Resuelve los siguientes problemas:

1Hallar el área de la siguiente figura:
Area de un poligono irregular

El área pedida es de cm².

En primer lugar calculamos las medidas que faltan, para poder triangular la figura:

Pasos para calcular el area de un poligono irregular

Ahora distinguimos los tres triángulos que podemos apreciar y el rectángulo central y hallamos el área de cada uno de ellos. El área total será igual a la suma de todas ellas.

Division de un poligono irregular en figuras regulares

Recordemos que el área de un triángulo es (Base\times Altura)/2 y el área de una rectángulo es (Base\times Altura).

A_{T_{1}}=\cfrac{1\cdot(3.5)}{2}=1.75cm^{2}

A_{R}=4\cdot 7=28cm^{2}

A_{T_{2}}=\cfrac{2\cdot 2}{2}=2cm^{2}

A_{T_{1}}=\cfrac{2\cdot 4}{2}=4cm^{2}

A_{Total}=1.75+28+2+4=35.75cm^{2}

2Hallar el área de la siguiente figura.
Hallar el area

 cm²

Podemos dividir la figura en un triángulo de base 3 y altura 3, más un romboide de base 3 y altura 4. Así calculamos las áreas del triángulo y del romboide para luego sumarlas y obtener el área total.

A_{Romboide}=3\cdot 4=12cm^{2}. El área de un romboide es (Base\times Altura)[\latex].  [latex]A_{Triángulo}=\cfrac{3\cdot 3}{2}=4.5cm^{2}. El área de un triángulo es (Base\times Altura)/2

A_{Total}=12+4.5=16.5cm^{2}

3Queremos pintar la parte de la fachada y chimenea de la casa que se observa en la imagen. Sabemos que el área de la fachada incluyendo la puerta y las ventanas es de 55m², y que la chimenea se compone de un rectángulo de 0.4m por 0.3m más un triángulo. Un bote de 1 Kg de pintura cuesta 3 €. Sabiendo que con 1 Kg de pintura se pintan aproximadamente 8 m² y el bote más pequeño que venden de pintura es el de 1 Kg, ¿cuánto nos costará la pintura necesaria?.

Calcular el área de una superficie

En primer lugar calculamos el área de la zona que vamos a pintar.

A_{total}=A_{fachada}-A_{ventanas}-A_{puerta}+A_{chimenea}

A_{fachada}=55m^{2}

Ya que tenemos dos ventanas cuadradas, entonces

A_{ventanas}= 2 \cdot 0.6^{2}=0.72m^{2}

Como la puerta es rectangular, entonces

A_{puerta}= 0.9 \cdot 2 = 1.8m^{2}

La chimenea se compone de un rectángulo y un triángulo, entonces

\displaystyle A_{chimenea}=A_{rectangulo}+ A_{triangulo}=

0.3 \cdot 0.4 + \frac{0.2 \cdot 0.3}{2}=0.12 + 0.03 =0.15m^{2}

Al realizar la suma y resta de áreas correspondientes tenemos que

A_{total}=55-0.72 -1.8+0.15=52.63m^{2}

 

Como con 1 Kg de pintura se pintan 8 m², entonces necesitaremos

(52.63)/8=6.58kg

Como lo mínimo que podemos comprar es 1 Kg nos hacen falta 7 Kg.

Nos costará 7\cdot3 = 21

4Halla el área de un pentágono regular de 8 cm de lado y 5 cm de radio.
Área de un pentágono

cm²

Y el área de un octógono regular de 8 cm de lado y 6 cm de apotema.
Área de un octógono

cm²

Recordemos que el área de un polígono regular es A=\cfrac{n\cdot l\cdot a}{2}, donde n es el número de lados, l la longitud de un lado y a es el apotema, el cual se define como el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. En nuestro caso un pentágono es un polígono regular de 5 lados y un octógono es un polígono regular de 8 lados. Así que utilizaremos la fórmula anterior para calcular sus áreas.

Área del pentágono

Primero debemos hallar la medida del apotema. Esto lo hacemos hayan la altura de un triángulo isosceles de dos lados de 5cm y uno de 8cm. Para hallar la altura utilizamos el teorema de Pitagoras.

a=\sqrt{5^{2}-\frac{8}{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3cm

n=5

l=8

A_{Pentágono}=\cfrac{n\cdot l\cdot a}{2}=\cfrac{5\cdot 8\cdot 3}{2}=\cfrac{40\cdot 3}{2}=60cm^{2}.

Área del octógono

En el caso del octógono ya nos estan dando el valor del apotema, el cual es a=6cm. Ya que el octógono tiene 8 lados que miden 8cm., entonces

A_{octógono}=\cfrac{n\cdot l\cdot a}{2}=\cfrac{8\cdot 8\cdot 6}{2}=\cfrac{64\cdot 6}{2}=\cfrac{384}{2}=192cm^{2}.

5¿Cuál es el área de un dodecágono regular de 5 cm de lado y apotema 9.3 cm?
Área de un decágono

cm²

Ya que un dodecágono es un polígono regular de 12 lados, hallaremos su área utilizando la siguiente fórmula A=\cfrac{n\cdot l\cdot a}{2}, donde n es el número de lados, l la longitud de un lado y a es el apotema, el cual se define como el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. Ya que el apotema vale 9.3cm y un lado mide 5cm, entonces

A_{Dodecágono}=\cfrac{n\cdot l\cdot a}{2}=\cfrac{12\cdot 5\cdot 9.3}{2}=\cfrac{558}{2}=279cm^{2}.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗