Perímetro y área del rombo

 

Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales y cuyos ángulos no son rectos.

 

area del rombo

 

El perímetro de un rombo es igual a la suma de sus lados; al ser estos iguales, se tiene

 

P = 4 \cdot l

 

El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales:

 

A = \cfrac{D \cdot d}{2}

 

Ejemplo: Encontrar el perímetro y área del rombo de lado 17 \, cm y diagonales 16 \, cm y 30 \, cm

 

area del rombo 2

 

Encontramos el perímetro

 

P = 4 \cdot 17 = 68 \, cm

 

Encontramos el área

 

A = \cfrac{30 \cdot 16}{2} = 240 \, cm^2

 

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Perímetro y área del romboide

 

Un romboide es un paralelogramo con sus lados opuestos iguales y cuyos ángulos no son rectos.

 

area del romboide

 

El perímetro de un romboide es igual a la suma de sus lados, esto es

 

P = 2 \cdot (a + b)

 

El área de un romboide es igual al producto de su base por su altura:

 

A = b \cdot h

 

Ejemplo: Encontrar el perímetro y área del romboide de lados 4 \, cm y 4.5 \, cm y altura 4 \, cm

 

area del romboide 2

 

Encontramos el perímetro

 

P = 2 \cdot(4 + 4.5) = 17 \, cm

 

Encontramos el área

 

A = 4 \cdot 4 = 16 \, cm^2

 

Ejercicios

 

1 Encuentra el área de un rombo cuya diagonal mayor es 6 \, cm y su diagonal menor es 4 \, cm

1 Representamos graficamente el rombo

 

area del rombo 3

 

2 Aplicamos la fórmula del área del rombo

 

A = \cfrac{6 \cdot 4}{2} = 12 \, cm^2

 

Así, el área del rombo es 12 \, cm^2

 

 

2 Encuentra el área de un romboide cuya base es 5 \, cm y su altura es 3 \, cm

1 Representamos graficamente el romboide

 

area del romboide 3

 

2 Aplicamos la fórmula del área del romboide

 

A = 5 \cdot 3 = 15 \, cm^2

 

Así, el área del romboide es 15 \, cm^2

 

 

3 Encuentra el área de un rombo cuya diagonal menor es 6 \, cm y su lado es 5 \, cm

1 Representamos graficamente el rombo con los datos proporcionados

 

area del rombo 2

 

2 Necesitamos encontrar la diagonal mayor. Como las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en sus puntos medios, entonces se forman cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos catetos son iguales a la mitad de las diagonales. Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

\cfrac{D}{2}  = \sqrt{5^2 - 3^2}  = 4 \, cm

 

Así, la diagonal mayor es D = 8 \, cm

 

3 Calculamos el área del rombo

 

A = \cfrac{8 \cdot 6}{2} = 24 \, cm^2

 

 

4 Encuentra el área de un romboide con vértices A, B, C, D con lados \overline{CD} = 6 \, cm y \overline{AD} = 4 \, cm. Si E se encuentra sobre \overline{AB} de modo que \overline{DE} es perpendicular a \overline{AB} y \overline{AE} = 2 \, cm. Encuentra su área.

1 Representamos graficamente el romboide con los datos proporcionados

 

área del romboide 2

 

2 Necesitamos encontrar la altura. Notamos que el triángulo AED es rectángulo. Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h = \sqrt{4^2 - 2^2}  = 2 \sqrt{3} \, cm

 

3 Calculamos el área del romboide

 

A = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \, cm^2

 

 

5 Encuentra el perímetro de un rombo cuya área es 16 \, cm^2 y su diagonal mayor es 8 \, cm

1 Representamos graficamente el rombo con los datos proporcionados

 

area de rombo 3

 

2 A partir del área del rombo, calculamos la diagonal menor

 

16 = \cfrac{8 \cdot d}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ d = 4 \, cm

 

3 Necesitamos encontrar un lado. Como las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en sus puntos medios, entonces se forman cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos catetos son iguales a la mitad de las diagonales. Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

l = \sqrt{4^2 + 2^2}  = 2 \sqrt{5} \, cm

 

Así, el lado es 2 \sqrt{5} \, cm

 

4 Calculamos el perímetro

 

P = 4 \cdot 2 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5} \, cm

 

 

6 Encuentra el perímetro de un romboide cuya área es 21 \, cm^2, altura 3 \, cm y el lado que no es base es \sqrt{13} \, cm.

1 Representamos graficamente el romboide con los datos proporcionados

 

area del romboide 3

 

2 Necesitamos encontrar la base b. A partir de conocer el área del romboide y su altura, podemos encontrar su base

 

21 = 3 \cdot b \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 7 \, cm

 

3 Calculamos el perímetro del romboide

 

P = 2 \cdot (7 + \sqrt{13}) = 14 + 2 \sqrt{3} \, cm

 

 

7 El perímetro de un rombo es 16 \, cm y uno de sus ángulos interiores es 60^o. Encuentra el área del rombo

1 Representamos graficamente el rombo con los datos proporcionados

 

perimetro del rombo 4

 

2 A partir del perímetro del rombo calculamos el lado del rombo

 

l = \cfrac{16}{4} = 4 \, cm

 

3 Como las diagonales de un rombo son perpendiculares, bisectan los ángulos y se cortan en sus puntos medios, entonces se forman cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos catetos son iguales a la mitad de las diagonales y su hipotenusa es igual al lado. Aplicamos las funciones trigonométricas seno y coseno se obtiene

 

sen \, 30^o = \cfrac{\cfrac{d}{2}}{4} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ d = 4 \, cm

 

cos \, 30^o = \cfrac{\cfrac{D}{2}}{4} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ D = 4 \sqrt{3} \, cm

 

4 Calculamos el área

 

A = \cfrac{4 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3} \, cm^2

 

 

8 El perímetro de un romboide es 16 \, cm, uno de sus lados es un tercio de su base y uno de sus ángulos interiores es 60^o. Encuentra el área del romboide

1 Representamos graficamente el romboide con los datos proporcionados

 

area del romboide 4

 

2 A partir del perímetro calculamos los lados del romboide

 

16 = 2(3a + a) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 2 \, cm

 

luego la base es 6 \, cm y el otro lado es 2 \, cm

 

3 La altura es perpendicular a la base y forma un triángulo rectangulo como en la figura, siendo la altura el cateto opuesto al ángulo de 60^o y la hipotenusa el lado de medida 2 \, cm. Aplicamos la función trigonométrica seno y se obtiene

 

sen \, 60^o = \cfrac{h}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = \sqrt{3} \, cm

 

4 Calculamos el área

 

A = 6 \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \, cm^2

 

 

9 Se pegan dos triángulos equiláteros de lado 6 \, cm para formar un rombo. Encuentra el área del rombo

1 Representamos graficamente el rombo con los datos proporcionados

 

area del rombo 5

 

2 Para calcular el área del rombo, basta con calcular el área de cada triángulo equilátero. Aplicando la fórmula para el área de un triángulo equilátero se obtiene

 

A = \cfrac{6^2}{4} \cdot \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \, cm

 

3 El área del rombo es

 

A_R = 2 \cdot 9 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} \, cm^2

 

 

10 Un romboide de lados 2 \, cm y \sqrt{10} \, cm tiene una diagonal de \sqrt{10} \, cm de manera que se tienen dos triángulos isósceles. Encuentra el área del romboide

1 Representamos graficamente el romboide con los datos proporcionados

 

area del romboide 5

 

2 Para calcular el área del romboide, basta con calcular la altura, la cual coincide con la altura del triángulo isósceles. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

h = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2} = 3 \, cm

 

3 El área del romboide es

 

A = 2 \cdot 3 = 6 \, cm^2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗