Teorema del cateto, de la altura y de Pitágoras

Se satisfacen las siguientes relaciones:

Solución:Para resolver este problema, usaremos la primera fórmula de arriba, esto es,

con y . Así

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en m y m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Solución: Al conocer el valor de los dos catetos, usamos la fórmula de arriba, esto es,

Así,

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

Conociendo la hipotenusa y un cateto, del terorema de Pitágoras se sigue que

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide m y uno de sus catetos m. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Solución:Al conocer la hipotenusa y el cateto , usamos la fórmula

Así, se tiene que

Conociendo sus lados, averiguar si es un triángulo rectángulo

Para que sea triángulo rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores, es decir, si se verifica el teorema de Pitágoras

Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.

Solución: Para determinar si tenemos un triángulo rectángulo, verificamos el teorema de Pitágoras:

Por lo tanto, el triángulo sí es rectángulo.

Para calcular la diagonal de cuadrado, observamos que los catetos que se forman al trazar la diagonal, son iguales y valen . Así, por el teorema de Pitágoras tenemos que

En este caso tenemos todos los datos necesarios para utilizar el teorema de pitágoras. Así

 Calcular el lado oblicuo del trapecio rectángulo

El lado oblicuo del trapecio corresponde a . Ahora, observamos que , así, usando el teorema de Pitágoras obternemos que

Utilizando nuestros conocimientos de geometría analítica, sabemos que

Así, al conocer la hipotenusa, , del tríangulo y uno de sus catetos, , entonces tenemos que

Dado que un triángulo equilátero, por definición, tiene todos sus lados iguales entonces, al trazar su altura dividimos la base entre dos. Así, se forman dos triángulos rectángulos de los cuales conocemos su hipotenusa y uno de sus catetos. Por lo tanto, el teorema de Pitágoras nos dice que

Por lo tanto,

De la figura observamos que el apotema corresponde a uno de los catetos del triágulo que se forma en su interior, del cual conocemos su hipotenusa y su otro cateto. Así, el teorema de Pitágoras nos dice que

Tenemos un círculo de radio y un hexágono regular de lado . El apotema del hexágono inscrito divide uno de los lados del hexágono en dos, formando así un triángulo rectángulo del cual conocemos su hipotenusa, , y uno de sus catetos, . Así, el teorema de Pitágoras nos dice que

Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito

Tenemos un círculo de radio y en el insctrito triángulo equilátero de lado . Debemos calcular el lado del triángulo en función del radio del círculo. Para eso observamos que, si denotamos por el centro del círculo y por lo tanto, el centro del triángulo, entonces la base del triángulo corta en dos el radio formando así un tríangulo rectángulo del cual conocemos su cateto o base, y el otro cateto que tiene dimensiones .Además su hipotenusa es . Por lo tanto, el teorema de Pitágoras nos dice que se debe cumplir que

Entonces

Calcular el lado de un cuadrado inscrito

Tenemos un círculo de radio e inscrito un cuadrado de lado . El centro del círculo también corresponde al centro del cuadrado. Dos radios del círculo junto con el lado del cuadrado inscrito forman un triángulo rectángulo de hipotenusa y catetos . Para calcular la hipotenusa del triángulo en función del radio usamos el teorema de Pitágoras. Así