Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

grafica del teorema del cateto

 

  • a es la hipotenusa
  • b y c son los catetos
  • m es la proyección del cateto b sobre la hipotenusa
  • n es la proyección del cateto c sobre la hipotenusa

 

      \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{m}  \hspace{2cm} b^2=a\cdot m
\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{c}{n} \hspace{2cm} c^2=a\cdot n

Ejemplo

 

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

 

grafica de triangulo de problema con el teorema del cateto

 

\displaystyle \frac{c}{30}=\frac{10.8}{c} \hspace{2cm} c^2=30\cdot 10.8
\displaystyle c=\sqrt{30\cdot 10.8} \hspace{2cm} c=18\text{cm}

 

grafica de triangulo con teorema de la altura

 

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta.

 

      \displaystyle \frac{m}{h}=\frac{h}{n} \hspace{2cm} h^2=m\cdot n

Ejemplo

 

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

 

teorema de la altura ejemplo de triangulo dibujado

 

 

\displaystyle \frac{9}{h}=\frac{h}{4} \hspace{2cm} h^2=36
\displaystyle h=\sqrt{36} \hspace{2cm} h=6\text{cm}

 

Teorema de Pitágoras

 

teorema de pitagoras grafica

 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

      \displaystyle a^2=b^2+c^2

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

 
 

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

 

     \displaystyle a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{b^2+c^2}

Ejemplo:

1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

 

teorema de pitágoras grafica de triangulo

 

\displaystyle a^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{m}

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

 

     \displaystyle \begin{matrix} a^2=b^2+c^2 \end{matrix}\hspace{2cm} \begin{matrix} c=\sqrt{a^2-b^2}\\ b=\sqrt{a^2-c^2} \end{matrix}

 

2 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

 

calcular cateto con pitagoras dibujo triangulo

 

\displaystyle 5^2=3^2+c^2 \hspace{2cm} c=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{m}

Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

 

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

 

3 Determinar si el triángulo es rectángulo.

 

triangulo rectangulo representacion grafica

 

\displaystyle 5^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} 25=25

 

 
  

Calcular la diagonal del cuadrado

 

aplicaciones del teorema de pitagoras
\displaystyle d^2=l^2+l^2
\displaystyle d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}
\displaystyle d=l\sqrt{2}

 

Calcular la diagonal del rectángulo

 

 

teorema de pitagoras problemas

 

\displaystyle d^2=b^2+h^2
\displaystyle d=\sqrt{b^2+h^2}

 Calcular el lado oblicuo del trapecio rectángulo

 

 

ejercicios teorema de pitágoras

 

\displaystyle n=B-b
\displaystyle l=\sqrt{h^2+n^2}

 

 

Calcular la altura del trapecio isósceles

 

 

calcular altura del trapecio

 

\displaystyle n=\frac{B-b}{2}
\displaystyle h=\sqrt{l^2-n^2}

 

Calcular la altura del triángulo equilátero

 

 

altura de triangulo equilatero

 

\displaystyle l^2=h^2+\left(\frac{l^2}{2}\right)^2 \hspace{2cm} l^2=h^2+\frac{l^2}{4}
\displaystyle h=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}} \hspace{2cm} h=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}
\displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}l

 

 

Calcular el apotema de un polígono regular

 

 

apotema de un poligono

 

\displaystyle a=\sqrt{r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

 

Calcular el apotema del hexágono inscrito

 

 

calcular apotema de un hexagono

 

\displaystyle l=r
\displaystyle a=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito

 

 

pitagoras

 

\displaystyle r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2 \hspace{2cm} \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2
\displaystyle \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\frac{r^2}{4} \hspace{2cm} \frac{l}{2} =\sqrt{\frac{3\cdot r^2}{4}}
\displaystyle \frac{l}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r \hspace{2cm} l=\sqrt{3}\cdot r

 

 

Calcular el lado de un cuadrado inscrito

 

 

lado de un cuadrado inscrito

 

\displaystyle l=\sqrt{r^2+r^2}
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗