1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 \, m y la proyección de un cateto sobre ella 60 \, m. Calcular los catetos, la altura relativa a la hipotenusa y el área del triángulo.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 1

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, como la hipotenusa es 405.6 \, m y la proyección de un cateto es 60 \, m, tenemos que

 

\text{m} = 405. 6 - 60 = 345.6 \, m

 

3 Para el cateto c se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{60} & = & \cfrac{405.6}{c} \\\\ c^2 & = & 405.6 \cdot 60 \\\\ c & = & \sqrt{405.6 \cdot 60} \\\\ c & = & 156 \, m \end{array}

 

4 Para el cateto b se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{345.6} & = & \cfrac{405.6}{b} \\\\ b^2 & = & 405.6 \cdot 345.6 \\\\ b & = & \sqrt{405.6 \cdot 345.6} \\\\ b & = & 374.4 \, m \end{array}

 

5 Para la altura h relativa a la hipotenusa se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{345.6} & = & \cfrac{60}{h} \\\\ h^2 & = & 60 \cdot 345.6 \\\\ h & = & \sqrt{60 \cdot 345.6} \\\\ h & = & 144 \, m \end{array}

 

6 El área del triángulo es

 

\begin{array}{rcl} A & = & \cfrac{405.6 \cdot 144}{2} \\\\   & = & 29203.2 \, m^2 \end{array}

 


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2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 \, cm y la altura relativa de la misma  \sqrt{24} \, cm.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 2

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, por lo que tenemos que

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{n}{\sqrt{24}} & = & \cfrac{\sqrt{24}}{6} \\\\ n & = & \cfrac{24}{6} \\\\ n & = & 4 \end{array}

 

Así, la hipotenusa mide

 

a = \text{m} + n = 6 + 4 = 10

 

3 Para el cateto c se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{10} & = & \cfrac{4}{c} \\\\ c^2 & = & 4 \cdot 10 \\\\ c & = & \sqrt{4 \cdot 10} \\\\ c & = & 6.32 \end{array}

 

4 Para el cateto b se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{10} & = & \cfrac{6}{b} \\\\ b^2 & = & 10 \cdot 6 \\\\ b & = & \sqrt{10 \cdot 6} \\\\ b & = & 7.75 \end{array}

 

5 Así, los lados del triángulo son: a = 10 \, cm, \ b = 7.75 \, cm, \ c = 6.32 \, cm

 

 

3Una escalera de 10 \, m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 \, m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 3

 

2 Observamos que la altura de la escalera sobre la pared se obtiene con el teorema de Pitágoras

 

h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8

 

Así, la atura solicitada es 8 \, m

 

 

4Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 \, cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

1Representamos gráficamente el cuadrado

 

problemas del teorema de Pitagoras 4.1

 

2Su perímetro es 4 \cdot 12 = 48 \, cm. Para calcular el área empleamos

 

A_c = l^2 = (12)^2 = 144 \, cm^2

 

3El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por lo que si su perímetro es de 48 \, cm, entonces cada uno de sus lados mide \cfrac{48}{3} = 16 \, cm

 

problemas del teorema de Pitagoras 4.2

 

4Para encontrar el área requerimos conocer su altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h = \sqrt{16^2 - 8^2} = 13.86 \, cm

 

5Para calcular su área, empleamos

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{16 \cdot 13.86}{2} = 110.88 \, cm^2

 

Así, ambas figuras tienen el mismo perímetro, pero distinta área.

 

5Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 \, cm.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 5

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto r = \cfrac{2 h}{3} y se obtiene

 

6 = \cfrac{2 h}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 9 \, cm

 

3Para encontrar el área del triángulo requerimos conocer su base, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

l^2 = 9^2 + \cfrac{l^2}{4} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \cfrac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = 10.39 \, cm

 

4Para calcular su área, empleamos

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{10.39 \cdot 9}{2} = 46.76 \, cm^2

 

6Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 \, m.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 6

 

2Necesitamos conocer un lado del cuadrado, para esto primero calculamos el radio a partir de conocer la circunferencia

 

18.84 = 2 \pi r \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 3 \, m

 

3Para encontrar el lado del cuadrado, consideramos el triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales son los radios de la circunferencia

 

l^2 = 3^2 + 3^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{18} \, m

 

4Así, el área del cuadrado es

 

A_c = l^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \, m^2

 

7En un cuadrado de 2 \, cm de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 7

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el lado del cuadrado de lado 2 \, cm es igual al diámetro del círculo inscrito

 

2 = 2 r_1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_1 = 1 \, cm

 

3El díámetro del primer círculo es igual a la diagonal del segundo cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos el lado del segundo cuadrado

 

2^2 = l_2^2 + l_2^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l_2 = \sqrt{2} \, cm

 

4Así, el área del segundo cuadrado es

 

A_{c2} = l_2^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \, cm^2

 

5El diámetro del segundo círculo es igual al lado del segundo cuadrado

 

\sqrt{2} = 2 r_2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r_2 = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \, cm

 

6El área el segundo círculo es

 

A_{cir2} = \pi \cdot \left(\cfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2  = 1.57 \, cm^2

 

7Así, el área solicitada es

 

A = A_{c2} - A_{cir2} = 2 -1.57 =0.43 \, cm^2

 

8El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 \, m, las bases miden 40 y 30 \, m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 8

 

2 Como las bases suman 70 \, m, entonces los lados suman 110 - 70 = 40 \, m, luego cada lado mide 20 \, m. Para conocer la altura construimos un triángulo rectángulo como en la figura. empleando el teorema de Pitágorasse tiene

 

20^2 = 5^2 + h^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = \sqrt{375} = 19.36 \, m

 

3Calculamos el área del trapecio

 

A = \cfrac{(30 + 40) \cdot 19.36}{2} = 677.6 \, m^2

 

9A un hexágono regular de lado 4 \, cm se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1Representamos gráficamente

 

problemas del teorema de Pitagoras 9

 

2 Calculamos el radio de la circunferencia circunscrita, para esto observamos que el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales, por lo que

 

R = 4 \, cm^2

 

3Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, este coincide con la altura del triángulo equilátero

 

r = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} \, cm

 

4Calculamos el área de la corona circular, la cual se obtiene a partir de la diferencia de áreas de los círculos

 

A_{c} = A_R - A_r = \pi \cdot 4^2 - \pi \cdot (\sqrt{12})^2 = 4 \pi = 12.56 \, cm^2

 

10En una circunferencia una cuerda de 48 \, cm y dista 7 \, cm del centro. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas del teorema de Pitagoras 10

 

2 Consideramos el triángulo rectángulo como se muestra en la figura y empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

r = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25 \, cm

 

3Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 25^2 = 1962.5\, cm^2

 

11Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 \, cm y 29.6 \, cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas del teorema de Pitagoras 11

 

2 La hipotenusa concide con el diámetro del círculo. Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

2r = \sqrt{22.2^2 + 29.6^2} = 37 \, cm \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 18.5

 

3Calculamos la longitud de la circunferencia

 

C = 2 \cdot \pi \cdot 18.5 = 116.18\, cm

 

4Calculamos el área del círculo

 

A = \pi \cdot 18.5^2 = 1074.67\, cm^2

 

12Sobre un círculo de 4 \, cm de radio se traza un ángulo central de 60^o. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 12

 

2El área del sector es

 

A_s = \cfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 60}{360} = 8.38 \, cm^2

 

3Para encontrar la altura del triángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h^2 = 4^2 - 2^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 3.46 \, cm

 

4Calculamos el área del triángulo equilátero

 

A_t = \cfrac{4 \cdot 3.46}{2} = 6.93 \, cm^2

 

5El área del segmento circular es

 

A_{segmento} = A_s - A_t = 8.38 - 6.93 = 1.45 \, cm^2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗