Problemas de áreas

 

1 Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:

 

diagonal de un cuadrado representación gráfica

 

 

2 Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:

 

Diagonal de un rectángulo representación gráfica

 

 

3 Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

 

Figura compuesta representación gráfica

 

 

4 Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:

 

Trapecio representación gráfica

 

 

5 Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:

 

Triangulo representación gráfica

 

 

6 Hallar el perímetro y el área del pentágono regular :

 

Pentágono representación gráfica

 

7 Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

 

 

8 Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

 

 

9 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

 

 

10 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18,84 m.

 

 

11  En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en
este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

 

 

12  El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m
respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

 

 

13  Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un
triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura
del triángulo, calcular el área del trapecio.

 

 

14  El área de un cuadrado es 2304\, \textup{cm}^{2}. Calcular el área del hexágono regular que tiene
su mismo perímetro.

 

 

15  En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados
de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros.

Hallar el área de la estrella así formada.

 

 

16  A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe
otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

 

 

17  En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro.

Calcular el área del círculo.

 

 

18  Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22,2 cm y 29,6 cm
respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

 

 

19  Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

 

 

20  Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60^{\circ}.

Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une
los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

 

 

21  Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores
determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.  

 

Soluciones de los problemas de áreas

 

 

1  Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:

 

representación gráfica Diagonal de un cuadrado

 

d^{2}=5^{2}+5^{2}

 

d=\sqrt{50}=7,07\, \textup{cm}

 

P=4\cdot 5=20\, \textup{cm}

 

A=5^{2}=25\, cm^{2}

 

 

 

2  Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:

 

representación gráfica de diagonal en un rectangulo

 

d^{2}=10^{2}+6^{2}

 

d=\sqrt{136}=11,66\, \textup{cm}

 

P=2\cdot (10+6)=32\, \textup{cm}

 

A=10\cdot 6=60\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

3   Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

 

representación gráfica de una figura compuesta

 

I^{2}=6^{2}+2^{2}

 

I=\sqrt{40}=6,32\, \textup{cm}

 

P=8+6+10+6,32=30,32\, \textup{cm}

 

A=\cfrac{(10+8)\cdot 6}{2}=54\, \textup{cm}

 

 

 

4   Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:

 

representación gráfica de un trapecio isosceles

 

5^{2}=h^{2}+3^{2}

 

h=\sqrt{16}=4\, \textup{cm}

 

P=2\cdot 5+4+10=24\, \textup{cm}

 

A=\cfrac{(10+4)\cdot 4}{2}=28\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

5   Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:

 

Triangulo equilátero representación gráfica

 

10^{2}=h^{2}+5^{2}

 

h=\sqrt{100-25}=8,66\, \textup{cm}

 

P=3\cdot 10=30\, \textup{cm}

 

A=\cfrac{10\cdot 8,66}{2}=43,30\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

6   Hallar el perímetro y el área del pentágono regular:

 

Pentagono regular representación gráfica

 

5^{2}=a^{2}+3^{2}

 

a=\sqrt{16}=4\, \textup{cm}

 

P=6\cdot 5=30\, \textup{cm}

 

A=\cfrac{30\cdot 4}{2}=60\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

7   Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

 

Hexágono inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

I=r=4

 

a=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=3,46\, \textup{cm}

 

A=\cfrac{6\cdot 4\cdot 2,46}{2}=41,52\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

8   Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

 

Cuadrado inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

I=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=7,07

 

A=7,07^{2}=50\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

9   Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

 

r=\cfrac{2\cdot h}{3}\; \Rightarrow \; 6=\cfrac{2\cdot h}{3}\; \Rightarrow \; h=9\, \textup{cm}

 

Triangulo inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

l^{2}=h^{2}+\left ( \cfrac{l}{2} \right )^{2}\; \Rightarrow \; h^{2}=\cfrac{3l^{2}}{4}

 

l^{2}=\cfrac{2h}{\sqrt{3}}\; \Rightarrow \; h^{2}=\cfrac{3l^{2}}{4}

 

A=\cfrac{10,39\cdot 9}{2}=46,77\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

10   Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18,84 cm.

 

El cuadrado inscrito representación gráfica

 

18,84=2\pi \cdot r\; \Rightarrow \; r=\cfrac{18,84}{2\pi }=3\, \textup{cm}

 

l=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}

 

A=\left ( \sqrt{18} \right )^{2}=18\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

11   En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en
este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

 

figuras inscritas repetidamente representación gráfica

 

 

 

 

 

\textup{lado}_{\square }=2R

 

Diámetro=Diagonal del segundo cuadrado

 

2^{2}=l_{2}^{2}+l_{2}^{2}\; \Rightarrow\; 4=2l_{2}^{2}\; \Rightarrow \; l_{2}=\sqrt{2}

 

r_{2}=\cfrac{l_{2}}{2}\; \Rightarrow \; r_{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\, \textup{cm}

 

A_{\square }=(\sqrt{2})^{2}=2\, \textup{cm}^{2}                    A_{\bigcirc }=\pi \cdot \left ( \cfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=1,57\, \textup{cm}^{2}

 

A=2-1,57=0,43\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

12   El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m
respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

 

Figura geométrica : trapecio representación gráfica

 

110=40+30+2l\; \Rightarrow \; l=20\, \textup{m}

 

h=\sqrt{20^{2}-5^{2}}=19,36\, \textup{m}

 

A=\cfrac{(40+30)\cdot 19,36}{2}=677,77\, \textup{m}^{2}

 

 

 

13   Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un
triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura
del triángulo, calcular el área del trapecio.

 

Trapecio inscrito en un triangulo representación gráfica

 

h_{triangulo}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=5,20\, \textup{cm}

 

h_{trapecio}=\cfrac{h_{triangulo}}{2}=\cfrac{5,20}{2}=2,60\, \textup{cm}

 

A_{trapecio}=\cfrac{(6+3)\cdot 2,60}{2}=11,70\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

14   El área de un cuadrado es 2304 cm².

Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

 

Hexágono inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2304=l_{c}^{2}\; \Rightarrow \; l_{c}=\sqrt{2304}=48\, \textup{cm}

 

P_{c}=4\cdot 48=192\, \textup{cm}

 

192=6\cdot l\; \Rightarrow \; l=32\, \textup{cm}

 

a=\sqrt{32^{2}-16^{2}}=27,71\, \textup{cm}

 

A=\cfrac{192\cdot 27,71}{2}=2.660,43\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

15   En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados
de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros.

Hallar el área de la estrella así formada.

 

Figura geométrica : estrella representación gráfica

 

8^{2}=l_{\square }^{2}+l_{\square }^{2}\; \Rightarrow \; 64=2l_{\square }^{2}\; \Rightarrow \; l_{\square }^{2}=\sqrt{32}\, \textup{cm}

 

h_{\bigtriangleup }=\sqrt{l^{2}-\left (\cfrac{l}{2} \right )^{2}}\; \Rightarrow \; h_{\bigtriangleup }=\sqrt{32-\cfrac{32}{4}}=\sqrt{24}\, \textup{cm}

 

A_{\square }=\left ( \sqrt{32} \right )^{2}=32\, \textup{cm}^{2}                    A_{\triangle }=\cfrac{\sqrt{32}\cdot \sqrt{24}}{2}=13,86\, \textup{cm}^{2}

 

A=A_{\square }+4A_{\bigtriangleup }=32+4\cdot 13,86=87,43\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

16   A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le
circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

 

Corona formada por un hexágono y 2 círculos representación gráfica

 

R=l=4\, \textup{cm}

 

r=a=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}\, \textup{cm}

 

A=\pi \left [ 4^{2}-\left ( \sqrt{12} \right )^{2} \right ]=4\cdot \pi =12,567\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

17   En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro.

Calcular el área del círculo.

 

Cuerda del circulo representación gráfica

 

r=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25

 

A=\pi \cdot 25^{2}=1.963,50\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

18   Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22,2 cm y 29,6 cm
respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

 

Triangulo inscrito en una circunferencia con hipotenusa como diametro representación gráfica

 

d=\sqrt{22,2^{2}+29,6^{2}}=37\, \textup{cm}^{2}

 

r=\cfrac{37}{2}=18,5\, \textup{cm}

 

A=\pi \cdot 18,5^{2}=1.075,21\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

19   Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

 

Semi corona con circunferencia inscrita representación gráfica

 

\textup{Diagonal}_{\square }=2R

 

D=8\, \textup{cm}\; \Rightarrow \; R=4\, \textup{cm}

 

8^{2}=l^{2}+l^{2}\; \Rightarrow \; l=\sqrt{32}

 

r=\cfrac{l}{2}=\cfrac{\sqrt{32}}{2}\, \textup{cm}

 

A=\pi \cdot \left [ 4^{2}-\left ( \cfrac{\sqrt{32}}{2} \right )^{2} \right ]=\pi \cdot \left ( 16-\cfrac{\sqrt{32}}{2} \right )=25,13\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

20   Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60^{\circ}. Hallar el área del
segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su
arco correspondiente.

 

Triangulo equilátero inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

A_{sector}=\cfrac{\pi \cdot 4^{2}\cdot 60}{360}=8,38\, \textup{cm}^{2}

 

h=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=3,46\, \textup{cm}

 

A_{triangulo}=\cfrac{4\cdot 3,46}{2}=6,93\, \textup{cm}^{2}

 

A_{segmento}=8,38-6,93=1,45\, \textup{cm}^{2}

 

 

 

21   Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores
determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

 

El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

 

r=\cfrac{2\cdot h}{3}

 

Triangulo equilátero circunscrito en la circunferencia representación gráfica

 

h=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=5,17\, \textup{cm}

 

r=\cfrac{2}{3}\cdot 5,17=3,46\, \textup{cm}

 

A=\cfrac{\pi \cdot 3,46^{2}\cdot 120}{360}=12,57\, \textup{cm}

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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