Name: Aplicaciones de teorema de Pitagoras, del cateto y de la altura
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Teorema del cateto
Teorema de la altura
Teorema de Pitágoras
Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

$a$ es la hipotenusa
$b$ y $c$ son los catetos
$m$ es la proyección del cateto $b$ sobre la hipotenusa
$n$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusa

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{m} \hspace{2cm} b^2=a\cdot m$

$\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{c}{n} \hspace{2cm} c^2=a\cdot n$

Ejemplo

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $30$ cm y la proyección de un cateto sobre ella $10.8$ cm. Hallar el otro cateto.

grafica de triangulo de problema con el teorema del cateto

$\displaystyle \frac{c}{30}=\frac{10.8}{c} \hspace{2cm} c^2=30\cdot 10.8$

$\displaystyle c=\sqrt{30\cdot 10.8} \hspace{2cm} c=18\text{cm}$

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Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta.

$\displaystyle \frac{m}{h}=\frac{h}{n} \hspace{2cm} h^2=m\cdot n$

Ejemplo

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden $4$ y $9$ centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

$\displaystyle \frac{9}{h}=\frac{h}{4} \hspace{2cm} h^2=36$

$\displaystyle h=\sqrt{36} \hspace{2cm} h=6\text{cm}$

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

$\displaystyle a^2=b^2+c^2$

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

$\displaystyle a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{b^2+c^2}$

Ejemplo:

1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden en $3$ m y $4$ m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

teorema de pitágoras grafica de triangulo

$\displaystyle a^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{m}$

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

$\displaystyle \begin{matrix} a^2=b^2+c^2 \end{matrix}\hspace{2cm} \begin{matrix} c=\sqrt{a^2-b^2}\\ b=\sqrt{a^2-c^2} \end{matrix}$

2 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5$ m y uno de sus catetos $3$ m. ¿Cuánto mide otro cateto?

calcular cateto con pitagoras dibujo triangulo

$\displaystyle 5^2=3^2+c^2 \hspace{2cm} c=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{m}$

Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

3 Determinar si el triángulo es rectángulo.

triangulo rectangulo representacion grafica

$\displaystyle 5^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} 25=25$

Calcular la diagonal del cuadrado

$\displaystyle d^2=l^2+l^2$
$\displaystyle d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}$
$\displaystyle d=l\sqrt{2}$

Calcular la diagonal del rectángulo

$\displaystyle d^2=b^2+h^2$
$\displaystyle d=\sqrt{b^2+h^2}$

Calcular el lado oblicuo del trapecio rectángulo

$\displaystyle n=B-b$

$\displaystyle l=\sqrt{h^2+n^2}$

Calcular la altura del trapecio isósceles

$\displaystyle n=\frac{B-b}{2}$

$\displaystyle h=\sqrt{l^2-n^2}$

Calcular la altura del triángulo equilátero

$\displaystyle l^2=h^2+\left(\frac{l^2}{2}\right)^2 \hspace{2cm} l^2=h^2+\frac{l^2}{4}$

$\displaystyle h=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}} \hspace{2cm} h=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}$

$\displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$

Calcular el apotema de un polígono regular

$\displaystyle a=\sqrt{r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}$

Calcular el apotema del hexágono inscrito

$\displaystyle l=r$

$\displaystyle a=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}$

Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito

$\displaystyle r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2 \hspace{2cm} \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2$

$\displaystyle \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\frac{r^2}{4} \hspace{2cm} \frac{l}{2} =\sqrt{\frac{3\cdot r^2}{4}}$

$\displaystyle \frac{l}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r \hspace{2cm} l=\sqrt{3}\cdot r$

Calcular el lado de un cuadrado inscrito

$\displaystyle l=\sqrt{r^2+r^2}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Teorema del cateto, de la altura y de Pitágoras

Teorema del cateto

Ejemplo

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Ejemplo

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Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

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Teorema de Pitágoras

Aplicaciones del teorema de Pitágoras I: Diagonal del cuadrado y del rectángulo

Aplicaciones del teorema de Pitágoras II: Altura del triángulo equilátero y el trapecio isósceles

Aplicaciones del teorema de Pitágoras III: Apotema del polígono y del hexágono

Aplicaciones del teorema de Pitágoras IV: Lado de un triángulo equilátero y de un cuadrado

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