Name: Semejanza de triangulos
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Definición de semejanza de triángulos
Ejemplos prácticos
Criterios de semejanza
Ejercicios
Semejanza de triángulos rectángulos

Definición de semejanza de triángulos

representación gráfica de triangulo ABC con lados a' b' c'

Dados los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ , los lados $\overline{AB}$ y $\overline{A'B'}$ , $\overline{AC}$ y $\overline{A'C'}$ , $\overline{BC}$ y $\overline{B'C'}$ se llaman lados homólogos. Los ángulos homólogos son: $\alpha = {\alpha}'$ , $\beta = {\beta}'$ y $\gamma = {\gamma}'$ .Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. Esto es, cumple que

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r$

$\alpha = {\alpha}', \quad \beta = {\beta}' \quad \gamma = {\gamma}'$

La razón de la proporción, $r$ , entre los lados homólogos de los triángulos se llama razón de semejanza.

Observaciónes:

1. La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC}}{\overline{A'B'} + \overline{A'C'} + \overline{B'C'}} = r$

2. La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. Así, si las áreas de los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son $S$ y $S'$ , respectivamente, entonces

$\displaystyle \frac{\overline{S}}{\overline{S'}} = r^2$

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Ejemplos prácticos

1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

representación gráfica problema de geometría con edificio y sombra triangulo

Dado que las sombras son proyectadas a la misma hora, supondremos semejanza para poder dar una solución. Así, dada la semejanza, tenemos la siguiente igualdad

$\displaystyle \frac{4.5}{h} = \frac{0.9}{6.5},$

despejando $h$ obtenemos

$\displaystyle h = \frac{(6.5)(4.5)}{0.9} = 32.5$

2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

representación gráfica de dos triángulos semejantes

Notemos que como tenemos los catetos de uno de los triángulos rectángulos, podemos calcular su hipotenusa

$\displaystyle\overline{BC} = \sqrt{24^2 + 10^2} = 26$

Dada la hipotenusa y que los triángulos son semejantes, utilizaremos el hecho de que los lados son proporcionales para obtener los catetos del otro triángulo. Primero calculemos $\overline{A'B'}$

$\displaystyle \frac{26}{52} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{24}{\overline{A'B'}},$

despejando $\overline{A'B'}$ obtenemos

$\overline{A'B'} = \frac{(24)(52)}{26} = 48 m.$

Ahora calculemos $\overline{A'C'}$

$\displaystyle \frac{26}{52} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{10}{\overline{A'C'}},$

despejando $\overline{A'C'}$ obtenemos

$\displaystyle \overline{A'C'} = \frac{(10)(52)}{26} = 20 m.$

Criterios de semejanza

Ángulos iguales

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

$\alpha = \alpha ', \beta = \beta ' \quad \text {o} \quad \alpha = \alpha ', \gamma = \gamma ' \quad \text {o} \quad \beta = \beta', \gamma= \gamma '$

Lados proporcionales

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

representación gráfica de triangulo ABC semejante los lados iguales

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r$

Ángulos entre lados

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} \quad \text{y} \quad \alpha = \alpha'$

o bien

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} \quad \text{y} \quad \beta = \beta'$

o bien

$\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} \quad \text{y} \quad \gamma= \gamma'$

Ejercicios

Determinar los siguientes triángulos son semejantes:

representación gráfica de triangulo semejante con lados de 12, 15, y 10 centímetros

Para este ejemplo, analizaremos si los lados son proporcionales, para esto podemos proceder de varias maneras, sin embargo, lo que nosotros haremos es reducir la proporción de cada lado a su mínima expresión y ver si éstas coinciden, en caso de ser así, habremos encontrado el razón de proporción $r$ . Para ello, notemos que

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ ,

$\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{15}{22.5} = \frac{2}{3}$ ,

y por último

$\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .

Así, tenemos que

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r = \frac{2}{3}$

Podemos concluir que los triángulos son semejantes porque tienen los lados proporcionales
.

representación gráfica de triangulo semejante con ángulos de 60 y 100 grados

representación gráfica de triangulo semejante con ángulos de 20 y 100 grados

Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a $180^{\circ}$ . Dicho esto, entonces tendríamos que

$\begin{align*} \alpha &= 180^{\circ} - \beta - \gamma\\ &= 180^{\circ} - 60^{\circ} - 100^{\circ}\\ &= 20^{\circ} \end{align*}$

Ahora, notemos que $\alpha = \alpha' = 20^{\circ}$ y $\gamma = \gamma' = 100^{\circ}$ . Por lo tanto son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

Veremos si los dos lados dados en cada triángulo son proporcionales y si el ángulo entre estos son iguales. Primero, es claro que los ángulos $\alpha = \alpha' = 65^{\circ}$

. Entonces, solo falta ver que los lados sean proporcionales, para ello, notemos que

$\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{8}{20} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5},$

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{7}{17.5} = \frac{3.5 \cdot 2}{3.5 \cdot 5} = \frac{2}{5}.$

Por lo tanto, tenemos que

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{2}{5}.$

Así, los triángulos son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos iguales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Ángulo

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo (distinto al ángulo recto) igual.

$\gamma = \gamma'.$

Catetos proporcionales

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} .$

Hipotenusa y cateto

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la
hipotenusa y un cateto.

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} .$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Palomares

Septiembre 2019

Muy buen artículo. Concreto y con ejemplos prácticos.

Superprof

Septiembre 2019

¡Gracias!

Dayana Katerine

Octubre 2021

Observar los siguientes triángulos indicar si son semejantes y si lo son cuál es su razón de semejanza

Oregón

Noviembre 2019

Perfecto

Giovani

Marzo 2021

Exelente

Irma Bazante

Abril 2021

Gracias excelente

Semenjaza de triángulo

Abril 2021

A=20cm
a=5cm
B=
b=4cm

Hernández

Mayo 2020

Gracias, explicaciones muy claras y amenas.

Superprof

Mayo 2020

¡Gracias a ti! Nos alegramos de que te hayan servido 🙂

Hanny

Octubre 2020

Excelente explicación 🙂

romero

Junio 2020

gracias

Diaz

Junio 2020

Buenos dias
He encontrado un apoyo para mis estudiantes en esta epoca azaroza, de pandemia. Muchas gracias

Superprof

Junio 2020

¡Nos alegra mucho leer eso! ❤️

ladrido

Junio 2020

los lados de un triangulo T miden 10 cm, 14 cm, y 12cm. Otro triangulo Tes semejante a este y la razon de semejanza entre T y T ES 7/2 ¿Cuanto mide el perimetro de T`? ¿Puedes calcularlo sin hallar sus lados?

Karla Paulette Flores Silva

Julio 2020

Hola, la respuesta a la segunda pregunta es SÍ, pues si hay una razón de semejanza entres dos triángulos, los perímetros guardan la misma proporción. Llamaste de la misma manera a los dos triángulos, supongo que el segundo es el T’ y que la razón de semejanza entre T y T’ es 7/2. De ser así, sea P el perímetro de T, y P’ el perímetro de T’. Entonces

P/P’ = 7/2

(10+14+12)/P’ = 7/2

36/P’ = 7/2

despejamos P’

36×2 = 7P’

72 = 7P’

72/7 = P’

10.2857 = P’

El perímetro de T’ es 10.2857 cm

Espero los comentarios te sean útiles
¡saludos!

Ileana

Diciembre 2020

Hola quien me ayuda

mendoza

Julio 2020

muy buena :3

Carlos Flores

Julio 2020

Claro e interesante. Muchas gracias.

Superprof

Julio 2020

¡Genial! Nos alegramos 🙂

kellen

Septiembre 2020

4.Completa los datos de los siguientes triángulos para que sean semejantes

10 5 6

18
5.Los lados de un triángulo miden 36 cm,42cm y 54cm.si en un triángulo semejante a este, el
lado homólogo del primero mide 24cm.Halla la medida de los otros dos lados de este
triangulo.
6.los lados de un triángulo rectángulo miden 6cm,8cm y 10cm,respectivamente.¿cuánto
medirán los catetos de un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 15cm?
7.Explique los criterios de semejanza para un par de triángulos rectángulos

8.: Un muchacho observa que la sombra de un árbol tiene 15.68 metros de largo cuando el de
su sombra es de 1.95 metros. Si la altura del muchacho es de 1.73 metros ¿cuál es la altura del
árbol? (Nota: Supóngase que los rayos

Jose Eduardo Silva Arellano

Septiembre 2020

Hola Kellen, te ayudare con algunos de tus ejercicios, y te invito a que trates de hacer los demás tú:

Problema 5:Los lados de un triángulo miden 36 cm, 42cm y 54cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24cm. Halla la medida de los otros dos lados de este triangulo.

$Soluci\'on$

Tenemos por el teorema de Thales la siguiente relación

$\displaystyle \frac{36}{24}=\frac{42}{a}=\frac{54}{b}$

calcularemos primero el valor de $a$

$\displaystyle \frac{36}{24}=\frac{42}{a}$

simplificando la primer fracción nos queda:
$\displaystyle \frac{3}{2}=\frac{42}{a} \\ \\ 3a=2(42)\\ \\ 3a=84\\ \\ a=\displaystyle \frac{84}{3}\\ \\ a=28$

Ahora calcularemos el valor de $b$

$\displaystyle \frac{36}{24}=\frac{54}{b} \\ \\ \displaystyle \frac{3}{2}=\frac{54}{b} \\ \\ 3b=54(2)\\ \\ 3b=108\\ \\ b=\displaystyle \frac{108}{3}\\ \\ b=36$

Problema 6: Los lados de un triángulo rectángulo miden 6cm,8cm y 10cm,respectivamente.¿cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 15cm?

$Soluci\'on$

Tenemos las siguientes relaciones por el teorema de Thales:

$\displaystyle \frac{15}{10}=\frac{a}{6}=\frac{b}{8}$

Calcularemos primero el valor de $a$ :
$\displaystyle \frac{15}{10}=\frac{a}{6}\\$

Simplificando la primer fracción tenemos:
$\displaystyle \frac{3}{2}=\frac{a}{6} \\ \\ a=\displaystyle \frac{3\times 6}{2} \\ \\ a=\displaystyle \frac{18}{2} \\ \\ a=9$

Ahora calculemos el valor de $b$ :

$\displaystyle \frac{15}{10}=\frac{b}{8}\\ \\ \displaystyle \frac{3}{2}= \frac{b}{8}\\ \\ b=\displaystyle \frac{3 \times 8}{2} \\ \\ b=\displaystyle \frac{24}{2} \\ \\ b=12$

El problema 8 se hace igual que el problema 6, el problema 4 se hace igual que el 5 y el problema 7 te invito a que investigues por tu cuenta los criterios de semejanza de triángulos rectángulos estoy seguro que podras encontrar la información necesaria para responderlo, cualquier duda estoy para ayudarte, no dudes en escribir nuevamente. Saludos.

Carla

Septiembre 2020

Me puede ayudar en geometria por favor

Superprof

Septiembre 2020

Hola Carla, ¿cuál es tu pregunta?

Carlos Mario

Diciembre 2020

Hola me pueden ayudar

joe rodriguez

Septiembre 2020

gracias por la explicación, bastante clara y muy aprovechable, de continuo son apoyo en mis clases!!!!

Superprof

Septiembre 2020

¡Genial! 🙂

PABLO

Octubre 2020

los amoooooooooo
no me explicaron nada pero me alegro
por las personas que encontraron apoyo

Superprof

Octubre 2020

Hola Pablo, ¿que estabas buscando?

rosa

Octubre 2020

Transcribe un ejercicio sobre semejanza de triángulos, explica. porfa ayuda!

MATEO

Octubre 2020

De acuerdo con la práctica sobre semejanza de triángulos propuesta, diseña un ejercicio y explica su desarrollo.

Cristian

Octubre 2020

gracias

Lissette

Octubre 2020

No pues…. son buenos 🙂

Martina

Octubre 2020

Un rectángulo de lados 8 cm y 6 cm es semejante a otro rectángulo de lados (2x + 5) cm y (x + 4) cm. ¿Cuál es el área del rectángulo semejante? *

Sandra gpe

Noviembre 2020

Buenas noches una pregunta ai el triangulo ABC es semejante aALM

Marina Esquivel

Noviembre 2020

Como se sacaria el valor de la razon
Semejante
Tengo 2 triangulos misma forma diferente tamaño la grande
X🔼 10🔼
4. 8
Sacar la razon de una x
Gracias espero y me puedan ayudar.

anderson chavarria espinoza

Febrero 2021

si el triangulo ABC~DEF, BC=24cm, EF=8cm y AC=27cm entonces ¿cual es la medida en centimetros de DF me ayudan en esto

Alejandra P

Febrero 2021

Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12 cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determina OB’ y BB’.

mary

Marzo 2021

6. Resuelve. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 12,8 m, 12 m y 10 m, mientras que otro
triángulo tiene como medidas 6,4 m, 6 m y 5 m. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Son
semejantes estos triángulos?

Diana Hernandez

Abril 2021

Las rectas rs son paralelas como se calcula la medida del angulo a en una figura geometrica como el valor de r 52 y de s es 65 cual es el valor de a

Diana hernandez

Abril 2021

It spanish

Cesar

Abril 2021

! Excelente análisis !

Lisa

Septiembre 2021

La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

Emily Ayola Diaz

Septiembre 2021

Determina si son semejantes los triángulos a los que corresponden las siguientes medidas 𝑚∡𝐴=60° , 𝑚∡𝐵=40°

Anaclara Abisab

Septiembre 2021

gracias! soy estudiante y esto me ayudo mucho para repasar para el escrito

Dayana Katerine

Octubre 2021

Observar los siguientes triángulos indicar si son semejantes y si lo son cuál es su razón de semejanza

Isabel

Octubre 2021

Hola necesito saber cómo se realiza si AB=8m Ac=12m ED=BD =3 AE=10m CD=5m establecer la proporcionalidad entre los lados homólogos. 😞

Semejanza de triángulos

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras II: Altura del triángulo equilátero y el trapecio isósceles

Aplicaciones del teorema de Pitágoras III: Apotema del polígono y del hexágono

Aplicaciones del teorema de Pitágoras IV: Lado de un triángulo equilátero y de un cuadrado

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Circunferencia y círculo

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