el lado del segundo cuadrado

 

2^2 = l_2^2 + l_2^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l_2 = \sqrt{2} \, cm

 

4Así, el área del segundo cuadrado es

 

A_{c2} = l_2^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \, cm^2

 

5El diámetro del segundo círculo es igual al lado del segundo cuadrado

 

\sqrt{2} = 2 r_2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_2 = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \, cm

 

6El área el segundo círculo es

 

A_{cir2} = \pi \cdot \left(\cfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \cfrac{\sqrt{2}}{2} = 1.57 \, cm^2

 

7Así, el área solicitada es

 

A = A_{c2} - A_{cir2} = 2 -1.57 =0.43 \, cm^2

 

6Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 \, m de diagonal.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 7

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia circunscrita es igual a la diagonal del cuadrado

 

2 r_1 = 8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_1 = 4 \, m

 

3El díámetro de la circunferencia inscrita es igual al lado del cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos

 

8^2 = l^2 + l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{32} \, m \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  r_2 = \cfrac{\sqrt{32}}{2}

 

4El área de la corona circular es

 

A = A_1 - A_2 = 4^2 \pi - 8\pi = 25.12 \, m^2

 

7En una circunferencia de radio igual a 4 \, m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 8

 

2Necesitamos conocer el lado del cuadrado; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia es igual a la diagonal del cuadrado. aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

8^2 = l^2 + l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{32} \, m

 

3El área del cuadrado es

 

A_c = l^2 = (\sqrt{32})^2 = 32 \, m^2

 

4Para encontrar el área del triángulo equilátero, dividimos en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura

 

h = \sqrt{l^2 - \left( \cfrac{l}{2} \right)^2} = \sqrt{32 - 8} = \sqrt{24} \, m

 

5El área del triángulo es

 

A_t = \cfrac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{24}}{2} = 13.86 \, m^2

 

6El área de la estrella es

 

A_e = A_c + 4 A_t =32 + 4 \cdot 13.86 =87.44 \, m^2

 

8El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 \, m, las bases miden 40 y 30 /, m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 9

 

2 Como las bases suman 70 \, m, entonces los lados suman 110 - 70 = 40 \, m, luego cada lado mide 20 \, m. Para conocer la altura construimos un triángulo rectángulo como en la figura. empleando el teorema de Pitágorasse tiene

 

20^2 = 5^2 + h^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = \sqrt{375} = 19.36 \, m

 

3Calculamos el área del trapecio

 

A = \cfrac{(30 + 40) \cdot 19.36}{2} = 677.6 \, m^2

 

9Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 \, cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 10

 

2 Para conocer la altura del triángulo, construimos un triángulo rectángulo cuya base es la mitad de su altura. Empleando el teorema de Pitágoras se tiene

 

h_1 = \sqrt{6^2 - 3^2} = 5.2 \, cm

 

3Calculamos la altura h_2 del trapecio

 

h_2 = \cfrac{h_1}{2} = 2.6 \, cm

 

4Calculamos el área del trapecio

 

A = \cfrac{(6 + 3) \cdot 2.6}{2} = 11.7 \, cm^2

 

10El área de un cuadrado es 2304 \, cm^2 . Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 11

 

2 Para conocer el perímetro del cuadrado, debemos calcular el valor de uno de sus lados

 

l^2 = 2304 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 48 \, cm, \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ P_c = 192 \, cm

 

3Calculamos la apotema del hexágono, para ello requerimos el lado del hexágono  \cfrac{192}{6} = 32

 

a = \sqrt{32^2 - 16^2} = 27.71 \, cm

 

4Calculamos el área del hexágono

 

A = \cfrac{192 \cdot 27.71}{2} = 2660.16 \, cm^2

 

11La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 \, m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 11

 

2 Para conocer el área de la mesa, necesitamos encontrar el área del cuadrado y del círculo

 

3Calculamos el área del cuadrado

 

A_1 = 1^2 = 1 \, m^2

 

4Calculamos el área del círculo de radio \cfrac{1}{2}

 

A_2 = \pi \cdot \left ( \cfrac{1}{2} \right )^2 = 0.79 \, m^2

 

5El área de la mesa es

 

A_m = A_1 + A_2 = 1 + 0.79 = 1.79 \, m^2

 

12Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 \, cm el radio de la circunferencia.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 13

 

2 Para conocer el área del sector señalado en verde, basta observar que el círculo se divide en tres sectores iguales de 120^o

 

3Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 2^2= 12.56 \, cm^2

 

4Calculamos el área del sector círcular

 

A_s = \cfrac{12.56}{3} = 4.19 \, cm^2

 

13Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 \, cm el radio de la circunferencia.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 14

 

2 Para conocer el área del sector señalado en verde, basta observar que el círculo se divide en cuatro sectores iguales de 90^o

 

3Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 4^2= 50.24 \, cm^2

 

4Calculamos el área del sector círcular

 

A_s = \cfrac{50.24}{4} = 12.56 \, cm^2

 

14Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 \, cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60^o. Calcular el área del trapecio circular formado.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 15

 

2 Para conocer el área del sector señalado en verde, basta observar que el círculo se divide en seis sectores iguales de 60^o

 

3Calculamos el área de cada círculo

 

A_1 = \pi \cdot 8^2= 200.96 \, cm^2

 

A_2 = \pi \cdot 5^2= 78.5 \, cm^2

 

4Calculamos el área de cada sector

 

A_{s1} = \cfrac{200.96}{6} = 33.49 \, cm^2

 

A_{s2} = \cfrac{78.5}{6} = 13.08 \, cm^2

 

5Calculamos el área del trapecio circular

 

A_t = A_{s1} - A_{s2} = 33.49 - 13.08 = 20.41 \, cm^2

 

15problemas de areas 16Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 \, cm y el radio del círculo mide 3 \, cm.

1Calculamos el área A_1 del cuadrado

 

A_1 = 6^2 = 36 \, cm^2

 

2 Calculamos el área A_2 del círculo

 

A_2 = \pi \cdot 3^2 = 28.26 \, cm^2

 

3Calculamos el área sombreada

 

A_s = A1 - A_2 = 36 - 28.26 = 7.74 \, cm^2

 

16problemas de areas 17 Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 \,  cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 \, cm.

1Calculamos el área A_1 del círculo mayor

 

A_1 = \pi \cdot 6^2 = 113.04 \, cm^2

 

2 Calculamos el área A_2 del círculo pequeño

 

A_2 = \pi \cdot 2^2 = 12.56 \, cm^2

 

3Calculamos el área sombreada

 

A_s = A1 - 4A_2 = 113.04 - 4 \cdot 12.56 = 62.8 \, cm^2

 

17problemas de areas 18 Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 \, cm, ABCD un cuadrado y APC y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

1La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares:

 

problemas de areas 19

 

problemas de areas 20

 

2 Calculamos el área A_s del sector

 

A_s = \cfrac{\pi \cdot 10^2 \cdot 90}{360} = 78.5 \, cm^2

 

3Calculamos el área del triangulo

 

A_t = \cfrac{10 \cdot 10}{2} = 50 \, cm^2

 

4Calculamos el área del segmento circular

 

A_{sc} = A_s - A_t = 78.5 - 50 = 28.5 \, cm^2

 

5El área sombreada es

 

A = 2 A_{sc} = 2 \cdot 28.5 = 57 \, cm^2


¿Y si pruebas con un profesor particular matematicas?

 

18A un hexágono regular 4 \, cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1Representamos gráficamente

 

problemas de areas 21

 

2 Calculamos el radio de la circunferencia circunscrita, para esto observamos que el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales, por lo que

 

R = 4 \, cm^2

 

3Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, este coincide con la altura del triángulo equilátero

 

r = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} \, cm

 

4Calculamos el área de la corona circular, la cual se obtiene a partir de la diferencia de áreas de los círculos

 

A_{c} = A_R - A_r = \pi \cdot 4^2 - \pi \cdot (\sqrt{12})^2  = 4 \pi = 12.56 \, cm^2

 

19En una circunferencia una cuerda de 48 \, cm y dista 7 \, cm del centro. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas de areas 22

 

2 Consideramos el triángulo rectángulo como se muestra en la figura y empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

r = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25 \, cm

 

3Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 25^2 = 1962.5\, cm^2

 

20Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 \, cm y 29.6 \, cm respectivamente. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas de areas 23

 

2 La hipotenusa concide con el diámetro del círculo. Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

2r = \sqrt{22.2^2 + 29.6^2} = 37 \, cm \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 18.5

 

3Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 18.5^2 = 1074.67\, cm^2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗