Name: Elementos notables de un triangulo
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Temas

Elementos notables de un triángulo
Ejercicios propuestos

Elementos notables de un triángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

$BG = 2 \overline{GA}$

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Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Ejercicios propuestos

Para el triángulo con vértices $A(5,1), B(-3,2), C(-2,-4)$ encontrar:

1las alturas

alturas

1 Buscamos la ecuación de la altura $h_1$ que pasa por el vértice $A$ y el lado opuesto a este.

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente $m_{1}$ del lado $BC$

$m_1 = \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} = -6$

La pendiente $m_{1'}$ de la altura es

$m_{1'} = -\cfrac{1}{m_1} = \cfrac{1}{6}$

La altura $h_1$ tiene pendiente $m_{1'}$ y pasa por el punto $A$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{1}{6}(x - 5) \\\\ 6y - 6 & = & x - 5 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $h_1$ es $-x + 6y - 1 = 0$

2 Buscamos la ecuación de la altura $h_2$ que pasa por el vértice $B$ y el lado opuesto a este.

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente $m_{2}$ del lado $AC$

$m_2 = \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} = \cfrac{5}{7}$

La pendiente $m_{2'}$ de la altura es

$m_{2'} = -\cfrac{1}{m_2} = -\cfrac{7}{5}$

La altura $h_2$ tiene pendiente $m_{2'}$ y pasa por el punto $B$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & -\cfrac{7}{5}(x + 3) \\\\ 5y - 10 & = & -7x - 21 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $h_2$ es $7x + 5y + 11 = 0$

3 Buscamos la ecuación de la altura $h_3$ que pasa por el vértice $C$ y el lado opuesto a este.

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente $m_{3}$ del lado $AB$

$m_3 = \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} = -\cfrac{1}{8}$

La pendiente $m_{3'}$ de la altura es

$m_{3'} = -\cfrac{1}{m_3} = 8$

La altura $h_3$ tiene pendiente $m_{3'}$ y pasa por el punto $C$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + 4 & = & 8(x + 2) \\\\ y + 2 & = & 8x + 16 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $h_3$ es $-8x + y - 12 = 0$

2el ortocentro

1 Buscamos la intersección de las alturas $h_1, h_2$ para lo cual multiplicamos por 7 la primera altura y sumamos la segunda altura para obtener la segunda coordenada del ortocentro

$\begin{array}{rcl} -7x + 42y - 7 & = & 0 \\ 7x + 5y + 11 & = & 0 \\ \hline 47y + 4 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{4}{47} \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del ortocentro en la ecuación de la primera altura y despejamos para obtener la primera coordenada del ortocentro

$\begin{array}{rcl} -x + 6 \cdot \left( -\cfrac{4}{47} \right) - 1 & = & 0 \\\\ x & = & -\cfrac{71}{47} \end{array}$

3 Verificamos que el ortocentro pertenece a la altura $h_3$

$-8 \left( -\cfrac{71}{47} \right) + \left( -\cfrac{4}{47} \right) - 12 = 0$

la igualdad se satisface por lo que el ortocentro $H=\left( -\cfrac{71}{47}, -\cfrac{4}{47} \right)$ es la intersección de las tres alturas

3las medianas

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

El punto medio $PM_1$ del lado $\overline{AB}$ es

$PM_1 = \left( \cfrac{5 - 3}{2}, \cfrac{1 + 2}{2} \right) = \left( 1, \cfrac{3}{2} \right)$

El punto medio $PM_2$ del lado $\overline{BC}$ es

$PM_2 = \left( \cfrac{-3 - 2}{2}, \cfrac{2 - 4}{2} \right) = \left( -\cfrac{5}{2}, -1\right)$

El punto medio $PM_3$ del lado $\overline{AC}$ es

$PM_3 = \left( \cfrac{5 - 2}{2}, \cfrac{1 - 4}{2} \right) = \left( \cfrac{3}{2}, -\cfrac{3}{2} \right)$

2 Buscamos la ecuación de la mediana $M_A$ que pasa por el vértice $A$ y el punto medio del lado opuesto a este

Calculamos la pendiente que pasa por $A$ y $PM_2$

$m_A = \cfrac{1 + 1}{5 + \cfrac{5}{2}} = \cfrac{4}{15}$

La mediana $M_A$ tiene pendiente $m_{A}$ y pasa por el punto $A$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{4}{15}(x - 5) \\\\ 15y - 15 & = & 4x - 20 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediana $M_A$ es $4x - 15y - 5 = 0$

3 Buscamos la ecuación de la mediana $M_B$ que pasa por el vértice $B$ y el punto medio del lado opuesto a este

Calculamos la pendiente que pasa por $B$ y $PM_3$

$m_B = \cfrac{2 + \cfrac{3}{2}}{-3 - \cfrac{3}{2}} = -\cfrac{7}{9}$

La mediana $M_B$ tiene pendiente $m_{B}$ y pasa por el punto $B$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & -\cfrac{7}{9}(x + 3) \\\\ 9y - 18 & = & -7x - 21 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediana $M_B$ es $7x + 9y + 3 = 0$

4 Buscamos la ecuación de la mediana $M_C$ que pasa por el vértice $C$ y el punto medio del lado opuesto a este

Calculamos la pendiente que pasa por $C$ y $PM_1$

$m_C = \cfrac{-4 - \cfrac{3}{2}}{-2 - 1} = \cfrac{11}{6}$

La mediana $M_C$ tiene pendiente $m_{C}$ y pasa por el punto $C$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + 4 & = & \cfrac{11}{6}(x + 2) \\\\ 6y + 24 & = & 11x + 22 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediana $M_C$ es $11x - 6y - 2 = 0$

4el baricentro

1 Buscamos la intersección de las medianas $M_A, M_B$ para lo cual multiplicamos por $-7$ la primera mediana, por $4$ la segunda mediana y sumamos ambas medianas para obtener la segunda coordenada del baricentro

$\begin{array}{rcl} -28x + 105y + 35 & = & 0 \\ 28x + 36y + 12 & = & 0 \\ \hline 141y + 47 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{47}{141} \\ y & = & -\cfrac{1}{3} \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del baricentro en la ecuación de la segunda mediana y despejamos para obtener la primera coordenada del baricentro

$\begin{array}{rcl} 7x + 9 \cdot \left( -\cfrac{1}{3} \right) + 3 & = & 0 \\\\ x & = & 0 \end{array}$

3 Verificamos que el baricentro pertenece a la mediana $M_C$

$11 \left( 0 \right) - 6 \left( -\cfrac{1}{3} \right) - 2 = 0$

la igualdad se satisface por lo que el baricentro $G = \left( 0, -\cfrac{1}{3} \right)$ es la intersección de las tres medianas

5las mediatrices

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

El punto medio $PM_1$ del lado $\overline{AB}$ es

$PM_1 = \left( \cfrac{5 - 3}{2}, \cfrac{1 + 2}{2} \right) = \left( 1, \cfrac{3}{2} \right)$

El punto medio $PM_2$ del lado $\overline{BC}$ es

$PM_2 = \left( \cfrac{-3 - 2}{2}, \cfrac{2 - 4}{2} \right) = \left( -\cfrac{5}{2}, -1\right)$

El punto medio $PM_3$ del lado $\overline{AC}$ es

$PM_3 = \left( \cfrac{5 - 2}{2}, \cfrac{1 - 4}{2} \right) = \left( \cfrac{3}{2}, -\cfrac{3}{2} \right)$

2 Buscamos la ecuación de la mediatriz $M_{BC}$ que pasa por el punto medio de $\overline{BC}$ y es perpendicular a este.

Calculamos la pendiente $m$ del lado $\overline{BC}$

$m = \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} = -6$

La pendiente $m'$ de la mediatriz es

$m' = -\cfrac{1}{m} = \cfrac{1}{6}$

La mediatriz $M_{BC}$ tiene pendiente $m$ y pasa por el punto $PM_2$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + 1 & = & \cfrac{1}{6} \left(x + \cfrac{5}{2} \right) \\\\ 6y + 6 & = & x + \cfrac{5}{2} \end{array}$

Así, la ecuación de la mediatriz $M_{BC}$ es $2x - 12y - 7 = 0$

3 Buscamos la ecuación de la mediatriz $M_{AC}$ que pasa por el punto medio de $\overline{AC}$ y es perpendicular a este.

Calculamos la pendiente $m$ del lado $\overline{AC}$

$m = \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} = \cfrac{5}{7}$

La pendiente $m'$ de la mediatriz es

$m' = -\cfrac{1}{m} = -\cfrac{7}{5}$

La mediatriz $M_{AC}$ tiene pendiente $m'$ y pasa por el punto $PM_3$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + \cfrac{3}{2} & = & -\cfrac{7}{5} \left(x - \cfrac{3}{2} \right) \\\\ 10y + 15 & = & -14x + 21 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediatriz $M_{AC}$ es $7x + 5y - 3 = 0$

4 Buscamos la ecuación de la mediatriz $M_{AB}$ que pasa por el punto medio de $\overline{AB}$ y es perpendicular a este.

Calculamos la pendiente $m$ del lado $\overline{AB}$

$m = \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} = -\cfrac{1}{8}$

La pendiente $m'$ de la mediatriz es

$m' = -\cfrac{1}{m} = 8$

La mediatriz $M_{AB}$ tiene pendiente $m'$ y pasa por el punto $PM_1$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - \cfrac{3}{2} & = & 8(x - 1) \\\\ 2y - 3 & = & 16x - 16 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $M_{AB}$ es $16x - 2y - 13 = 0$

6el circuncentro

1 Buscamos la intersección de las mediatrices $M_{BC}, M_{AB}$ para lo cual multiplicamos por $-8$ la primera mediatriz y sumamos ambas mediatrices para obtener la segunda coordenada del circuncentro

$\begin{array}{rcl} -16x + 96y + 56 & = & 0 \\ 16x - 2y - 13 & = & 0 \\ \hline 94y + 43 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{43}{94} \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del circuncentro en la ecuación de la segunda mediatriz y despejamos para obtener la primera coordenada del circuncentro

$\begin{array}{rcl} 16x + 9 \cdot \left( -\cfrac{43}{94} \right) - 13 & = & 0 \\\\ x & = & \cfrac{71}{94} \end{array}$

3 Verificamos que el circuncentro pertenece a la mediatriz $M_{AC}$

7x + 5y - 3

$7 \left( \cfrac{71}{94} \right) + 5 \left( -\cfrac{43}{94} \right) - 3 = 0$

la igualdad se satisface por lo que el circuncentro $O = \left( \cfrac{71}{94}, -\cfrac{43}{94} \right)$ es la intersección de las tres mediatrices

7las bisectrices

1 Para encontrar la ecuación de una bisectriz, basta igualar la distancia de los puntos de la bisectriz con los lados del ángulo en cuestión, esto es, si los lados que forman el ángulos son

$Ax + By + C = 0, \ \ A'x + B'y + C' = 0$

entonces la bisectriz se obtiene de

$\cfrac{Ax + By + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \pm \cfrac{A'x + B'y + C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}}$

2 Buscamos la ecuación de la bisectriz de $A$ para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

la recta $\overline{AB}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 8y - 8 & = & -x + 5 \end{array}$

la ecuación es

$x + 8y - 13 = 0$

la recta $\overline{AC}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 7y - 7 & = & 5x - 25 \end{array}$

la ecuación es

$5x - 7y - 18 = 0$

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

$\cfrac{x + 8y - 13}{\sqrt{1^2 + 8^2}} = \pm \cfrac{5x - 7y - 18}{\sqrt{5^2 + 7^2}}$

Así, la ecuación de la bisectriz $B_A$ es

$\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} = 0$

3 Buscamos la ecuación de la bisectriz de $B$ para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

la recta $\overline{AB}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 8y - 8 & = & -x + 5 \end{array}$

la ecuación es

$x + 8y - 13 = 0$

la recta $\overline{BC}$

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} \left(x + 3 \right) \\\\ y - 2 & = & -6x - 18 \end{array}$

la ecuación es

$6x + y + 16 = 0$

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

$\cfrac{x + 8y - 13}{\sqrt{1^2 + 8^2}} = \pm \cfrac{6x + y + 16}{\sqrt{6^2 + 1^2}}$

Así, la ecuación de la bisectriz $B_B$ es

$\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} = 0$

4 Buscamos la ecuación de la bisectriz de $C$ para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

la recta $\overline{AC}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 7y - 7 & = & 5x - 25 \end{array}$

la ecuación es

$5x - 7y - 18 = 0$

la recta $\overline{BC}$

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} \left(x + 3 \right) \\\\ y - 2 & = & -6x - 18 \end{array}$

la ecuación es

$6x + y + 16 = 0$

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

$\cfrac{5x - 7y - 18}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \pm \cfrac{6x + y + 16}{\sqrt{6^2 + 1^2}}$

Así, la ecuación de la bisectriz $B_B$ es

$\left( \cfrac{5}{\sqrt{74}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( -\cfrac{7}{\sqrt{74}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{18}{\sqrt{74}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} = 0$

8el incentro

1 Buscamos la intersección de las bisectrices $B_A, B_B$ para lo cual multiplicamos por $\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right)$ la primera bisectriz, por $\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right)$ y sumamos ambas bisectrices para obtener la segunda coordenada del incentro

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) \left[\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} \right] & = & 0 \\\\ \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) \left[ \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} \right] & = & 0 \\ \hline y & = & -0.39 \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del incentro en la ecuación de la primera bisectriz y despejamos para obtener la primera coordenada del incentro

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) (-0.39) - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} & = & 0 \\\\ x & = & -0.49 \end{array}$

9la recta de Euler

1 Buscamos la recta que pasa por el ortocentro $H = \left( -\cfrac{71}{47}, -\cfrac{4}{47} \right)$ , el baricentro $G = \left( 0, -\cfrac{1}{3} \right)$ y el circuncentro $O = \left( \cfrac{71}{94}, -\cfrac{43}{94} \right)$

2Calculamos la pendiente $m$ para el ortocentro y el baricentro

$m = \cfrac{-\cfrac{1}{3} + \cfrac{4}{47}}{0 + \cfrac{71}{47}} = -\cfrac{35}{213}$

La recta de Euler tiene pendiente $m$ y pasa por el punto $G$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + \cfrac{1}{3} & = & -\cfrac{35}{213} x \\\\ 213y + 71 & = & -35x \end{array}$

Así, la ecuación de la recta de Euler es $35x + 213y + 71 = 0$

10Verifica que el incentro no pertenece a la recta de Euler

1 Basta sustituir el incentro $I = ( -0.49, -0.39)$ en la ecuación de la recta de Euler y verificar que no la satisface]

$35x + 213y + 71 = 0$

Sustituimos

$35(-0.49) + 213(-0.39) + 71 \neq 0$

Como el incentro no satisface la ecuación de la recta de Euler, entonces concluimos que el incentro no se encuentra sobre la recta de Euler.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de polígonos

Resumen de areas de los poligonos

Diferencia entre circunferencia y circulo

Resumen de figuras geométricas planas

Teoría

Area y perimetro: trapecio, triangulo, poligono

Todo sobre los planos

Segmentos

Bisectriz

Clasificacion de poligonos regulares

Polígono inscrito

Ángulos de un polígono regular

Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triangulo

Cuadriláteros

Circunferencia

Círculo

Angulos en la circunferencia

Áreas

Lúnula de Hipócrates

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

Poligonos regulares

Clases de triángulos

Ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro

Circunferencia y círculo

Poligonos estrellados

Teorema de Tales de Mileto

Semejanza de triangulos

Clasificacion de poligonos según sus lados

Paralelogramo

Polígonos circunscritos

Polígonos irregulares

Puntos

Rectas

Segmento

Hexágono regular

Dibujos de cuerpos geométricos

Operaciones con angulos

Clasificación de ángulos

Clasificacion de poligonos

Aplicaciones de teorema de Pitagoras, del cateto y de la altura

Tipos de triangulos

Area y perimetro del cuadrado, rectangulo, rombo, romboide

Criterios de semejanza de triangulos

Elementos de un poligono

Pentagono regular

Teorema de la altura

Angulos del triangulo

Triangulos

Rombo y romboide

Bisectriz de un angulo

Perimetro

Posiciones relativas de circunferencias

Puntos y rectas

Semejanza de poligonos

Aplicaciones del teorema de Pitágoras I: Diagonal del cuadrado y del rectángulo

Aplicaciones del teorema de Pitagoras II: Altura del triangulo equilatero y el trapecio isosceles

Aplicaciones del teorema de Pitagoras III: Apotema del poligono y del hexagono

Mediatriz de un segmento

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras IV: Lado de un Triángulo Equilátero y de un Cuadrado

Fórmulas

Altura de un polígono

Ángulos de un polígono

Corona circular

Cuadrado

Medianas de un triángulo

Area, perimetro, y diagonal del rectángulos

Romboides

Segmento circular

Trapecio

Poligonos inscritos

Area y perimetro de un triangulo

¿Cómo calcular apotemas?

Formulas del teorema de Thales y semejanza de triangulos

Area y perimetro de los poligonos

Triangulo equilatero

Elementos de la circunferencia

Caracteristicas del Trapecio circular

Diagonales

Rombos

Formulas del teorema de Pitagoras

Sector circular

Triangulo rectangulo

Triangulos en posicion de Thales

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos del area del cuadrado y rectangulo

Ejercicios interactivos: area del rombo y del romboide

Ejercicios interactivos de puntos y rectas y semirrectas

Ejercicios interactivos de planos y rectas

Ejercicios interactivos de segmentos

Ejercicios interactivos de ángulos

Ejercicios interactivos de operaciones con angulos

Ejercicios interactivos de tipos de ángulos

Ejercicios interactivos de la bisectrz

Ejercicios interactivos de los elementos de un polígono

Ejercicios interactivos de los ángulos de un polígono regular

Ejercicios interactivos de polígonos inscritos y circunscritos

Ejercicios triangulos Parte II

Ejercicios interactivos de cuadriláteros

Ejercicios interactivos de la circunferencia y el círculo

Ejercicios interactivos de posiciones relativas de circunferencias

Ejercicios interactivos del area del circulo

Ejercicios interactivos de elementos notables de un triangulo

Ejercicios interactivos de la altura del triángulo equilátero y el trapecio isósceles

Ejercicios interactivos del lado de un triángulo equilátero y de un cuadrado

Ejercicios interactivos de Polígonos

Ejercicios interactivos de polígonos regulares I

Ejercicios interactivos de polígonos regulares II

Ejercicios interactivos de circunferencia y círculo

Ejercicios interactivos de semejanza

Ejercicios interactivos del Teorema de Pitagoras

Ejercicios interactivos del teorema de Thales

Ejercicios interactivos y problemas de triangulos I

Ejercicios de mediatriz y bisectriz, altura, mediana

Ejercicio tipo test de semejanza y congruencia de triangulos

Ejercicios interactivos: angulos en la circunferencia

Ejercicios interactivos del área de un polígono

Ejercicios interactivos del area del trapecio y del triangulo

Ejercicios interactivos: teorema del cateto

Ejercicios interactivos: teorema de la altura

Polígonos semejantes : Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de criterios de semejanza de triángulos rectángulos

Ejercicios interactivos de semejanza de triangulos

Ejercicios interactivos de la apotema de un poligono y del hexagono

Ejercicios interactivos de triángulos

Ejercicios interactivos del círculo

Ejercicios interactivos de la diagonal del cuadrado y del rectangulo

Ejercicios interactivos del poligono regular

Otros ejercicios

Problemas del teorema de Pitágoras II

Problemas y ejercicios de la circunferencia y el circulo

Problemas y ejercicios de la circunferencia y el circulo II

Problemas de areas III

Problemas de areas de poligonos

Problemas de areas

Problemas del area de un poligono

Problemas de triangulos

Problemas del teorema de Pitagoras

Problemas de areas II

Problemas de la circunferencia y el circulo

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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