En este artículo veremos como calcular apotemas tanto de polígonos regulares, en dos dimensiones, como de pirámides y otras figuras geométricas tridimensionales.

 

Recordemos que la apotema de un polígono regular es la distancia del centro al punto medio de un lado.

 

Apotema de un triángulo equilátero

 

Apotema de triángulo equilátero

 

Primero encontremos el valor de un lado del triángulo en términos del radio de la circunferencia circunscrita al él. Notemos en la figura, que la altura es igual al apotema más el radio, esto es

 

\displaystyle h = r + ap

 

Además, usando el teorema de pitágoras, obtenemos que

 

\displaystyle l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + h^2 = \frac{l^2}{4} + h^2

 

esto usando el triángulo rectángulo formado por el lado, la altura y la mitad de la base que es igual a la mitad del lado. Ahora, despejando h^2 obtenemos

 

\displaystyle h^2 = \frac{3l^2}{4}

 

sacando raíz

 

\displaystyle h = \frac{\sqrt{3}l}{2}

 

Entonces, sustituyendo h = r + ap tenemos

 

\displaystyle r + ap = \frac{\sqrt{3}l}{2}

 

o bien

 

\displaystyle ap = \frac{\sqrt{3}l}{2} - r

 

elevando al cuadrado

 

\displaystyle {ap}^2 = \frac{3l^2}{4} - \sqrt{3}lr + r^2

 

Además, notemos que tenemos otro triángulo rectángulo formado por el apotema, el radio y la mitad de un lado, de este triángulor rectángulo se sigue que

 

\displaystyle r^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + {ap}^2 = \frac{l^2}{4} + {ap}^2

 

despejando el apotema al cuadrado tenemos

 

\displaystyle {ap}^2 = r^2 - \frac{l^2}{4}

 

Igualemos los dos resultados obtenidos para {ap}^2, y despejemos el lado, esto es

 

    \begin{align*} \frac{3l^2}{4} - \sqrt{3}lr + r^2 &= r^2 - \frac{l^2}{4}\\\frac{3l^2}{4} - \sqrt{3}lr &= - \frac{l^2}{4}\\\frac{3l^2}{4} + \frac{l^2}{4} &= \sqrt{3}lr\\\frac{4l^2}{4} &= \sqrt{3}lr\\l^2 &= \sqrt{3}lr\\l &= \sqrt{3}r\\\end{align*}

 

esto también nos quiere decir que

 

\displaystyle r = \frac{l}{\sqrt{3}}

 

racionalizando el denominador

 

\displaystyle r = \frac{\sqrt{3}l}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}l}{3}

 

Ahora, sustituyamos este valor en la igualdad ap = \frac{\sqrt{3}l}{2} - r que obtuvimos previamente

 

    \begin{align*} ap &= \frac{\sqrt{3}l}{2} - r \\&= \frac{\sqrt{3}l}{2} - \frac{\sqrt{3}l}{3} \\&= \frac{3\sqrt{3}l}{6} - \frac{2\sqrt{3}l}{6} \\&= \frac{3\sqrt{3}l - 2\sqrt{3}l}{6} \\&= \frac{\sqrt{3}l}{6} \\\end{align*}

 

Así, el apotema es igual a ap = \frac{\sqrt{3}}{6}l.

 

Notemos que aqui hemos obtenido tanto el radio como el apotema en términos del lado del triángulo. Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un triángulo equilátero de 6 \;cm de lado.

 

Ejemplo apotema de triángulo equilátero

 

Tenemos que nuestra fórmula es

 

\displaystyle ap = \frac{\sqrt{3}}{6}l

 

sustituyendo el valor del lado obtenemos

 

\displaystyle ap = \frac{\sqrt{3}}{6}(6) = \sqrt{3} \approx 1.73 \; cm

 

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Apotema de un cuadrado

 

Apotema del cuadrado

 

La apotema de un cuadrado es igual a la mitad del lado, esto es,

 

\displaystyle a = \frac{l}{2}

 

Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un cuadrado de 6 \;cm de lado.

 

Ejemplo de apotema de un cuadrado

 

Tenemos que nuestra fórmula es

 

\displaystyle a = \frac{l}{2}

 

sustituyendo el valor del lado obtenemos

 

\displaystyle a = \frac{l}{2} = \frac{6}{2} = 3 \; cm

 

Apotema de un pentágono

 

Apotema de un pentágono

 

Primero, recordemos que el ángulo central de un pentágono es \frac{2\pi}{5} radianes, por lo tanto, el ángulo comprendido entre el apotema y el radio es la mitad, esto es \frac{\pi}{5}. Ahora, el seno de este ángulo es el cateto opuesto entre hipotenusa, esto es

 

\displaystyle \sin{\frac{\pi}{5}} = \frac{\frac{l}{2}}{r} = \frac{l}{2r}

 

despejando r tenemos que

 

\displaystyle r = \frac{l}{2\sin{\frac{\pi}{5}}}

 

entonces, podemos obtener directamente el radio a partir un lado, ya que el seno lo podemos calcular directamente con la calculadora.

 

Ahora bien, utilizando el teorema de pitágoras tenemos que

 

\displaystyle r^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + {a}^2

 

despejando el apotema y sacando raíz

 

\displaystyle a = \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

esta fórmula la podemos usar directamente si ya tenemos el valor del radio y de un lado. Si solo contamos con el valor de un lado, entonces sustituimos el valor del radio en términos del lado

 

    \begin{align*} a &= \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{\left(\frac{l}{2\sin{\frac{\pi}{5}}}\right)^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{\frac{l^2}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}} - \frac{l^2}{4}}\\&= \sqrt{\frac{l^2}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}} - \frac{l^2\sin^2{\frac{\pi}{5}}}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}}}\\&= \sqrt{ \frac{1 - \sin^2{\frac{\pi}{5}}}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}}l^2}\\&= \frac{l\sqrt{1 - \sin^2{\frac{\pi}{5}}}}{2\sin{\frac{\pi}{5}}}\end{align*}

 

Notemos que aquí el apotema depende únicamente del lado, sin embargo necesitamos hacer más operaciones, por lo tanto es más conveniente contar con el lado y el radio.

 

Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un pentágono de 6 \;cm de lado y 5 \; cm de radio.

 

Ejemplo de apotema pentágono

 

Tenemos que nuestra fórmula es

 

\displaystyle a = \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

sustituyendo el valor del lado y el radio obtenemos

 

    \begin{align*} a &= \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{ 5^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{ 5^2 - 3^2}\\&= \sqrt{ 25 - 9}\\&= \sqrt{ 16}\\&= 4 \; cm\end{align*}

 

Apotema de un hexágono

 

Apotema de un héxagono

 

Primero, recordemos que el ángulo central de un pentágono es \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} radianes, por lo tanto, el ángulo comprendido entre el apotema y el radio es la mitad, esto es \frac{\pi}{6}. Ahora, el seno de este ángulo es el cateto opuesto entre hipotenusa, esto es

 

\displaystyle \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{l}{2}}{r} = \frac{l}{2r}

 

sin embargo, también tenemos que

 

\displaystyle \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}

 

de donde se sigue que

 

    \begin{align*} \frac{l}{2r} &= \frac{1}{2}\\\frac{l}{2} &= \frac{r}{2}\\l &= r\end{align*}

 

entonces, tenemos que en un hegáxono, el radio radio mide lo mismo que un lado.

 

Ahora bien, utilizando el teorema de pitágoras tenemos que

 

\displaystyle l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + {a}^2 = \frac{l^2}{4} + {a}^2

 

o bien

 

\displaystyle {a}^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} = \frac{3l^2}{4}

 

sacando raíz

 

\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{2}l

 

Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un pentágono de 4 \;cm de lado.

 

Ejemplo apotema hexágono

 

Tenemos que nuestra fórmula es

 

\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{2}l

 

sustituyendo el valor del lado y el radio obtenemos

 

    \begin{align*} a &= \frac{\sqrt{3}}{2}l\\&= \frac{\sqrt{3}}{2}(4)\\&= 2\sqrt{3}\\&\approx 3.46 \; cm\end{align*}

 

Apotema de una pirámide

 

La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

 

Apotema de una pirámide

 

Calculamos la apotema lateral de la pirámide (Ap), conociendo la altura (h), y la apotema de la base (ap), aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado. Por lo tanto, el cuadrado del apotema lateral estaría dado por

 

\displaystyle {Ap}^2 ={ap}^2 + h^2

 

o bien, el apotema lateral estaría dado por

 

\displaystyle Ap = \sqrt{{ap}^2 + h^2}

 

Apotema de un tronco pirámide

 

Un tronco pirámide regular está formado por dos bases que son polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las apotemas son las alturas de estos trapecios.

 

Apotema de un tronco piramide

 

Calculamos la apotema lateral del tronco pirámide (Ap), conociendo la altura (h), la apotema de la base mayor ({ap}_2) y apotema de la base menor ({ap}_1), aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado en la imagen.

 

Notemos que en este triángulo, uno de los catetos es la altura mientras que el otro es la diferencia del apotema de la base mayor menos el apotema de la base menor, por lo tanto, el cuadrado del apotema lateral es

 

\displaystyle {Ap}^2 = ({ap}_2 - {ap}_1)^2 + h^2

 

o bien, el apotema lateral sería

 

\displaystyle Ap = \sqrt{({ap}_2 - {ap}_1)^2 + h^2}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗