Resuelve los siguientes problemas:

1Calcular la apotema de un pentágono regular de 72.65 \ cm de perímetro y cuya circunferencia circunscrita tiene radio 12.36 \ cm.

 cm

1 Calculamos el lado a partir del perímetro

 

l = \cfrac{72.65}{5} = 14.53 \ cm

 

2 Construimos un triángulo rectángulo con el radio de la circunferencia circunscrita y la mitad del lado del pentágono

 

Apotema de un poligono 1

 

3 Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la apotema

 

a = \sqrt{12.36^2 - 7.26^2} = 10

 

Así, la apotema mide 10 \ cm

2Calcular el radio del círculo circunscrito al pentágono regular de área 61.94 \ cm^2 y apotema 4.12 \ cm.

cm

1 Calculamos el lado a partir del área y la apotema

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{P \cdot 4.12}{2}= 61.94 \\ 5 \cdot l \cdot 4.12 & = & 123.88 \\ l & = & \cfrac{123.88}{20.6} \\ l & = & 6.01 \end{array}

 

2 Construimos un triángulo rectángulo con la apotema y la mitad del lado del pentágono

 

Apotema de un poligono 2

 

3 Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener el radio de la circunferencia circunscrita

 

r = \sqrt{4.12^2 + 3^2} = 5.1

 

Así, el radio del círculo circunscrito mide 5.1 \ cm

3Calcular el radio del círculo inscrito al pentágono regular de lado 10 \ cm y cuyo círculo circunscrito tiene radio 8.5 \ cm.

cm

1 Construimos un triángulo rectángulo con la mitad del lado del pentágono, el radio del círculo circunscrito

Apotema de poligono 3

 

2 Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener el radio de la circunferencia inscrita la cual coincide con la apotema

 

r = \sqrt{8.5^2 - 5^2} = 6.87

 

Así, el radio del círculo inscrito mide 6.87 \ cm

4Calcular la apotema de un octágono regular de 64 \ cm de perímetro y cuya circunferencia circunscrita tiene radio 10.45 \ cm.

cm

1 Calculamos el lado a partir del perímetro

 

l = \cfrac{64}{8} = 8 \ cm

 

2 Construimos un triángulo rectángulo con el radio de la circunferencia circunscrita y la mitad del lado del octágono

 

Apotema de poligono 4

 

3 Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la apotema

 

a = \sqrt{10.45^2 - 4^2} = 9.65

 

Así, la apotema mide 9.65 \ cm

5Calcular la apotema de un hexágono regular de 7 \ cm de lado.

 cm

1 Sabemos que en un hexágono el lado mide lo mismo que el radio de la circunferencia circunscrita, por tanto

 

Apotema de un poligono 5

 

a = \sqrt{7^2 - 3.5^2} = 6.06

 

La apotema mide 6.06 \ cm

6Calcular el perímetro de un hexágono regular cuya circunferencia inscrita tiene radio 3 \sqrt{3} \ cm.

cm

1 Sabemos que en un hexágono la apotema mide lo mismo que el radio de la circunferencia inscrita, y el lado del hexágono mide lo mismo que el radio de la circunferencia circunscrita

 

Apotema de poligonos 6

 

2 Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene

 

\begin{array}{rcl}l^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 & = & \left ( 3\sqrt{3} \right )^2 \\ \cfrac{3 l^2}{4} & = & 27 \\ l^2 & = & 36 \\ l & = & 6 \end{array}

 

Como el lado mide 6 \ cm, entonces el perímetro es 36 \ cm

7Calcular el lado de un octógono regular de 13 \ cm de apotema sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita mide 15 \ cm.

 cm

1 Construimos un triángulo rectángulo con el radio de la circunferencia circunscrita, la apotema y la mitad del lado del pentágono

 

Apotema de un poligono 7

 

2Calculamos aplicando el teorema de Pitágoras la mitad del lado

 

\cfrac{l}{2} = \sqrt{15^2 - 13^2} = 7.48

 

Así, el lado mide  l = 2 \cdot 7.48 = 14.96 \ cm

8Calcular el lado de un decágono regular de 10 \ cm de apotema sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita mide 10.51 \ cm.

cm

1 Construimos un triángulo rectángulo con el radio de la circunferencia circunscrita, la apotema y la mitad del lado del pentágono

 

Apotema de poligonos 8

2Calculamos aplicando el teorema de Pitágoras la mitad del lado

 

\cfrac{l}{2} = \sqrt{10.51^2 - 10^2} = 3.23

 

Así, el lado mide  l = 2 \cdot 3.23 = 6.46 \ cm

9

Calcula la apotema de un triángulo equilátero de 15 \ cm de altura.

 cm

1En primer lugar calculamos el lado aplicando Pitágoras

 

\begin{array}{rcl}l^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 & = & 15^2 \\ \cfrac{3 l^2}{4} & = & 225 \\ l^2 & = & 300 \\ l & = & 17.32 \end{array}

 

2Calculamos la apotema

 

a = \cfrac{\sqrt{3} \cdot 17.32}{6} = 5

 

La apotema mide 5 \ cm

10

Calcula la apotema de un cuadrado de 10 \ cm de lado.

cm

1En primer lugar calculamos la diagonal aplicando Pitágoras

 

d = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.14

 

2Calculamos la apotema

 

a = \sqrt{7.07^2 - 5^2} = 5

 

La apotema mide 5 \ cm

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗