Resuelve los siguientes problemas:

1Indica el área de un círculo de 10 cm de diámetro, redondeando a dos cifras decimales.

cm²

¿Cuál sería la longitud de la circunferencia correspondiente? Redondea también a dos cifras decimales.

cm

Como el diámetro es de 10 cm, esto implica que el radio es igual a 5 cm, pues éste siempre es la mitad del diámetro.

Reemplazando el valor del radio en la fórmula para el área tenemos que

 

    $$A=\pi r^{2},$$

 

    $$A=\pi (5)^{2}=25\cdot \pi=78.54 cm^{2}.$$

 

Ahora reemplacemos el valor del radio en la fórmula para la longitud

 

    $$L=2\pi r,$$

 

    $$A=2\pi (5)=\pi\cdot 10=31.42 cm.$$

 

El área del círculo es 78.54 cm² y la longitud de la circunferencia es 31.42 cm

2En una imprenta hacen pegatinas para discos de música de forma que se cubra la parte superior del CD. Sabiendo que el radio mayor mide 5.8 cm y el menor 0.7 cm aproximadamente, ¿qué área de papel utilizan para cada CD?

cm²

Sea r_{1}=5.8cm y r_{2}=0.7cm los radios mayor y menor respectivamente. Para hallar el área de las pegatinas, debemos restarle el área del círculo menor  al área del círculo mayor. De esta manera, nos queda la siguiente fórmula

 

    $$A=\pi r_{1}^{2}-\pi r_{2}^{2}=\pi\cdot(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}),$$

 

    $$A=\pi\cdot((5.8)^{2}-(0.7)^{2})=\pi(33.64-0.49)=\pi\cdot 33.15=104.14cm^{2}.$$

 

El área de cada pegatina es 104.14 cm².

3Calcula el área de un sector circular de angulo 45^{\circ} sabiendo que la longitud de la circunferencia a la que pertenece mide 6\pi.

cm²

Dado que la longitud mide 6\pi, podemos utilizar la fórmula de la longitud L para hallar el valor del radio, pues

 

    $$L=2\pi\cdot r,$$

 

lo cual implica que

 

    $$6\pi=2\pi\cdot r$$

 

y entonces

 

    $$r=\frac{6\pi}{2\pi}=3.$$

 

Después de hallar el valor del radio, estamos preparados para encontrar el área del sector circular de ángulo a^{\circ}=45^{\circ} sustituyendo en su respectiva fórmula

 

    $$A=\frac{\pi r^{2} a^{\circ}}{360^{\circ}}$$

 

    $$A=\frac{\pi (3)^{2} (45)^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi\cdot 405}{360^{\circ}}=3.53cm^{2}.$$

 

El área del sector circular es 3.53 cm².

4Para una fiesta de cumpleaños un grupo de 6 amigos compran una tarta de 28 cm de diámetro. Si dividimos el pastel en 6 porciones iguales, ¿qué área de tarta se come cada uno?

cm²

Si el diámetro d  mide 28cm, se sabe que el radio es \cfrac{d}{2},
luego el valor del radio es 14cm. Ya que la tarta se partirá en 6 porciones, entonces el ángulo que forma cada porción es

 

    $$\alpha=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}.$$

 

En conclusión el área de tarta que se come cada uno es igual al área de un sector circular de radio 14cm y ángulo 60^{\circ}. Así, el área de trozo de tarta es

 

    $$A=\frac{\pi (14)^{2} (60)^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi\cdot 11760}{360^{\circ}}=102.62cm^{2}.$$

 

Pues la fórmula para encontrar el área de un sector circular está dada por A=\cfrac{\pi r^{2} a^{\circ}}{360^{\circ}}.

 

Cada trozo tiene como área 102.62 cm².

5Sobre un círculo de 25\pi cm^{2} de área trazamos un ángulo central de 90^{\circ} . Calcula el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente

cm²

Primero encontraremos el valor del radio. Para ello utilizaremos el valor del área del círculo y la fórmula para calcular el área. Por un lado

 

    $$A=\pi r^{2},$$

 

y también

    $$A=25\pi.$$

 

Juntando las igualdades anteriores, obtenemos que

 

    $$r^{2}=25,$$

 

    $$r=\sqrt{25}=5cm.$$

 

Ahora, calculemos el valor del área del triángulo que tiene como lados a dos radios que forman un ángulo de 90^{\circ} y la cuerda. Notemos que este triángulo es isósceles, su base mide  5cm al igual que su altura. De esta forma el área del triángulo es

 

    $$A_{triángulo}=\frac{{\rm base}\times{\rm altura}}{2}=\frac{5\times 5}{2}=\frac{25}{2}=12.5cm.$$

 

El área del sector circular de ángulo 90^{\circ} y radio 5cm, es

 

    $$A_{sector}=\frac{\pi\times 5^{2}\times 90^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi\times 2250}{360^{\circ}}=19.63cm^{2}.$$

 

Para finalizar, el área que buscamos es la resta del área del anterior sector circular menos el área del triángulo. Entonces la respuesta que buscamos es

 

    $$A_{segmento}=A_{sector}-A_{triángulo}$$

 

    $$A_{segmento}=9.63cm^{2}-12.5cm^{2}=7.13cm^{2}.$$

 

El área del segmento circular es 7.13 cm².

6Calcular el área de la zona coloreada de las siguientes figuras siendo la altura del rectángulo la mitad que la base. Redondea a dos cifras decimales.

área de un hexágono menos un círculo
cm²
área de un hexágono menos un círculo
cm

La primera figura es un hexágono con una circunferencia circunscrita, por tanto el área solicitada será el área del hexágono menos el área de la circunferencia.

 

Para calcular el área del hexágono debemos primero calcular su apotema ap, el cual coincide con el radio de la circunferencia. Ya que el hexágono se divide en 6 triángulos equilateros iguales, entonces podemos formar un triángulo rectángulo circunscrito de catetos igual a 3cm, ap e hipotenusa 6cm. Para hallar el apotema utilizamos la fórmula para calcular catetos del Teorema de Pitágoras

 

    $$ap^{2}=6^{2}-3^{2},$$

 

    $$ap=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36-9}=\sqrt{33}=5.20cm.$$

 

Ahora que conocemos el valor del apotema, podemos calcular el área del hexágono a través de la fórmula del área de polígonos regulares. Dicha fórmula está dada por la siguiente expresión

 

    $$\frac{n\cdot l\cdot ap}{2},$$

 

donde n representa el número de lados del polígono, que en este caso son seis, y l es la longitud de sus lados, que sabemos es igual a seis también.

 

    $$A_{hexágono}=\frac{6\times 6\times 5.20}{2}=\frac{187.2}{2}=93.6cm^{2}.$$

 

Por otro lado, como el apotema coincide con el radio del círculo, entonces

 

$$A_{círculo}=\pi r^{2}

 

    $$A_{círculo}=\pi(5.20)^{2}=\pi(27.04)=84.95cm^{2}.$$

 

Finalmente, el área que buscamos es

 

    $$A=A_{hexágono}-A_{círculo}$$

 

    $$A=93.6cm^{2}-84.95cm^{2}=8.65cm^{2}.$$

 

La segunda figura es un rectángulo con dos circunferencias inscritas, por tanto el área pedida será el área del rectángulo menos el área de las circunferencias.

 

Observemos que la altura del rectángulo es igual al diámetro de la circunferencia, entonces su valor es 9 cm y como el radio es la mitad de su valor, se sigue que el radio mide 4.5 cm.

 

El área del rectángulo es

 

    $$A_{rectángulo}=\mbox{base}\times\mbox{altura}$$

 

    $$A_{rectángulo}=18\times 9=162cm^{2}.$$

 

Luego, para el área del círculo

 

    $$A_{círculo}=\pi r^{2}$$

 

    $$A_{círculo}=\pi\times(4.5)^{2}=63.62cm^{2}.$$

Por último, el área que buscamos es

    $$A=A_{rectángulo}-2\cdot A_{círculo}$$

 

    $$A=162cm^{2}-2(63.62)cm^{2}=34.76cm^{2}.$$

 

El área de la primera figura es 8.65 cm² y de la segunda es 34.76cmcm²

7El radio mayor de un roscón de reyes es de 20 cm mientras que el radio menor mide 7 cm. Si cortamos un trozo con un ángulo de 20º, ¿qué área del roscón hemos cortado?.

cm²

El área que buscamos calcular es la resta del área de un sector circular de radio 20cm y ángulo 20^{\circ} menos el área de un sector circular de radio 7cm y ángulo 20^{\circ}. Entonces, recordando la fórmula del sector circular   \cfrac{\pi r^{2} a^{\circ}}{360^{\circ}}   tenemos que

 

    $$A=A_{sector1}-A_{sector2}$$

 

    $$A=\frac{\pi\cdot 20^{2}\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{\pi\cdot 7^{2}\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}}$$

 

    $$A=\frac{\pi\cdot (20^{2}-7^{2})\cdot 20^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi\cdot 7020}{360^{\circ}}=61.26cm^{2}.$$

 

El área cortada es de 61.26 cm².

8Calcular el área de la zona coloreada redondeando a dos cifras decimales
área cuadrado y sector circular

cm²

El área de la zona coloreada es el área del cuadrado menos el área del sector circular, cuyo ángulo es de 90º.

Primero calcularemos el área del sector circular cuyo ángulo es 90^{\circ} y radio igual a la longitud de un lado del cuadrado, esto es 4cm. Luego, como la fórmula del área de un sector circular está dada por

 

    $$A_{sector}=\cfrac{\pi r^{2} a^{\circ}}{360^{\circ}},$$

 

sustituyendo los valores que hemos encontrado se tiene que

 

    $$A_{sector}=\frac{\pi\times 4^{2}\times 90}{360}=\frac{\pi\times 16\times 90}{360}=12.57cm^{2}.$$

 

Ahora, como el área del cuadrado es el resultado de multiplicar su base por su altura, se reduce simplemente a la multiplicación de dos de sus lados. Entonces

 

    $$A_{cuadrado}=4\cdot 4=4^{2}=16cm^{2}.$$

 

Finalmente, el área de la zona coloreada es

 

    $$A=A_{cuadrado}-A_{sector}=16cm^{2}-12.57cm^{2}=3.43cm^{2}.$$

 

El área de la zona coloreada es 3.43cm²

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 2,91/5 - 53 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗