Name: Problemas y ejercicios de la circunferencia y el circulo
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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos

1 Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.

Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.

Ejercicio de circunferencia 1

1Calculamos el recorrido de una vuelta con ${L=2\cdot \pi\cdot r}$

${L_{L}=2(3.14)(2)=12.56 \; m}$

${L_{A}=2(3.14)(3.5)=21.98 \; m}$

2El recorrido total se obtiene multiplicando una vuelta por 50

${R_{L}=(50)(12.56)=628 \; m}$

${R_{A}=(50)(21.98)=1099 \; m}$

2Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

1Calculamos el recorrido para ${146^{o}}$

${L_{c}=\displaystyle\frac{2\pi (1.8 \; m)(146^{o})}{360^{o}}=4.5 \; m}$

3La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

1Convertimos el radio a metros

${r=90:100=0.9 \; m}$

2Calculamos el recorrido de una vuelta

${L=2\pi (0.9)=5.65 \; m}$

3Calculamos el recorrido para 100 vueltas

${(100)(5.65)=565 \; m}$

4Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

1Convertimos el radio a metros, sabiendo que una milla equivale a 1609.34 metros

${r=7(1609.34)=11265.38 \; m}$

2Calculamos el recorrido para ${128^{o}}$

${L_{c}=\displaystyle\frac{2\pi (11265.38 \; m)(128^{o})}{360^{o}}=25154.34 \; m}$

5La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

1Calculamos el radio de la circunferncia

${2\pi r=43.96 \; cm \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r=7 \; cm}$

2Calculamos el área del círculo

${A=\pi \cdot 7^{2} =153.86 \; cm^{2}}$

6El área de un sector circular de 90° es 4π cm cuadrados. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

El área de un sector circular de 90° es 4π cm cuadrados. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

1Calculamos el radio del sector

${\displaystyle\frac{\pi r^{2} (90^{o})}{360^{o}}=4\pi \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r=4 \; cm}$

2Calculamos la longitud de la circunferencia

${L=2 \pi (4 \; cm) = 25.12\; cm}$

7Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

1El sector solicitado corresponde a una tercera parte del área total del círculo, esto es, un sector de ${120^{o}}$

2Calculamos el área para ${120^{o}}$

${A=\displaystyle\frac{2^{2}\pi (120^{o})}{360^{o}}=4.19 \; cm^{2}}$

8Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

1Calculamos el área de los dos sectores y luego la diferencia de estos.

${A=\displaystyle\frac{\pi (60^{o}) (8^{2}-5^{2})}{360^{o}} = 20.41\; cm^{2}}$

9En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

1Calculamos el área de los dos sectores y luego la diferencia de estos.

${A=\pi (700^{2}-5^{2}) = 1 538 521.5\; m^{2}}$

10La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

1Calculamos el área del cuadrado y del círculo formado por los dos semicirculos y luego la suma de estos.

${A=1^{2}+\pi \left (\displaystyle\frac{1}{2}\right )^{2} = 1.785 \; m^{2}}$

11Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

1Calculamos el área para el sector de ${90^{o}}$

${A=\displaystyle\frac{4^{2}\pi (90^{o})}{360^{o}} = 12.56\; cm^{2}}$

12Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.

Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.

1Calculamos el área del cuadrado y del círculo y luego la diferencia de estos

${A=6^{2}-\pi \cdot 3^{2} = 7.74\; cm^{2}}$

13En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

1Calculamos el área del círculo mayor, de las farolas y luego la diferencia de estos.

${A=\pi (250^{2}-7\cdot 1^{2}) = 196 228.02\; m^{2}}$

14 Ejercicio de circunferencia 9 Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

1Calculamos el área del círculo mayor, de los círculos menores y luego la diferencia de estos

${A=\pi (6^{2}-4\cdot 2^{2}) = 62.8 \; cm^{2}}$

15 Ejercicio de circunferencia 10 Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D. Ejercicio de circunferencia 11

1La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares:

Ejercicio de circunferencia 12 Ejercicio de circunferencia 13

2Calculamos el área del segmento circular y lo multiplicamos por 2

${A=2\left( \displaystyle\frac{10^{2}\pi (90^{o})}{360^{o}}-\frac{(10)(10)}{2}\right) = 57 \; cm^{2}}$

16A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1Calculamos el radio del círculo interior el cual coincide con la apotema del hexágono

${r=a=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = \sqrt{12} \; cm}}$

2Calculamos el área de cada círculo y luego la diferencia de estos

${A=\pi \left(4^{2}-(\sqrt{12})^{2}\right) = 12.56 \; cm^{2}}$

17En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

1Calculamos el radio del círculo aplicando el teorema de Pitágoras

${r=\sqrt{24^{2}+7^{2}} = 25 \; cm}}$

2Calculamos el área del círculo

${A=\pi \cdot 25^{2} = 1962.5 \; cm^{2}}$

18Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular el área del círculo.

Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular el área del círculo.

1Calculamos la hipotenusa, la cual es el diámetro de la circunferencia

${d=\sqrt{(22.2)^{2}+(29.6)^{2}} = 37 \; cm}}$

2Calculamos el área de cada círculo

${A=\pi \cdot \left(\displaystyle\frac{37}{2}\right) = 1075.21 \; cm^{2}}$

19Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

1Calculamos el área del sector

${A_{s}=\displaystyle\frac{\pi \cdot (4)^2 \cdot (60^{o})}{360^{o}}=8.38 \; cm^{2}}}$

2Calculamos la altura del triángulo y el área del mismo

${h=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=3.46 \; cm}}$

${A_{\Delta}=\displaystyle\frac{(4) \cdot (3.46)}{2}=6.92 \; cm^{2}}}$

3Calculamos la diferencia de áreas

${A=8.38-6.92=1.46 \; cm^{2}}}$

20Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto ${r=\displaystyle\frac{2\cdot h}{3}}$