Semejanza de triángulos

Dados los triángulos y , los lados y , y , y se llaman lados homólogos. Los ángulos homólogos son: , y . Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales, es decir, que se cumple:

y

La razón de la proporción, , entre los lados homólogos de los triángulos se llama razón de semejanza.

Observaciones:

1. La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

2. La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. Así, si las áreas de los triángulos y son y , respectivamente, entonces

1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

Dado que las sombras son proyectadas a la misma hora, supondremos semejanza para poder dar una solución. Así, dada la semejanza, tenemos la siguiente igualdad

despejando obtenemos

2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Notemos que como tenemos los catetos de uno de los triángulos rectángulos, podemos calcular su hipotenusa

Dada la hipotenusa y que los triángulos son semejantes, utilizaremos el hecho de que los lados son proporcionales para obtener los catetos del otro triángulo. Primero calculemos

despejando obtenemos

Ahora calculemos

despejando obtenemos

Criterios de semejanza

Ángulos iguales

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Lados proporcionales

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

Ángulos entre lados

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.

o bien

o bien

Ejercicios de triángulos seme

Determinar los siguientes triángulos son semejantes:

1

Para este ejemplo, analizaremos si los lados son proporcionales, para esto podemos proceder de varias maneras, sin embargo, lo que nosotros haremos es reducir la proporción de cada lado a su mínima expresión y ver si éstas coinciden, en caso de ser así, habremos encontrado el razón de proporción . Para ello, notemos que

,

,

y por último

.

Así, tenemos que

Podemos concluir que los triángulos son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

2

Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a . Dicho esto, entonces tendríamos que

Ahora, notemos que y . Por lo tanto son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

3

Veremos si los dos lados dados en cada triángulo son proporcionales y si el ángulo entre estos son iguales. Primero, es claro que los ángulos .

Entonces, solo falta ver que los lados sean proporcionales, para ello, notemos que

Por lo tanto, tenemos que

Así, los triángulos son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos iguales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Ángulo

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo (distinto al ángulo recto) igual.

Catetos proporcionales

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

Hipotenusa y cateto

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la
hipotenusa y un cateto.