1Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:

 

diagonal de un cuadrado representación gráfica

1 Calculamos la diagonal empleando el teorema de Pitágoras

 

{ d  = \sqrt{ 5^{2}+5^{2} } = \sqrt{50} = 7,07 \, cm }

 

2 Calculamos el perímetro

 

{P = 4 \cdot 5 = 20 \, cm}

 

3 Calculamos el área

 

{A = 5^{2} = 25 \, cm^{2}}

2Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:

 

Diagonal de un rectángulo representación gráfica

1 Calculamos la diagonal empleando el teorema de Pitágoras

 

{ d = \sqrt{ 10^{2}+6^{2} } = \sqrt{136} = 11,66 \, cm }

 

2 Calculamos el perímetro

 

{P = 2 \cdot (10+6) = 32 \, cm}

 

3 Calculamos el área

 

{A = 10 \cdot 6 = 60 \, cm^{2}}

3Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

 

Figura compuesta representación gráfica

1 Calculamos el lado faltante de la figura triangular, empleando el teorema de Pitágoras

 

{ x = \sqrt{ 2^{2}+6^{2} } = \sqrt{40} = 6,32 \, cm }

 

2 Calculamos el perímetro sumando los lados de la figura

 

{P = 2 \cdot 8 + 6 + 2 +6,32 = 30,32 \, cm}

 

3 Calculamos el área

 

{A = \cfrac{(10+8) \cdot 6}{2} = 54 \, cm^{2}}

4Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:

 

Trapecio representación gráfica

1 Calculamos la altura de la figura, empleando el teorema de Pitágoras

 

{ h = \sqrt{ 5^{2} - 3^{2} } = \sqrt{16} = 4 \, cm }

 

2 Calculamos el perímetro sumando los lados de la figura

 

{P = 2 \cdot 5 + 10 + 4 = 24 \, cm}

 

3 Calculamos el área

 

{A = \cfrac{(10+4) \cdot 4}{2} = 28 \, cm^{2}}

5Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:

 

Triangulo representación gráfica

1 Calculamos la altura de la figura, empleando el teorema de Pitágoras

 

{ h = \sqrt{ 10^{2} - 5^{2} } = \sqrt{75} = 8,66 \, cm }

 

2 Calculamos el perímetro de la figura

 

{P = 3 \cdot 10 = 30 \, cm}

 

3 Calculamos el área

 

{A = \cfrac{10 \cdot 8,66}{2} = 43,30 \, cm^{2}}

6Hallar el perímetro y el área del pentágono regular:

 

Pentágono representación gráfica

1 Calculamos el valor del apotema, empleando el teorema de Pitágoras

 

{ a = \sqrt{ 5^{2} - 3^{2} } = \sqrt{16} = 4 \, cm }

 

2 Calculamos el perímetro de la figura

 

{P = 5 \cdot 6 = 30 \, cm}

 

3 Calculamos el área

 

{A = \cfrac{30 \cdot 4}{2} = 60 \, cm^{2}}

7Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados, observando que al trazar segmentos del centro a los vértices se obtienen triángulos equiláteros, así el lado del hexágono es 4 cm

 

Hexágono inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos el valor del apotema, empleando el teorema de Pitágoras

 

{ a = \sqrt{ 4^{2} - 2^{2} } = \sqrt{12} = 3,46 \, cm }

 

3 Calculamos el perímetro del hexágono

 

{P = 6 \cdot 4 = 24 \, cm}

 

4 Calculamos el área del hexágono

 

{A = \cfrac{24 \cdot 3,46}{2} = 41,52 \, cm^{2}}

8Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados, observando que al trazar segmentos del centro a dos vértices consecutivos se obtiene un triángulo rectángulo

 

Cuadrado inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos el valor del lado, empleando el teorema de Pitágoras

 

{ l = \sqrt{ 5^{2} + 5^{2} } = \sqrt{50} = 7,07 \, cm }

 

3 Calculamos el área del cuadrado

 

{A = 7,07^2 = 50 \, cm^{2}}

9Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto

 

{ r = \cfrac{2 \cdot h}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 6 = \cfrac{2 \cdot h}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 9\, cm }

 

3 Calculamos el lado del triángulo empleando el teorema de Pitágoras

 

{l^{2} = 9^{2}+\left ( \cfrac{l}{2} \right )^{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 18 \sqrt{3} = 10,39}

 

4 Calculamos el área del triángulo

 

{A = \cfrac{(10,39) \cdot (9)}{2} = 46,76 \ cm^2}

10Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18,84 m.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados, observando que al trazar segmentos del centro a dos vértices consecutivos se obtiene un triángulo rectángulo con catetos igual al radio del círculo

 

El cuadrado inscrito representación gráfica

 

2 Calculamos el radio a partir de la longitud de la circunferencia

 

{ 2(3.14)r = 18,84 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 3 \, cm }

 

3 Encontramos el lado del cuadrado empleando el teorema de Pitágoras

 

{l = \sqrt{ 3^{2} + 3^2} = 4,24 }

 

4 Calculamos el área del cuadrado

 

{A = (4,24^2) = 18 \ cm^2}

11En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

figuras inscritas repetidamente representación gráfica

 

2 El radio del primer círculo inscrito es igual a la mitad del lado del cuadrado, esto es {r_1 = 1 \ cm}. La diagonal del segundo cuadrado es igual al diámeto del primer círculo, esto es, {2 \ cm}. Calculamos el lado del segundo cuadrado empleando el torema de Pitágoras

 

{ 2^2 = l^2 + l^2 = 2 l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{2} \, cm }

 

3 Encontramos el área del segundo cuadrado

 

{A_{\square } = (\sqrt{2})^{2} = 2 \, cm^2}

 

4 El radio del segundo círculo es igual a la mitad del lado del segundo cuadrado. Calculamos el área del segundo círculo

 

{A_{\bigcirc } = \pi \cdot \left ( \cfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2} = 1,57 \, cm^2}

 

5 El área solicitada es

 

{A = A_{\square} -A _{\bigcirc} = 2 - 1,57 = 0,43 \, cm^2}

12El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Figura geométrica : trapecio representación gráfica

 

2 Calculamos los lados no paralelos a partir del perímetro

 

{110 = 40 + 30 + 2l \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 20 \, m }

 

3 Encontramos la altura empleando el teorema de Pitágoras

 

{h = \sqrt{20^2 - 5^2} = 19,36 \, m}

 

4 El área solicitada es

 

{A = \cfrac{(40+30) \cdot 19,36}{2} = 677,6 \, m^2}

13Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un
triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura
del triángulo, calcular el área del trapecio.

1 De los datos propocionados tenemos que la base mayor es 6 \, cm y la base menor es la mitad de la base mayor, esto es, 3 \, cm

 

2 Calculamos la altura del triángulo empleando el teorema de Pitágoras

 

{h_1 = \sqrt{6^2 - 3^2} = 5,2 \, cm }

 

3 Encontramos la altura del trapecio, la cual es la mitad de la altura del triángulo

 

{h_2 = \displaystyle \frac{5,2}{2} = 2,6 \, cm}

 

4 El área solicitada es

 

{A = \cfrac{(6 + 3) \cdot 2,6}{2} = 11,7 \, cm^2}

14El área de un cuadrado es 2304\, cm^{2}. Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

1 Calculamos el valor del lado del cuadrado a partir de su área

 

{ 2304 = l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 48 \, cm }

 

2 Calculamos el perímetro del cuadrado

 

{ P = 4(48) = 192 \, cm }

 

3 El perímetro del hexágono es 192 \, cm, por lo que el lado del hexágono es 192/6 = 32 \, cm

 

4 Representamos la figura del hexágono con los datos obtenidos y calculamos su apotema

 

Hexágono inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

{ a = \sqrt{ 32^{2} - 16^{2} } = \sqrt{768} = 27,71 \, cm }

 

5 Calculamos el área del hexágono

 

{A = \cfrac{192 \cdot 27,71}{2} = 2660,16 \, cm^{2}}

15En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Figura geométrica : estrella representación gráfica

 

2 Calculamos el lado del cuadrado, para esto notamos que su diagonal es igual al diámetro de la circunferencia

 

{8^2 = l^2 + l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 5,66 \, m }

 

3 Encontramos la altura de un triángulo equilátero empleando el teorema de Pitágoras

 

{h = \sqrt{5,66^2 - 2,83^2} = 4,9 \, cm}

 

4 El área de un triángulo es

 

{A_T = \cfrac{5,66 \cdot 4,9}{2} = 13,87 \, cm^2}

 

5 El área del cuadrado es

 

{A_C = 5,66^2 = 32 \, cm^2}

 

6 El área de la estrella es

 

{A_E = 4 \cdot 13,87 + 32 = 87,48 \, cm^2}

16A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Corona formada por un hexágono y 2 círculos representación gráfica

 

2 El radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado del hexágono, esto es {R = 4 \ cm}. El radio de la circunferencia inscrita es igual al apotema, la cual calculamos empleando el torema de Pitágoras

 

{ r = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} \, cm }

 

3 El área de la corona es igual a la diferencia de áreas de los círculos

 

{A = \pi \cdot 4^2 - \pi \cdot (\sqrt{12})^{2} = 4 \pi = 12,56 \, cm^2}

17En una circunferencia una cuerda de 48 cm dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Cuerda del circulo representación gráfica

 

2 El radio de la circunferencia se obtiene empleando el torema de Pitágoras

 

{ r = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25 \, cm }

 

3 El área del círculo es

 

{A = \pi \cdot 25^2 = 1962,5 \, cm^2}

18Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22,2 cm y 29,6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo inscrito en una circunferencia con hipotenusa como diametro representación gráfica

 

2 La hipotenusa del triángulo es igual al diámetro de la circunferencia, la calculamos empleando el torema de Pitágoras

 

{ 2r = \sqrt{22,2^2 + 29,6^2} = 37 \, cm }

 

3 La longitud de la circunferencia es

 

{P = \pi \cdot 37 = 116,18 \, cm^2}

 

3 El área del círculo es

 

{A = \pi \cdot 18,5^2 = 1074,67 \, cm^2}

19Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Semi corona con circunferencia inscrita representación gráfica

 

2 El radio de la circunferencia circunscrita es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado, esto es {R = 4 \ m}. El radio de la circunferencia inscrita es igual a la mitad del lado del cuadrado, le cual calculamos empleando el torema de Pitágoras

 

{ 8^2 = l^2 + l^2} = 2 l^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \sqrt{32}\, m }

 

3 El área de la corona es igual a la diferencia de áreas de los círculos

 

{A = \pi \cdot 4^2 - \pi \cdot \left (\cfrac{\sqrt{32}}{2} \right )^{2} = 8 \pi = 25,12 \, m^2}

20Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60^{\circ}. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une
los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo equilátero inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos el área del sector

 

{A_{s} = \cfrac{\pi \cdot 4^{2}\cdot 60}{360} = 8,37 \, cm^2 }

 

3 El triángulo que se forma es equilátero, y calculamos su altura empleado el teorema de Pitágoras

 

{h = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 3,46 \, cm}

 

4 Calculamos el área del triángulo

 

{A_{t} = \cfrac{4 \cdot 3,46}{2} = 6,92 \, cm^2 }

 

5 El área solicitada es igual a la diferencia de áreas

 

{A = 8,37 - 6,92 = 1,45 \, cm^2 }

21Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo equilátero circunscrito en la circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos la altura del triángulo equilátero empleando el teorema de Pitágoras

 

h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} \, m}

 

3 El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

 

{r = \cfrac{2}{3} \cdot \sqrt{27} \, m}

 

4 Calculamos el área del sector de {120^o}

 

{A = \cfrac{\pi \cdot \displaystyle \left (\frac{2\sqrt{27}}{3} \right )^{2}\cdot 120}{360} = 4 \pi = 12,56 \, m^2 }

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗