Definición de semejanza de triángulos

 

representación gráfica de triangulo ABC

 

representación gráfica de triangulo ABC con lados a' b' c'

 

Dados los triángulos ABC y A'B'C', los lados \overline{AB} y \overline{A'B'}, \overline{AC} y \overline{A'C'}, \overline{BC} y \overline{B'C'} se llaman lados homólogos. Los ángulos homólogos son: \alpha = {\alpha}', \beta = {\beta}' y \gamma = {\gamma}'.Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. Esto es, cumple que

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r

 

y

 

\alpha = {\alpha}', \quad \beta = {\beta}' \quad \gamma = {\gamma}'

 

La razón de la proporción, r, entre los lados homólogos de los triángulos se llama razón de semejanza.

 

Observaciónes:

 

1. La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

 

 \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC}}{\overline{A'B'} + \overline{A'C'} + \overline{B'C'}} = r

 

2. La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. Así, si las áreas de los triángulos ABC y A'B'C' son S y S', respectivamente, entonces

 

\displaystyle  \frac{\overline{S}}{\overline{S'}} = r^2

 

Ejemplos prácticos

 

1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

 

representación gráfica problema de geometría con edificio y sombra triangulo

 

Dado que las sombras son proyectadas a la misma hora, supondremos semejanza para poder dar una solución. Así, dada la semejanza, tenemos la siguiente igualdad

 

 \displaystyle \frac{4.5}{h} = \frac{0.9}{6.5},

 

despejando h obtenemos

 

\displaystyle h = \frac{(6.5)(4.5)}{0.9} = 32.5

 

2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

 

representación gráfica de dos triángulos semejantes

 

Notemos que como tenemos los catetos de uno de los triángulos rectángulos, podemos calcular su hipotenusa

 

 \displaystyle\overline{BC} = \sqrt{24^2 + 10^2} = 26

 

Dada la hipotenusa y que los triángulos son semejantes, utilizaremos el hecho de que los lados son proporcionales para obtener los catetos del otro triángulo. Primero calculemos \overline{A'B'}

 

\displaystyle \frac{26}{52} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{24}{\overline{A'B'}},

 

despejando \overline{A'B'} obtenemos

 

 \overline{A'B'} = \frac{(24)(52)}{26} = 48 m.

 

Ahora calculemos \overline{A'C'}

 

\displaystyle \frac{26}{52} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{10}{\overline{A'C'}},

 

despejando \overline{A'C'} obtenemos

 

 \displaystyle \overline{A'C'} = \frac{(10)(52)}{26} = 20 m.

 

Criterios de semejanza

 

Ángulos iguales

 

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

 

representación gráfica de triangulo ABC con ángulo igual a triangulo semejanterepresentación gráfica de triangulo A'B'C' con ángulo igual a triangulo semejante

 

 \alpha = \alpha ', \beta = \beta ' \quad \text {o} \quad \alpha = \alpha ', \gamma = \gamma ' \quad \text {o} \quad \beta = \beta', \gamma= \gamma '

 

Lados proporcionales

 

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

 

representación gráfica de triangulo ABC semejante los lados igualesrepresentación gráfica de triangulo A'B'C' semejante los lados iguales

 

 \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r

 

Ángulos entre lados

 

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.

 

representación gráfica de triangulo semejante con lados proporcionales y ángulo B igual representación gráfica de triangulo semejante con lados proporcionales y ángulo B' igual

 

 \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} \quad \text{y} \quad \alpha = \alpha'

 

o bien

 

\displaystyle  \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} \quad \text{y} \quad \beta = \beta'

 

o bien

 

\displaystyle  \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} \quad \text{y} \quad \gamma= \gamma'

 

Ejercicios

 

Determinar los siguientes triángulos son semejantes:

 

1

 

representación gráfica de triangulo semejante con lados de 12, 15, y 10 centímetros

representación gráfica de triangulo semejante con lados de 18cm 22.5cm y 15cm

 

Para este ejemplo, analizaremos si los lados son proporcionales, para esto podemos proceder de varias maneras, sin embargo, lo que nosotros haremos es reducir la proporción de cada lado a su mínima expresión y ver si éstas coinciden, en caso de ser así, habremos encontrado el razón de proporción r. Para ello, notemos que

 

 \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3},

 

\displaystyle  \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{15}{22.5} = \frac{2}{3},

 

y por último

 

 \displaystyle \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.

 

Así, tenemos que

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r = \frac{2}{3}

 

Podemos concluir que los triángulos son semejantes porque tienen los lados proporcionales
.

 

2

 

representación gráfica de triangulo semejante con ángulos de 60 y 100 grados

 

representación gráfica de triangulo semejante con ángulos de 20 y 100 grados

 

Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180^{\circ}. Dicho esto, entonces tendríamos que

 

     \begin{align*} \alpha &= 180^{\circ} - \beta - \gamma\\ &= 180^{\circ} - 60^{\circ} - 100^{\circ}\\ &= 20^{\circ} \end{align*}

 

Ahora, notemos que \alpha = \alpha' = 20^{\circ} y \gamma = \gamma' = 100^{\circ}. Por lo tanto son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

 

3

 

representación gráfica de triangulo semejante con ángulos de 65 grados, lado de 7 centimetros y lado de 8 cmrepresentación gráfica de triangulo semejante con ángulos de 65 grados, lado de 17.5 centimetros y lado de 20 cm

 

Veremos si los dos lados dados en cada triángulo son proporcionales y si el ángulo entre estos son iguales. Primero, es claro que los ángulos \alpha = \alpha' = 65^{\circ}

. Entonces, solo falta ver que los lados sean proporcionales, para ello, notemos que

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{8}{20} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5},

 

 \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{7}{17.5} = \frac{3.5 \cdot 2}{3.5 \cdot 5} = \frac{2}{5}.

 

Por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{2}{5}.

 

Así, los triángulos son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos iguales.

 

Semejanza de triángulos rectángulos

 

Ángulo

 

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo (distinto al ángulo recto) igual.

 

representación gráfica de triangulo semejante con ángulo distinto al ángulo recto igualrepresentación gráfica de triangulo semejante con ángulo C' distinto al ángulo recto igual

 

 \gamma = \gamma'.

 

Catetos proporcionales

 

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

 

representación gráfica de triangulo semejante con cateto proporcionalrepresentación gráfica de triangulo semejante con cateto proporcional

 

 \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} .

 

Hipotenusa y cateto

 

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la
hipotenusa y un cateto.

 

representación gráfica de triangulo semejante con cateto y hipotenusa proporcionalrepresentación gráfica de triangulo semejante con cateto y hipotenusa proporcionales

 

 \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} .

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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