Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que ésta define.

 

poligono inscrito en una circunferencia

 

  • Todo polígono regular está inscrito en una circunferencia.
  • El centro de un polígono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en él.
  • El radio del polígono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en él.

 

Calcular la medida del lado de un triángulo equilátero inscrito

 

triangulo inscrito

Si tenemos un triángulo equilátero inscrito, podemos averiguar la medida de su lado simplemente aplicando el teorema de Pitagoras.

Como podemos observar en la figura de arriba, el triángulo rojo, con base igual a la mitad del lado del tríangulo, forma un triángulo rectangulo con hipotenusa igual al radio.

Procedemos con los cálculos para averiguar la medida del lado:

\displaystyle r^{2}= \left (\frac{l}{2} \right )^{2}+\left (\frac{r}{2} \right )^{2}
\displaystyle \left (\frac{l}{2} \right )^{2}= r^{2} - \left (\frac{r}{2} \right )^{2}
 \displaystyle \left (\frac{l}{2} \right )^{2}= r^{2} - \frac{r^{2}}{4}
\displaystyle \frac{l}{2} = \sqrt {\frac{3r^{2}}{4} }
\displaystyle \frac{l}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r
\displaystyle l  = \sqrt{3} \cdot r

Ejemplo de cálculo del ladob de un triángulo 

 

Determinar el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.

 10^{2} = \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + 5^{2}
 \frac{l}{2} = \sqrt{75}
 l = 2 \cdot \sqrt{75} = 17.32

Cálculo del lado de un cuadrado inscrito

cuadrado inscrito en una circunferencia

 

En la figura de arriba, podemos observar que el lado de un cuadrado inscrito forma un triángulo rectángulo isoceles con hipotenusa l.

Aplicando el teorema de Pitagoras, podemos calcular este lado:

 

 l = \sqrt{r^{2}+r^{2}}

 

Ejemplo de calculo del lado de un cuadrado 

 

Hallar el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de l cm de radio.

cuadrado inscrito en circunferencia de 5cm de radio

 

 l = \sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}= 7.07

Cálculo de la apotema del hexágono inscrito

apotema del hexagono inscrito

 

Observamos en la figura de arriba que el lado del tríangulo verde es el radio.

Podemos calcular la apotema usando el teorema de Pitagoras.

 

 l = r

\displaystyle a = \sqrt{l^{2}-\left ( \frac{l}{2} \right )^{2}}

 

Ejemplo del cálculo de apotema

 

Calcular la apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

 

 l = r = 4

\displaystyle a = \sqrt{4^{2}-2^{2}}= 3.46

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗