Resuelve los siguientes problemas:

1La hipotenusa de un triángulo rectángulo, a, mide 10 \ cm y la proyección de su cateto b sobre ella es de 6.4 \ cm.

teorema del cateto 1

¿Cuál es la medida del cateto b? cm.

 

¿Cuánto mide el cateto c? cm

1 Aplicando el teorema del cateto se tiene:

 

\cfrac{10}{b} = \cfrac{b}{6.4}

 

Despejamos b

 

\begin{array}{rcl} b^2 & = & 10 \cdot 6.4 \\\\  b & = & \sqrt{64}  \\\\  b & = & 8 \end{array}

 

El cateto b mide 8 \ cm.

 

2 Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos

 

\begin{array}{rcl} a^2 & = & b^2 + c^2 \\\\ 10^2 & = & 8^2 + c^2 \\\\ 100 & = & 64 + c^2 \\\\ 36 & = & c^2 \end{array}

 

El cateto c mide 6 \ cm.

2Las proyecciones de los catetos b y c de un triángulo rectángulo, miden 4 \ cm y 2 \ cm.

teorema del cateto 2

Redondeando a un decimal, ¿cuál es la medida del cateto b? cm.

 

¿Cuánto mide el cateto c? cm

1 Aplicando el teorema del cateto se tiene:

 

\cfrac{b}{6} = \cfrac{4}{b}

 

Despejamos b

 

\begin{array}{rcl} b^2 & = & 6 \cdot 4 \\\\ b & = & \sqrt{24} \\\\ b & = & 4.9 \end{array}

 

El cateto b mide 4.9 \ cm.

 

2 Aplicando nuevamente el teorema del cateto se obtiene

 

\cfrac{c}{6} = \cfrac{2}{c}

 

Despejamos c

 

\begin{array}{rcl} c^2 & = & 6 \cdot 2 \\\\ c & = & \sqrt{12} \\\\ c & = & 3.5 \end{array}

 

El cateto c mide 3.5 \ cm.

3La proyección del cateto b de un triángulo rectángulo mide 4 \ cm y su altura 3 \ cm.

teorema del cateto 3

Redondeando a un decimal, ¿cuál es la medida del cateto b? cm.

 

¿Cuánto mide el cateto c? cm

1 Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

 

\begin{array}{rcl} b^2 & = & 4^2 + 3^2 \\\\ b^2 & = & 25 \\\\ b & = & 5 \end{array}

 

El cateto b mide 5 \ cm.

 

2 Aplicando el teorema del cateto se obtiene

 

\cfrac{c}{5} = \cfrac{3}{4}

 

Despejamos c

 

\begin{array}{rcl} c & = & \cfrac{5 \cdot 3}{4} \\\\ c & = & \cfrac{15}{4} \\\\ c & = & 3.8 \end{array}

 

El cateto c mide 3.8 \ cm.

4El cateto b de un triángulo rectángulo mide 5 \ cm y el cateto c, 12 \ cm.

teorema del cateto 4

¿Cuál es la medida de la hipotenusa, a, de este triángulo? a =  cm.

Indica la medida de las proyecciones de los catetos b y c respectivamente, redondeando a dos cifras decimales. b =  cm. c =  cm.

¿Cuánto mide la altura de este triángulo? h =  cm.

1 Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que

 

\begin{array}{rcl} a^2 & = & b^2 + c^2 \\\\ a^2 & = & 12^2 + 5^2 \\\\ a^2 & = & 144 + 25 \\\\ a^2 & = & 169\end{array}

 

La hipotenusa a mide 13 \ cm.

 

2 Aplicamos el teorema del cateto para obtener la medida de las proyecciones de los mismos:

 

teorema del cateto 5

 

\cfrac{13}{5} = \cfrac{5}{n}

 

Despejamos n

 

\begin{array}{rcl} n & = & \cfrac{5 \cdot 5}{13} \\\\ n & = & 1.92 \end{array}

 

La proyección del cateto c mide 1.92 \ cm.

 

teorema del cateto 6

 

\cfrac{13}{12} = \cfrac{12}{m}

 

Despejamos m

 

\begin{array}{rcl} m & = & \cfrac{12 \cdot 12}{13} \\\\ m & = & 11.08 \end{array}

 

La proyección del cateto b mide 11.08 \ cm.

 

3 Para calcular la altura basta aplicar el teorema de pitágoras a cualquiera de los dos triángulos que podemos apreciar en la figura Tomamos, por ejemplo, el triángulo más pequeño:

 

teorema del cateto 7

 

\begin{array}{rcl} c^2 & = & n^2 + h^2 \\\\ 5^2 & = & 1.92^2 + h^2 \\\\ 25 & = & 3.6864 + h^2 \\\\ h^2 & = & 21.3136 \end{array}

 

La altura h mide 4.62 \ cm.

 

5El cateto c de un triángulo rectángulo mide 6 \ cm y su hipotenusa a, 10 \ cm.

teorema del cateto 8

¿Cuál es la medida del cateto b de este triángulo? b = cm.

Indica la medida de las proyecciones de los catetos b y c respectivamente, redondeando a dos cifras decimales. b = cm. c = cm.

¿Cuánto mide la altura de este triángulo? h = cm.

1 Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que

 

\begin{array}{rcl} a^2 & = & b^2 + c^2 \\\\ 10^2 & = & b^2 + 6^2 \\\\ b^2 & = & 100 - 36 \\\\ b^2 & = & 64\end{array}

 

El cateto b mide 8 \ cm.

 

2 Aplicamos el teorema del cateto para obtener la medida de las proyecciones de los mismos:

 

teorema del cateto 9

 

\cfrac{10}{6} = \cfrac{6}{n}

 

Despejamos n

 

\begin{array}{rcl} n & = & \cfrac{6 \cdot 6}{10} \\\\ n & = & 3.6 \end{array}

 

La proyección del cateto c mide 1.92 \ cm.

 

teorema del cateto 10

 

\cfrac{10}{8} = \cfrac{8}{m}

 

Despejamos m

 

\begin{array}{rcl} m & = & \cfrac{8 \cdot 8}{10} \\\\ m & = & 6.4 \end{array}

 

La proyección del cateto b mide 6.4 \ cm.

 

3 Para calcular la altura basta aplicar el teorema de pitágoras a cualquiera de los dos triángulos que podemos apreciar en la figura Tomamos, por ejemplo, el triángulo más pequeño:

 

teorema del cateto 11

 

\begin{array}{rcl} c^2 & = & n^2 + h^2 \\\\ 6^2 & = & 3.6^2 + h^2 \\\\ 36 & = & 12.96 + h^2 \\\\ h^2 & = & 23.04 \end{array}

 

La altura h mide 4.8 \ cm.

 

6Las casas de cuatro amigos se encuentran situadas como muestra la siguiente figura. Sabiendo que la distancia de la casa de Belén a la de Carlos es de 1.5 \ Km y la distancia de la casa de Belén a la casa de David es de 0.54 \ Km, calcula las distancias que faltan:

teorema del cateto 12

De casa de Belén a casa de Ana Km.

De casa de David a casa de Carlos Km.

De casa de Ana a casa de David Km.

1En primer lugar observemos que se trata de un triángulo rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema del cateto si fuera necesario.

 

Distancia de casa de Belén a casa de Ana

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1.5}{c} & = & \cfrac{c}{0.54} \\\\ c^2 & = & 0.81 \end{array}

 

La distancia buscada es c = 0.9 \ Km.

 

teorema del cateto 13

 

2Distancia de casa de David a casa de Carlos

 

1.5 - 0.54 = 0.96 \ Km.

 

teorema del cateto 14

 

3Distancia de casa de Ana a casa de David. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

 

\begin{array}{rcl} 0.9^2 & = & 0.54^2 + h^2 \\\\ h^2 & = & 0.5184 \\\\ h & = & 0.72 \end{array}

 

teorema del cateto 15

7Tres barcos se aproximan a un faro como se muestra en la figura, formando triángulos rectángulos. Sabiendo que la distancia del faro al barco 1 es de 8 \ Km y la distancia del faro al barco 3 es de 15 \ Km, calcula la distancia:

teorema del cateto 16

Del barco 1 al barco 2 Km.

Del barco 2 al barco 3 Km.

Del barco 1 al barco 3 Km.

1Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la distancia del barco 1 al barco 3

 

teorema del cateto 17

 

\begin{array}{rcl} a^2 & = & 8^2 + 15^2 \\\\ a^2 & = & 289 \end{array}

 

La distancia buscada es a = 17 \ Km.

 

2Aplicamos el teorema del cateto para encontrar la distancia del barco 1 al barco 2

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1.7}{8} & = & \cfrac{8}{n} \\\\ n & = & \cfrac{8 \cdot 8}{17} \\\\ n & = & 3.76 \end{array}.

 

teorema del cateto 18

 

3Distancia del barco 2 al barco 3

 

17 - 3.76 = 13.24

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗