Un triángulo equilátero tiene los tres lados y ángulos iguales.

 

triangulo equilatero

 

Perímetro de un triángulo equilátero

 

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados. Para un triángulo equilátero cuyos tres lados son iguales se tiene

 

P = 3 \cdot l

 

Ejemplo: Calcular el perímetro de un triángulo equilátero de 10 \, cm de lado.

 

Aplicando la fórmula del perímetro se obtiene

 

P = 3 \cdot 10 = 30 \, cm

 

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Altura de un triángulo equilátero

 

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la altura:

 

triangulo equilatero altura

 

h^2 = l^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 = \cfrac{3 l^2}{4}

 

Calculando las raíces se obtiene

 

h = \sqrt{\cfrac{3 l^2}{4}} = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \, l

 

Ejemplo: Calcular la altura de un triángulo equilátero de 10 \, cm de lado.

 

ejemplo altura de un triangulo equilatero

 

Aplicando la fórmula de la altura se obtiene

 

h = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 8.66 \, cm

 

Área de un triángulo equilátero

 

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura. Para un triángulo equilátero se tiene

 

A = \cfrac{\sqrt{3}}{4} \, l^2

 

Ejemplo: Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 \, cm de lado.

 

Aplicando la fórmula del área se obtiene

 

A = \cfrac{\sqrt{3}}{4} \, 10^2 = 43.3 \, cm^2

 

Ejemplo: El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 \, dm y la altura mide 25.95 \, cm. Calcula el área del triángulo.

 

triangulo equilatero ejemplo altura

 

Como el triángulo es equilátero, sus tres lados son iguales, entonces l = 0.3 \, dm

 

Como un decímetro es igual a cien centímetros, entonces l = 30 \, cm

 

Aplicamos la fórmula del área de un triángulo equilátero

 

A = \cfrac{\sqrt{3}}{4} \, 30^2 = 389.71 \, cm^2

 

Apotema del triángulo equilátero

 

apotema del triangulo equilatero

 

El Lado de un triángulo equilátero inscrito es:

 

l = \sqrt{3} \cdot r

 

Despejamos el radio

 

r = \cfrac{l}{\sqrt{3}}

 

Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

ap^2 = \left ( \cfrac{l}{\sqrt{3}} \right )^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 = \cfrac{l^2}{12}

 

Calculando la raíz cuadrada se obtiene

 

ap = \cfrac{l}{2\sqrt{3}} = \cfrac{\sqrt{3}}{6} \, l

 

Ejemplo: Calcular la apotema de un triángulo equilátero de 6 \, cm de lado.

 

ejemplo apotema triangulo equilatero

 

Aplicando la fórmula de la apotema se obtiene

 

ap = \cfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot 6 = 1.73 \, cm

 

Elementos notables del triángulo equilátero

 

elementos notables de un triangulo equilatero

 

En un triángulo equilátero coinciden el ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.

 

El centro de la circunferencia es el baricentro y la altura coincide con la mediana, por tanto el radio de la circunferencia circunscrita es igual a dos tercios de la altura.

 

r = \cfrac{2 \cdot h}{3}

 

Ejercicios

1Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 \, cm.

1Representamos gráficamente el problema

 

area de triangulo equilatero

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto r = \cfrac{2 h}{3} y se obtiene

 

6 = \cfrac{2 h}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 9 \, cm

 

3Para encontrar el área del triángulo requerimos conocer su base, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

l^2 = 9^2 + \cfrac{l^2}{4} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \cfrac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = 10.39 \, cm

 

4Para calcular su área, empleamos

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{10.39 \cdot 9}{2} = 46.76 \, cm^2

 

2Dado un triángulo equilátero de 6 \, m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1Representamos gráficamente el problema

 

area de triangulo equilatero ejemplo

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto r = \cfrac{2 h}{3}

 

3Para encontrar la altura del triángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras

 

h^2 = 6^2 - 3^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 5.17 \, m

 

4Calculamos el radio

 

r = \cfrac{2 \cdot 5.17}{3} = 3.46 \, m

 

5El área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices es

 

A = \cfrac{\pi \cdot 3.46^2 \cdot 120}{360} = 12.57 \, m^2

 

3Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 10 \, cm de radio.

1Representamos gráficamente el problema

 

lado de triangulo equilatero

 

2Consideramos el triángulo rectángulo de lado \cfrac{l}{2}, hipotenusa 10 y lado restante 5. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

\left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 = 10^2 - 5^2 = 75\ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 2 \sqrt{75} = 17.32 \, cm

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗