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Triangulo rectángulo y sus elementos
Teoremas con triángulos rectángulos
Ejercicios con triángulos rectángulos

Triangulo rectángulo y sus elementos

Un triángulo rectángulo es cualquier triángulo con un ángulo recto y dos agudos. Los lados de un triángulo rectángulo se llaman catetos e hipotenusa.

Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo

Catetos

Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo.

En la figura anterior tenemos que:

$a$ : hipotenusa,
$b, c$ : catetos,
$m$ : proyección del cateto $b$ sobre la hipotenusa,
$n$ : proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusa.

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Teoremas con triángulos rectángulos

Teorema del cateto

"En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella."

o equivalentemente podemos escribirlo como

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa."

De los enunciados anteriores se derivan las siguientes ecuaciones:

$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{b}{m} \quad \Rightarrow \quad b^2 = a \cdot m \end{equation*}$

$\begin{equation*} \frac{a}{c} = \frac{c}{n} \quad \Rightarrow \quad c^2 = a \cdot n \end{equation*}$

Teorema de la altura

"En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta."

O equivalentemente

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura medida sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa."

De los enunciados anteriores se desprende que

$\begin{equation*} \frac{m}{h} = \frac{h}{n} \quad \Rightarrow \quad h^2 = m \cdot n \end{equation*}$

Teorema de Pitágoras

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Del enunciado anterior tenemos la siguiente fórmula

$a^2 = b^2 + c^2$

Ejercicios con triángulos rectángulos

1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular: Los catetos, la altura relativa a la hipotenusa y el área del triángulo.

Del teorema del cateto tendremos que

$\begin{align*} \frac{c}{60} &= \frac{405.6}{c} \\ c^2 &= 24336 \\ c &= 156 \end{align*}$

y puesto que $m = 405.6 - 60 = 345. 6$ , entonces

$\begin{align*} \frac{b}{345. 6} &= \frac{405.6}{b} \\ b^2 &= 140175.36 \\ b &= 374.4 \end{align*}$

Para la altura relativa a la hipotenusa utilizamos el teorema de la altura

$\begin{align*} \frac{h}{345. 6} &= \frac{60}{h} \\ b^2 &= 20736 \\ b &= 144 \end{align*}$

Y finalmente, el área

$\begin{equation*} \frac{(405.6)(144)}{2} = 29 203. 2 \end{equation*}$

2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $6$ cm y la altura relativa de la misma es $\sqrt{24}$ cm.

Para esto utilizaremos primeramente el teorema de la altura para hallar n

$\begin{align*} \frac{\sqrt{24}}{n} &= \frac{6}{\sqrt{24}} \\ n &= \frac{24}{6} \\ n &= 4 cm \end{align*}$

con esto tenemos que

$a = n + m = 4 + 6 = 10 cm$

y para los lados faltantes utilizamos el teorema del cateto

$\begin{align*} \frac{b}{10} &= \frac{6}{b} \\ b^2 &= 60 \\ b &= 7.75 cm \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{c}{10} &= \frac{4}{c} \\ c^2 &= 40 \\ c &= 6.32 cm \end{align*}$

3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el cateto de la proyección.

Utilizando el teorema del cateto

$\begin{align*} \frac{c}{30} &= \frac{10.8}{c} \\ c^2 &= (30)(10.8) \\ c &= 18 cm \end{align*}$

4 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 centímetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

Utilizando el teorema de la altura tendremos que

$\begin{align*} \frac{9}{h} &= \frac{h}{4} \\ h^2 &= 36 \\ c &= 6 cm \end{align*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Eduardo Fuentes

Febrero 2022

Muy importante la propuesta ,esto contribuye ala calidad en la educación y el amor alas matemáticas.

Damaris Cuasapud

Noviembre 2021

Cual es la respuesta de x-1

Triángulo rectángulo

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