Resuelve los siguientes problemas:

1Indica el área de un círculo de 10cm de diámetro, redondeando a dos cifras decimales.

cm²

¿Cuál sería la longitud de la circunferencia correspondiente? Redondea también a dos cifras decimales.

cm

Como el diámetro es 10cm el radio es igual a la mitad que es r=5cm . Usando la fórmula para el área de un circulo tenemos que

    $$A=\pi\cdot r^{2}=\pi(5)^{2}=25\pi=78.54cm^{2}$$

Ahora la longitud de la circunferencia esta dada por la formula L=2\cdot\pi\cdot r. Para nuestro caso tenemos que

    $$L=2\cdot\pi\cdot (5)=10\pi=31.42cm$$

El área del círculo es 78.54cm^{2} y la longitud de la circunferencia es 31.42cm.

2En una imprenta hacen pegatinas para discos de música de forma que se cubra la parte superior del CD. Sabiendo que el radio mayor mide 5.8 cm y el menor 0.7 cm aproximadamente, ¿qué área de papel utilizan para cada CD?

cm²

Cada CD tiene un circulo mayor y circulo menor. El área del CD no es mas que la resta del área del circulo mayor menos el área del circulo menor. Si el circulo mayor tiene radio 5.8cm, entonces su área es

    $$A_{may}=\pi(5.8)^{2}=33.64\pi.$$

Si el circulo menor tiene radio 0.7cm, entonces su área es

    $$A_{men}=\pi(0.7)^{2}=0.49\pi.$$

Por lo tanto el área de cada CD es

    $$A_{CD}=\pi(5.8)^{2}-\pi(0.7)^{2}=\pi(33.64-0.49)=33.15\pi=104.14cm^{2}.$$

Dado que el área del CD corresponde al área de papel utilizado podemos concluir el área de cada pegatina es 104.4cm^2.

3Calcula el área de un sector circular de angulo 45^{\circ} sabiendo que la longitud de la circunferencia a la que pertenece mide 6\pi.

cm²

Sabemos que la longitud de la circunferencia esta dada por L=6\pi; con esto podemos calcular el radio de la circunferencia de la siguiente forma,

    $$L=2\pi\cdot r,$$

    $$6\pi=2\pi\cdot r,$$

    $$r=\cfrac{6\pi}{2\pi}=\cfrac{6}{2}=3.$$

Ahora utilizando el área del sector circular,

    $$A_{s}=\cfrac{r^{2}\cdot\theta\cdot\pi}{360^{\circ}},$$

Podemos calcular el área de sector circular de ángulo 45^{\circ},

    $$A_{s}=\cfrac{(3)^{2}\cdot(45^{\circ})\cdot\pi}{360^{\circ}}=\cfrac{9\cdot(45^{\circ})\cdot\pi}{360^{\circ}}=3.53cm^{2}.$$

4Para una fiesta de cumpleaños un grupo de 6 amigos compran una tarta de 28 cm de diámetro. Si dividimos el pastel en 6 porciones iguales, ¿qué área de tarta se come cada uno?

cm²

El área de cada trozo corresponde al área de sector circular. Para calcular esta área debemos hallar primero el radio de la tarta. Dado que la tarta tiene diámetro d=28cm, entonces su radio es la mitad r=14cm. Ahora hallaremos el ángulo de cada trozo. Dado que la tarta de se divide en 6 iguales tenemos que el ángulo es

    $$\alpha=\cfrac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}.$$

Finalmente utilizamos el área del sector circular,

    $$A_{s}=\cfrac{\pi\cdot r^{2}\cdot\alpha}{360^{\circ}},$$

que en nuestro caso se convierte en

    $$A_{s}=\cfrac{\pi\cdot (14)^{2}\cdot(60^{\circ})}{360^{\circ}}=\cfrac{11760\pi}{360^{\circ}}=102.62cm^{2}.$$

De esto concluimos que cada trozo tiene área 102.62cm^{2}.

5Sobre un círculo de 25\pi cm^{2} de área trazamos un ángulo central de 90^{\circ}. Calcula el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente

cm²

Dado que el área del circulo es 25\picm^{2} podemos hallar el radio del circulo de la siguiente forma,

    $$\pi\cdot r^{2}=25\pi,$$

    $$r^{2}=25,$$

    $$r=\sqrt{25}=5cm.$$

Sabemos que el ángulo central que determina el trozo es \alpha=90^{\circ}. Con esta información podemos determinar el área del sector circular

    $$A_{sector}=\cfrac{\pi\cdot r^{2}\cdot\alpha}{360^{\circ}}=\cfrac{(5)^{2}\cdot \pi\cdot 90^{\circ}}{360^{\circ}}=\cfrac{2250\pi}{360^{\circ}}=19.63cm^{2}.$$

Para hallar el área deseada debemos primero hallar el área del triángulo isósceles formado por los radio del circulo, la cual es

    $$A_{tri}=\cfrac{r\cdot r}{2}=\cfrac{5\cdot 5}{2}=\cfrac{25}{2}=12.5cm^{2}.$$

Ahora al restar el área del segmento circular menos el área del triángulo hallamos el área buscada

    $$A_{segmento}=19.63-12.5=7.13cm^{2}.$$

6 Calcular el área de la zona coloreada de las siguientes figuras siendo la altura del rectángulo la mitad que la base. Redondea a dos cifras decimales.

área del hexágono
cm²
Círculos y rectángulos
cm²

La primera figura es un hexágono con una circunferencia circunscrita, por tanto el área pedida será el área del hexágono menos el área de la circunferencia.

Calculamos la apotema que es el radio de la circunferencia. Dado que el hexágono tiene lado 6 podemos forma un triángulo equilatero de lados iguales a 6. La altura de este triángulo es nuestro radio, asi

    $$r={\rm ap}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=5.20cm.$$

Dado que el perímetro mide P=36, pues sumamos 6 lados de tamaño 6. Podemos calcular el área del hexágono,

    $$A_{hex}=\cfrac{P\cdot {\rm ap}}{2}=\cfrac{36\cdot5.20}{2}=93.6cm^2.$$

Ahora para el área del círculo tenemos que

    $$A_{cir}=\pi(r)^{2}=\pi(5.20)=84.95cm^2.$$

Finalmente el área de nuestra figura es la resta

    $$A_{fig}=93.6cm^2-84.95cm^2=8.65cm^2.$$

y además la necesitamos para el área del hexágono.

Para la segunda figura tenemos lo siguiente.

La altura del rectángulo es el diámetro de un circunferencia. De la figura podemos deducir que el diámetro mide 9cm, entonces el radio mide 4.5cm. Asi el área de una circunferencia es igual a

    $$A_{cir}=\pi(r)^{2}=\pi(4.5)^{2}=63.62cm^2.$$

También podemos calcular el área del rectángulo, la cual es

    $$A_{rec}=18\cdot 9=162cm^2.$$

Finalmente, notemos que el área de nuestra figura es igual al área del rectángulo menos el área de dos círculos, así

    $$A_{fig}=A_{rec}-2\cdotA_{cir}=162cm^2-2\cdot63.62cm^2=34.76cm^2.$$

7El radio mayor de un roscón de reyes es de 20 cm mientras que el radio menor mide 7 cm. Si cortamos un trozo con un ángulo de 20º, ¿qué área del roscón hemos cortado?.

cm²

Primero imaginemos el problema de la siguiente forma: Primero hallamos el área de un sector circular de radio 20cm con ángulo 20^{\circ} y luego hallamos el área de un sector circular de 7cm con ángulo 20^{\circ}. La resta de estas dos área nos dará el área del roscon.

Para el primer sector circular se tiene

    $$A_{sec1}=\cfrac{\pi\cdot 20^2\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}},$$

Para el segundo sector circular se tiene

    $$A_{sec2}=\cfrac{\pi\cdot 7^2\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}},$$

Finalmente, el área del roscón es

    $$A_{ros}=\cfrac{\pi\cdot 20^2\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}}-\cfrac{\pi\cdot 7^2\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}}=\cfrac{\pi\cdot( 20^2-7^2)\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}}=61.26cm^2$$

8Calcular el área de la zona coloreada redondeando a dos cifras decimales
Sector circulas y cuadrado

cm²

El área de nuestra región es la resta de un cuadrado de lado 4cm menos el área de un cuarto de un circulo de radio 4cm.

Primero hallamos el área de un cuarto de circulo,

    $$A_{Cir/4}=\cfrac{\pi(4)^2}{4}=12.57cm^2.$$

El área del cuadrado es

    $$A_{Cua}=4\cdot4=16cm^2.$$

Finalmente, el área de nuestra figura es

    $$A_{fig}=A_{Cua}-A_{Cir/4}=16cm^2-12.57cm^2=3.43cm^2.$$

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗