Triangulo rectángulo y sus elementos

Un triángulo rectángulo es cualquier triángulo con un ángulo recto y dos agudos. Los lados de un triángulo rectángulo se llaman catetos e hipotenusa.

Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo

Catetos

Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo.

Triangulo rectángulo elementos

En la figura anterior tenemos que:

  • a: hipotenusa,
  • b, c: catetos,
  • m: proyección del cateto b sobre la hipotenusa,
  • n: proyección del cateto c sobre la hipotenusa.
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Vamos

Teoremas con triángulos rectángulos

Teorema del cateto

"En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella."

o equivalentemente podemos escribirlo como

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa."

Triangulo para el teorema del cateto

De los enunciados anteriores se derivan las siguientes ecuaciones:

    \begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{b}{m} \quad \Rightarrow \quad b^2 = a \cdot m \end{equation*}

    \begin{equation*} \frac{a}{c} = \frac{c}{n} \quad \Rightarrow \quad c^2 = a \cdot n \end{equation*}

Teorema de la altura

"En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta."

O equivalentemente

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura medida sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa."

Triangulo del teorema de la altura

De los enunciados anteriores se desprende que

    \begin{equation*} \frac{m}{h} = \frac{h}{n} \quad \Rightarrow \quad h^2 = m \cdot n \end{equation*}

Teorema de Pitágoras

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Triangulo rectángulo Pitagoras

Del enunciado anterior tenemos la siguiente fórmula

     \[ a^2 = b^2 + c^2 \]

Ejercicios con triángulos rectángulos

1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular: Los catetos, la altura relativa a la hipotenusa y el área del triángulo.

Triangulo de ejercicio 1

Del teorema del cateto tendremos que

    \begin{align*} \frac{c}{60} &= \frac{405.6}{c} \\ c^2 &= 24336 \\ c &= 156 \end{align*}

y puesto que  m = 405.6 - 60 = 345. 6 , entonces

    \begin{align*} \frac{b}{345. 6} &= \frac{405.6}{b} \\ b^2 &= 140175.36 \\ b &= 374.4 \end{align*}

Para la altura relativa a la hipotenusa utilizamos el teorema de la altura

    \begin{align*} \frac{h}{345. 6} &= \frac{60}{h} \\ b^2 &= 20736 \\ b &= 144 \end{align*}

Y finalmente, el área

    \begin{equation*} \frac{(405.6)(144)}{2} = 29 203. 2 \end{equation*}

2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma es \sqrt{24}cm.

Triangulo de ejercicio 2 ·

Para esto utilizaremos primeramente el teorema de la altura para hallar n

    \begin{align*} \frac{\sqrt{24}}{n} &= \frac{6}{\sqrt{24}} \\ n &= \frac{24}{6} \\ n &= 4 cm \end{align*}

con esto tenemos que

     \[ a = n + m = 4 + 6 = 10 cm \]

y para los lados faltantes utilizamos el teorema del cateto

    \begin{align*} \frac{b}{10} &= \frac{6}{b} \\ b^2 &= 60 \\ b &= 7.75 cm \end{align*}

    \begin{align*} \frac{c}{10} &= \frac{4}{c} \\ c^2 &= 40 \\ c &= 6.32 cm \end{align*}

3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el cateto de la proyección.

Triangulo de ejercicio 3

Utilizando el teorema del cateto

    \begin{align*} \frac{c}{30} &= \frac{10.8}{c} \\ c^2 &= (30)(10.8) \\ c &= 18 cm \end{align*}

4 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 centímetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

Triangulo rectangulo de ejercicio 4

Utilizando el teorema de la altura tendremos que

    \begin{align*} \frac{9}{h} &= \frac{h}{4} \\ h^2 &= 36 \\ c &= 6 cm \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗