Definición de triángulo

 

Un triángulo es un polígono que está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.

 

Lados de un triángulo.triangulos 2

 

triangulos 3

 

Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.

 

Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.

 

Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.

 

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Vamos

Propiedades de los triángulos

 

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

 

a < b + c

 

a > b - c

 

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180^o.

 

Suma de los ángulos del triángulo

 

3En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

 

Los ángulos del triángulo.

 

4 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

 

triangulos 6

 

Triángulos iguales

 

1Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.

 

2Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido.

 

3Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.

 

Clases de triángulos según sus lados y formulas de sus perímetros

 

Los tres tipos de triángulos.

 

Clases de triángulos según sus ángulos

 

Triángulo acutángulo

 

Tiene sus tres ángulos agudos

 

TRiángulo acutángulo.

 

Triángulo rectángulo

 

Tiene un ángulo recto.

El lado mayor es la hipotenusa.

Los lados menores son los catetos.

 

Triángulo rectángulo.

 

Triángulo obtusángulo

 

Tiene un ángulo obtuso.

 

Triángulo obtusángulo.

 

Clases de triángulos según sus lados

 

Triángulo equilátero: es aquel que tiene sus tres lados iguales

 

Triángulo equilatero.

 

Triángulo isósceles: es aquel que tiene dos lados iguales

 

Triángulo isosceles.

 

Triángulo escaleno: es aquel que tiene sus tres lados desiguales

 

Triángulo escaleno.

 

Elementos notables en los triángulos

 

Alturas de un triángulo:

 

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

 

Ortocentro

 

Es el punto de corte de las tres alturas.

 

Medianas de un triángulo

 

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

 

Baricentro

 

Es el punto de corte de las tres medianas.

 

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

 

Mediatrices de un triángulo

 

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

 

Circuncentro

 

Es el punto de corte de las tres mediatrices.

 

Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

 

Bisectrices de un triángulo

 

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

 

Incentro

 

Es el punto de corte de las tres bisetrices.

 

Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

 

Recta de Euler

 

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir; pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

 

Área del triángulo

 

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.

 

Sacar el área del triángulo.

 

A = \cfrac{b \cdot h}{2}

 

Ejemplo: Hallar el área del siguiente triángulo

 

Área del triángulo.

 

La base es de 11 \, cm y altura 7 \, cm, por lo que su área es

 

A = \cfrac{11 \cdot 7}{2} = 38.5 \, cm^2

 

Área de un triángulo rectángulo

 

El área de un triángulo rectángulo es igual la mitad del producto de sus catetos.

 

Área de un triángulo rectángulo.

 

A = \cfrac{b \cdot c}{2}

 

Ejemplo:  Hallar el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 \, cm.

 

Área triángulo rectángulo.

 

Los catetos son 3 y 4 \, cm, por lo que su área es

 

A = \cfrac{3 \cdot 4}{2} = 6 \, cm^2

 

Semiperímetro

 

El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2. Se denota con la letra p

 

p = \cfrac{a + b + c}{2}

 

Conociendo dos lados y el ángulo que forman

 

Conocer dos lados del triángulo.

 

A = \cfrac{a \cdot  b \cdot sen \, C}{2}

 

Circunferencia circunscrita a un triángulo

 

Circunferencia circunscrita a un triángulo.

 

A = \cfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

 

donde R es el radio de la circunferencia circunscrita

 

Circunferencia inscrita en un triángulo

 

Circunferencia inscrita en un triángulo.

 

A = r \cdot p

 

donde r es el radio de la circunferencia inscrita

 

Teoremas y fórmulas

 

Teorema del cateto

 

Triángulos: teorema del cateto.

 

\cfrac{a}{b} = \cfrac{b}{m} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b^2 = a \cdot m

 

\cfrac{a}{c} = \cfrac{c}{n} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c^2 = a \cdot n

 

Teorema de la altura

 

Triángulos: teorema de la altura.

 

\cfrac{m}{h} = \cfrac{h}{n} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h^2 = m \cdot n

 

Teorema de Pitágoras

 

Triangulos: teorema de Pitágoras.

 

a^2 = b^2 + c^2

 

a = \sqrt{b^2 + c^2}

 

b = \sqrt{a^2 - c^2}

 

c = \sqrt{a^2 - b^2}

 

Fórmula de Herón.

 

triangulos: la formula de Heron

 

A = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}

 

donde p es el semiperímetro.

 

Ejemplo: Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 \, cm.

 

Calculamos el semiperímetro

 

p = \cfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6

 

Aplicamos la fórmula de Herón

 

A = \sqrt{6 \cdot (6 - 3) \cdot (6 - 4) \cdot (6 - 5)} = 6 \, cm^2

 

Diagonal del cuadrado

 

triangulos: la diagonal del cuadrado

 

d = l \sqrt{2}

 

Diagonal del rectángulo

 

triangulos: la diagonal del rectángulo

 

d = \sqrt{b^2 + h^2}

 

Lado oblicuo del trapecio rectángulo

 

triangulos: lado oblicuo del trapecio

 

n = B - b

 

l = \sqrt{h^2 + n^2}

 

Altura del trapecio isósceles

 

triangulos: altura del trapecio isosceles

 

n = B - b

 

h = \sqrt{l^2 - n^2}

 

Altura del triángulo equilátero

 

altura de un rectángulo equilátero

 

h = \cfrac{\sqrt{3}}{2} l

 

Apotema de un polígono regular

 

triangulos: apotema de un polígono regular

 

a = \sqrt{r^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2}

 

Apotema del hexágono inscrito

 

triangulos: apotema del hexágono inscrito en una cirunferencia

 

a = \sqrt{l^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2}

 

Lado de un triángulo equilátero inscrito

 

lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia

 

l = \sqrt{3} r

 

Lado de un cuadrado inscrito

 

triangulos: lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia

 

l = \sqrt{r^2 + r^2}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗