Elementos notables de un triángulo
Alturas de un triángulo
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
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Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.
Ejercicios propuestos
Para el triángulo con vértices encontrar:
1las alturas
1 Buscamos la ecuación de la altura que pasa por el vértice
y el lado opuesto a este.
Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la altura es
La altura tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es
2 Buscamos la ecuación de la altura que pasa por el vértice
y el lado opuesto a este.
Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la altura es
La altura tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es
3 Buscamos la ecuación de la altura que pasa por el vértice
y el lado opuesto a este.
Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la altura es
La altura tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es
2el ortocentro
1 Buscamos la intersección de las alturas para lo cual multiplicamos por 7 la primera altura y sumamos la segunda altura para obtener la segunda coordenada del ortocentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del ortocentro en la ecuación de la primera altura y despejamos para obtener la primera coordenada del ortocentro
3 Verificamos que el ortocentro pertenece a la altura
la igualdad se satisface por lo que el ortocentro es la intersección de las tres alturas
3las medianas
1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo
El punto medio del lado
es
El punto medio del lado
es
El punto medio del lado
es
2 Buscamos la ecuación de la mediana que pasa por el vértice
y el punto medio del lado opuesto a este
Calculamos la pendiente que pasa por y
La mediana tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediana es
3 Buscamos la ecuación de la mediana que pasa por el vértice
y el punto medio del lado opuesto a este
Calculamos la pendiente que pasa por y
La mediana tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediana es
4 Buscamos la ecuación de la mediana que pasa por el vértice
y el punto medio del lado opuesto a este
Calculamos la pendiente que pasa por y
La mediana tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediana es
4el baricentro
1 Buscamos la intersección de las medianas para lo cual multiplicamos por
la primera mediana, por
la segunda mediana y sumamos ambas medianas para obtener la segunda coordenada del baricentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del baricentro en la ecuación de la segunda mediana y despejamos para obtener la primera coordenada del baricentro
3 Verificamos que el baricentro pertenece a la mediana
la igualdad se satisface por lo que el baricentro es la intersección de las tres medianas
5las mediatrices
1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo
El punto medio del lado
es
El punto medio del lado
es
El punto medio del lado
es
2 Buscamos la ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de
y es perpendicular a este.
Calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la mediatriz es
La mediatriz tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediatriz es
3 Buscamos la ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de
y es perpendicular a este.
Calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la mediatriz es
La mediatriz tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediatriz es
4 Buscamos la ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de
y es perpendicular a este.
Calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la mediatriz es
La mediatriz tiene pendiente
y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es
6el circuncentro
1 Buscamos la intersección de las mediatrices para lo cual multiplicamos por
la primera mediatriz y sumamos ambas mediatrices para obtener la segunda coordenada del circuncentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del circuncentro en la ecuación de la segunda mediatriz y despejamos para obtener la primera coordenada del circuncentro
3 Verificamos que el circuncentro pertenece a la mediatriz
7x + 5y - 3
la igualdad se satisface por lo que el circuncentro es la intersección de las tres mediatrices
7las bisectrices
1 Para encontrar la ecuación de una bisectriz, basta igualar la distancia de los puntos de la bisectriz con los lados del ángulo en cuestión, esto es, si los lados que forman el ángulos son
entonces la bisectriz se obtiene de
2 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados
y
. Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:
la recta
la ecuación es
la recta
la ecuación es
Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz
Así, la ecuación de la bisectriz es
3 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados
y
. Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:
la recta
la ecuación es
la recta
la ecuación es
Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz
Así, la ecuación de la bisectriz es
4 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados
y
. Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:
la recta
la ecuación es
la recta
la ecuación es
Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz
Así, la ecuación de la bisectriz es
8el incentro
1 Buscamos la intersección de las bisectrices para lo cual multiplicamos por
la primera bisectriz, por
y sumamos ambas bisectrices para obtener la segunda coordenada del incentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del incentro en la ecuación de la primera bisectriz y despejamos para obtener la primera coordenada del incentro
9la recta de Euler
1 Buscamos la recta que pasa por el ortocentro , el baricentro
y el circuncentro
2Calculamos la pendiente para el ortocentro y el baricentro
La recta de Euler tiene pendiente y pasa por el punto
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la recta de Euler es
10Verifica que el incentro no pertenece a la recta de Euler
1 Basta sustituir el incentro en la ecuación de la recta de Euler y verificar que no la satisface]
Sustituimos
Como el incentro no satisface la ecuación de la recta de Euler, entonces concluimos que el incentro no se encuentra sobre la recta de Euler.
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