Se le denomina lúnula a la superficie comprendida entre dos arcos de circunferencia cuando estos forman una figura no convexa. En este artículo explicaremos cómo construir dicha lúnula y calcularemos su área.

 

Construcción de una lúnula de Hipócrates

Para la construcción debemos seguir los siguientes pasos:

1 Partimos de un triángulo isóceles rectángulo  AOB.

Triángulo isóceles rectágnulo

2 Con centro en  O se traza el arco  AB.

Arco correspondiente a un triángulo isóceles rectangulo

3 Con centro en  M , que es el punto medio de la hipotenusa del triángulo, se traza el otro arco de circunferencia.

Dos arcos con base en un triángulo isóceles rectángulo

La parte enmarcada por el color rojo se le conoce como lúnula de Hipócrates.

Dos arcos formando una lúnula

 

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Vamos

Área de la lúnula

Si  r denota la longitud de los dos lados iguales del triángulo isóceles anterior, entonces se tiene que:

  • El área del triángulo, utilizando la fórmula de (base) \times (altura) /2 , es  r^2/2 , ya que tanto la base como la altura miden  r.
  • Si  d denota la hipotenusa del triángulo entonces utilizando el Teorema de Pitágoras obtenemos que

         \begin{eqnarray*} d & = &\sqrt{r^2+r^2} \\ & = & r \sqrt{2}. \end{eqnarray*}

  • Si  d' denota la longitud del segmento  AM , entonces

         $$ d' = \frac{r\sqrt{2}}{2},$$

    ya que es la mitad del segmento  AB.
    Área de una lúnula de Hipócrates

  • Nótese que, la región naranja es la mitad del círculo con centro en  M y radio  d' . Por lo tanto usando la fórmula para el área de un círculo  \pi \cdot R^2 donde  R es el radio, obtenemos que el área sombreada en naranja es

        \begin{eqnarray*}\text{Área naranja} &=&\frac{\pi \cdot (d')^2}{2} \\ &=& \cfrac{\pi\cdot \left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2} \\ &=& \frac{\pi\cdot r^2}{4}. \end{eqnarray*}

    Área de un semicirculo

  • Ahora observamos que la región sombreada en azul corresponde a la diferencia entre el cuarto del círculo con centro en  O y de radio  r que pasa por  A y  B , con el triángulo  AOB , es decir, si al sector circular  AOB le quitamos la región que conforma el tríangulo  AOB , obtenemos la región sombreada en azul.
    Área de un segmento circular

Así el área de la región sombreada en azul es

    \begin{eqnarray*}\text{Área azul} &=& \text{Área del sector circular $AOB$ - Área del triángulo} \\ &=& \frac{\pi \cdot r^2}{4} - \frac{r^2}{2}. \end{eqnarray*}

Con las observaciones anteriores podemos concluir que el área de la lúnula está dada por

    \begin{eqnarray*}\text{Área lúnula} &=& \text{Área naranja}-\text{Área azul} \\ &=& \frac{\pi \cdot r^2}{4}-\left(\frac{\pi\cdot r^2}{4}-\frac{r^2}{2}\right) \\ &=& \frac{r^2}{2} \\ &=& \text{Área del triángulo}. \end{eqnarray*}

Área del triángulo rectángulo es igual al área de una lúnula
Figura. El área de la lúnula es igual al área del triángulo isóceles rectángulo.

Por lo tanto concluimos que

    $$ \text{Área lúnula} = \frac{r^2}{2} = \text{Área del triángulo.} $$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗