A continuación veremos varias fórmulas relacionadas con triángulos rectángulos, muchas de estas se derivan del conocido teorema de Pitágoras por lo que este será el primero que mencionaremos.

Teorema de Pitágoras

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Triangulo rectángulo

Del enunciado anterior tenemos la siguiente fórmula

     \[ a^2 = b^2 + c^2 \]

de la cual podemos calcular la magnitud de cada una de los lados de un triángulo rectángulo

     \begin{eqnarray*} a = \sqrt{b^2 + c^2} \\ b = \sqrt{a^2 - c^2}\\ c = \sqrt{a^2 - b^2} \end{eqnarray*}

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Vamos

Teorema del cateto

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa."

Triangulo para el teorema del cateto

Representamos el enunciado anterior con las siguientes ecuaciones

     \begin{eqnarray*} b^2 = m \cdot a \\ \\ c^2 = n \cdot a \end{eqnarray*}

Teorema de la altura

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura medida sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa."

Triangulo del teorema de la altura

Del enunciado anterior se desprende la siguiente fórmula

    \begin{equation*} h^2 = n \cdot m \end{equation*}

Diagonal del cuadrado

Notemos que la diagonal del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos catetos iguales,

Diagonal del cuadrado

entonces la ecuación de su diagonal es

    \begin{align*} d &= \sqrt{l^2 + l^2} \\ &= \sqrt{2 l^2}\\ &= l \sqrt{2} \end{align*}

Diagonal del rectángulo

Similarmente al caso anterior, notemos que la diagonal del rectángulo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son los lados del rectángulo

Diagonal del rectángulo

entonces la ecuación de su diagonal es
 d = \sqrt{h^2 + b^2}

Lado oblicuo del trapecio rectángulo

Notemos que en un trapecio rectángulo, uno de los lados forma un triángulo rectángulo

Lado oblicuo del trapecio rectángulo

donde la hipotenusa es el lado oblicuo, un cateto es la altura y el otro, la diferencia entre las bases. Por lo tanto, su lado oblicuo se calcula utilizando el teorema de Pitágoras

     \begin{equation*} l = \sqrt{h^2 + n^2} \end{equation*}

donde
 n = B- n

Altura del trapecio isósceles

Para obtener la altura de un trapecio isósceles, utilizamos un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el lado oblicuo, un cateto es la altura y el otro cateto es la diferencia entre B y b

Trapecio isósceles

entonces

    \begin{eqnarray*} n = B- b \\ h = \sqrt{l^2 - n^2} \end{eqnarray*}

Altura del triángulo equilátero

Observemos que la altura en un triángulo equilátero también se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras

Triangulo equilatero

los lados h,l/2 son los catetos y l la hipotenusa, por tanto

     \begin{align*} h &= \sqrt{l^2 - (\frac{l}{2})^2} \\ &= \sqrt{\frac{3}{4}l^2} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} l \end{align*}

Apotema de un polígono regular

Notemos que podemos calcular el apotema de un polígono regular, conociendo su lado y su radio

Apotema poligono regular

aplicando el teorema de Pitágoras tendremos que la formula del apotema es

    \begin{equation*} a = \sqrt{r^2 - (\frac{l}{2})^2} \end{equation*}

Lado de un triángulo equilátero inscrito

Para calcular el lado del triangulo inscrito, construyamos un pequeño triangulo equilátero adicional como en la figura

Triangulo inscrito

de aquí, notemos que

    \begin{align*} \frac{l}{2} &= \sqrt{r^2 - (\frac{r}{2})^2}\\ &= \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{4}}\\ &= \frac{3}{2}r \end{align*}

entonces

    \begin{equation*} l = \sqrt{3}r \end{equation*}

 

Lado de un cuadrado inscrito

Observemos que

Cuadrado inscrito

     \begin{align*} l &= \sqrt{r^2 + r^2}\\ &= \sqrt{2}r \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗