Resuelve los siguientes problemas:

 

1Calcula la altura de un triángulo rectángulo con los datos que se muestran en la figura:
Teorema de la altura 1

h = cm

1 Aplicando el teorema de la altura:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{18} & = & \cfrac{8}{h} \end{array}

 

2 Despejamos h

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{18} & = & \cfrac{8}{h} \\\\ h^2 & = & 18 \cdot 8 \\\\ h^2 & = & 144 \\\\ h & = & 12 \end{array}

 

La altura buscada es h = 12 \ cm

 

2Calcula la altura de un triángulo rectángulo con los datos que se muestran en la figura:
Teorema de la altura 2

h = cm

1 Aplicando el teorema de la altura:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{10} & = & \cfrac{20}{h} \end{array}

 

2 Despejamos h

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{10} & = & \cfrac{20}{h} \\\\ h^2 & = & 10 \cdot 20 \\\\ h^2 & = & 200 \\\\ h & = & 20 \end{array}

 

La altura buscada es h = 20 \ cm

 

3En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa mide 16 \ cm y la proyección ortogonal de uno de sus catetos mide 32 \ cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa de dicho triángulo?

 cm.

1Representamos el problema de forma gráfica

 

Teorema de la altura 3

 

2Aplicando el teorema de la altura se tiene que:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{16}{32} & = & \cfrac{n}{16} \\\\ n & = & \cfrac{16 \cdot 16}{32} \\\\ n & = & 8  \end{array}

 

Luego, la otra proyección mide 8 \ cm.

 

3Por tanto, la hipotenusa mide 32 + 8 = 40 \ cm.

 

4En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa mide 4.8 \ cm y su cateto mayor mide 8 \ cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa de dicho triángulo?

cm.

1Representamos el problema de forma gráfica

 

Teorema de la altura 4

 

2Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

 

\begin{array}{rcl} 8^2 & = & 4.8^2 + m^2 \\\\ 64 & = & 23.04 + m^2 \\\\ m^2 & = & 40.96 \\\\ m & = & 6.4 \end{array}

 

Luego, la otra proyección del cateto conocido mide 6.4 \ cm.

 

3Aplicando el teorema de la altura se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{n}{4.8} & = & \cfrac{4.8}{6.4} \\\\ n & = & \cfrac{4.8 \cdot 4.8}{6.4} \\\\ n & = & 3.6 \end{array}

 

4Por tanto, la hipotenusa mide 3.6 + 6.4 = 10 \ cm.

 

5En un triángulo rectángulo, sus cateto miden 3.75 \ cm y 5 \ cm. ¿Cuánto mide la altura correspondiente a la hipotenusa de dicho triángulo?

cm.

1Representamos el problema de forma gráfica

 

Teorema de la altura 5

 

2Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

 

\begin{array}{rcl} a^2 & = & 3.75^2 + 5^2 \\\\ a^2 & = & 14.0625 + 25 \\\\ a^2 & = & 39.0625 \\\\ a & = & 6.25 \end{array}

 

Luego, la hipotenusa mide 6.25 \ cm.

 

Teorema de la altura 6

 

3Aplicando el teorema del cateto se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{6.25}{5} & = & \cfrac{5}{m} \\\\ m & = & \cfrac{5 \cdot 5}{6.25} \\\\ m & = & 4 \end{array}

 

Luego, la otra proyección mide 6.25 - 4 = 2.25 \ cm.

 

4Aplicamos el teorema de la altura

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{2.25} & = & \cfrac{4}{h} \\\\ h^2 & = & 4 \cdot 2.25 \\\\ h & = & 9 \end{array}

 

Luego, la altura h mide 3 \ cm.

 

6Se inscribe un triángulo rectángulo en una circunferencia de radio 5 \ cm cuyo lado c mide 6 \ cm, quedando como muestra la figura.

Teorema de la altura 7

Calcula la longitud de la hipotenusa a = cm.

¿Cuál debe ser la longitud del lado faltante?

b = cm.

¿Sabrías decir cuál es la altura respecto a la hipotenusa?

h = cm.

1En una circunferencia, para cualquier triángulo rectángulo inscrito su hipotenusa es igual al diámetro de la circunferencia, entonces la hipotenusa mide 20 \ cm

 

2Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

 

\begin{array}{rcl} 10^2 & = & 6^2 + b^2 \\\\ 100 & = & 36 + b^2 \\\\ b^2 & = & 64 \\\\ b & = & 8 \end{array}

 

Teorema de la altura 8

 

3Aplicando el teorema del cateto se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{10}{6} & = & \cfrac{6}{n} \\\\ n & = & \cfrac{6 \cdot 6}{10} \\\\ n & = & 3.6 \end{array}

 

Luego la otra proyección mide 10 - 3.6 = 6.4 \ cm

 

4Aplicando el teorema de la altura se tiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{3.6} & = & \cfrac{6.4}{h} \\\\ h^2 & = & 3.6 \cdot 6.4 \\\\ h^2 & = & 23.04 \\\\ h & = & 4.8 \end{array}

 

7Una maqueta de barco usa dos cablecitos para tensar el mástil mayor, debiendo quedar como muestra la figura.

Teorema de la altura 9

Calcula la distancia a la que debemos colocar el cable c.  cm.

¿Cuál debe ser la longitud de dicho cable?

c =  cm.

¿Sabrías decir cuál es la altura del mástil?

 cm.

1En primer lugar observemos que se trata de un triángulo rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema del cateto y de la altura.

 

Aplicamos el teorema del cateto para calcular la distancia a la que se debe encontrar el segundo cable:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{a}{6} & = & \cfrac{6}{4}  \\\\  a & = & \cfrac{6 \cdot 6}{4}  \\\\  a & = & 9 \end{array}

 

9 - 4 = 5 \ cm

 

Debemos colocar el segundo cable a 5 \ cm de distancia de la base de mástil.

 

2Aplicamos el teorema del cateto para calcular la medida del lado c:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{9}{c} & = & \cfrac{c}{5}  \\\\  c^2 & = & 9 \cdot 5  \\\\  c^2 & = & 45  \\\\  c & = & 6.71 \end{array}

 

La medida del lado c es de 6.71 \ cm

 

3Aplicamos el teorema de la altura para calcular la altura del mástil:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{5} & = & \cfrac{4}{h}  \\\\  h^2 & = & 5 \cdot 4  \\\\  h & = & 4.47\end{array}

 

El mástil tiene una altura de 4.47 \ cm

 

8Observa el tobogán en el que juegan Lucía y Marcos. Calcula la medida del lado n.

Teorema de la altura 10
n =  m.

¿Cuál es la altura del tobogán?  m.

1En primer lugar observemos que se trata de un triángulo rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema del cateto y de la altura.

 

Aplicamos el teorema del cateto para calcular la medida de n.

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{0.9 + n}{2} & = & \cfrac{2}{n} \\\\ n^2 + 0.9 n - 4 & = & 0 \end{array}

 

Resolvemos la ecuación cuadrática

 

\begin{array}{rcl} n & = & \cfrac{-0.9 \pm \sqrt{0.9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \\\\  & = & \cfrac{-0.9 \pm \sqrt{0.81 + 16}}{2} \\\\  & = & \cfrac{-0.9 \pm \sqrt{16.81}}{2}  \\\\  & = &  \cfrac{-0.9 \pm 4.1}{2}\end{array}

 

Se obtienen las raíces n = 1.6 y n = -2.5

 

De las dos soluciones obtenidas sólo es válida la solución positiva, pues el dato que buscamos es una medida, que no puede ser negativa.

 

Por tanto, la distancia pedida es n = 1.6 \ m

 

Teorema de la altura 11

 

2Usamos el teorema de la altura para calcular la altura del tobogán.

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{0.9} & = & \cfrac{1.6}{h} \\\\ h^2 & = & 0.9 \cdot 1.6 \\\\ h & = & 1.2\end{array}

 

Luego, la altura del tobogán es de 1.2 \ m.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗