Temas

Teorema del cateto
Teorema de la altura
Teorema de Pitágoras
Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

$a$ es la hipotenusa
$b$ y $c$ son los catetos
$m$ es la proyección del cateto $b$ sobre la hipotenusa
$n$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusa

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{m} \hspace{2cm} b^2=a\cdot m$

$\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{c}{n} \hspace{2cm} c^2=a\cdot n$

Ejemplo

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $30$ cm y la proyección de un cateto sobre ella $10.8$ cm. Hallar el otro cateto.

grafica de triangulo de problema con el teorema del cateto

$\displaystyle \frac{c}{30}=\frac{10.8}{c} \hspace{2cm} c^2=30\cdot 10.8$

$\displaystyle c=\sqrt{30\cdot 10.8} \hspace{2cm} c=18\text{cm}$

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Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta.

$\displaystyle \frac{m}{h}=\frac{h}{n} \hspace{2cm} h^2=m\cdot n$

Ejemplo

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden $4$ y $9$ centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

$\displaystyle \frac{9}{h}=\frac{h}{4} \hspace{2cm} h^2=36$

$\displaystyle h=\sqrt{36} \hspace{2cm} h=6\text{cm}$

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

$\displaystyle a^2=b^2+c^2$

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

$\displaystyle a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{b^2+c^2}$

Ejemplo:

1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden en $3$ m y $4$ m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

teorema de pitágoras grafica de triangulo

$\displaystyle a^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{m}$

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

$\displaystyle \begin{matrix} a^2=b^2+c^2 \end{matrix}\hspace{2cm} \begin{matrix} c=\sqrt{a^2-b^2}\\ b=\sqrt{a^2-c^2} \end{matrix}$

2 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5$ m y uno de sus catetos $3$ m. ¿Cuánto mide otro cateto?

calcular cateto con pitagoras dibujo triangulo

$\displaystyle 5^2=3^2+c^2 \hspace{2cm} c=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{m}$

Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

3 Determinar si el triángulo es rectángulo.

triangulo rectangulo representacion grafica

$\displaystyle 5^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} 25=25$

Calcular la diagonal del cuadrado

$\displaystyle d^2=l^2+l^2$
$\displaystyle d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}$
$\displaystyle d=l\sqrt{2}$

Calcular la diagonal del rectángulo

$\displaystyle d^2=b^2+h^2$
$\displaystyle d=\sqrt{b^2+h^2}$

Calcular el lado oblicuo del trapecio rectángulo

$\displaystyle n=B-b$

$\displaystyle l=\sqrt{h^2+n^2}$

Calcular la altura del trapecio isósceles

$\displaystyle n=\frac{B-b}{2}$

$\displaystyle h=\sqrt{l^2-n^2}$

Calcular la altura del triángulo equilátero

$\displaystyle l^2=h^2+\left(\frac{l^2}{2}\right)^2 \hspace{2cm} l^2=h^2+\frac{l^2}{4}$

$\displaystyle h=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}} \hspace{2cm} h=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}$

$\displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$

Calcular el apotema de un polígono regular

$\displaystyle a=\sqrt{r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}$

Calcular el apotema del hexágono inscrito

$\displaystyle l=r$

$\displaystyle a=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}$

Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito

$\displaystyle r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2 \hspace{2cm} \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2$

$\displaystyle \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\frac{r^2}{4} \hspace{2cm} \frac{l}{2} =\sqrt{\frac{3\cdot r^2}{4}}$

$\displaystyle \frac{l}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r \hspace{2cm} l=\sqrt{3}\cdot r$

Calcular el lado de un cuadrado inscrito

$\displaystyle l=\sqrt{r^2+r^2}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Mayte

Abril 2022

En un triángulo rectángulo encuentra el cateto que hace falta: a = 12,c = 20 b. b = 6,c = 8 c. b = 15,c=17 d. a = 54,c= 10

Jenny

Marzo 2022

ª=8 cm. Y c=24cm

Rafael Nchana Pepito

Gracias por las actividades. Me gustaría que también se dejen las soluciones. Gracias. Desde Malabo, Guinea Ecuatorial

Fernanda

Cuál es el resultado de a=24 cm b=x c=20cm

Antronix

Cuál es la ipotenusa de c=65cm

Donis

Milagros

Febrero 2022

La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 7,7 m y uno de sus ángulos es de 4º. ¿Cuál es la longitud del cateto opuesto al ángulo de 4º ?

Teorema del cateto, de la altura y de Pitágoras