Elementos notables de un triángulo
Alturas de un triángulo
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
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Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.
Ejercicios propuestos
Para el triángulo con vértices 
encontrar:
las alturas
1 Buscamos la ecuación de la altura 
que pasa por el vértice 
y el lado opuesto a este.
Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente 
del lado 
La pendiente 
de la altura es
La altura tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es 
2 Buscamos la ecuación de la altura 
que pasa por el vértice 
y el lado opuesto a este.
Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente 
del lado 
La pendiente 
de la altura es
La altura tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es 
3 Buscamos la ecuación de la altura 
que pasa por el vértice 
y el lado opuesto a este.
Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente 
del lado 
La pendiente 
de la altura es
La altura tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es 
el ortocentro
1 Buscamos la intersección de las alturas 
para lo cual multiplicamos por 7 la primera altura y sumamos la segunda altura para obtener la segunda coordenada del ortocentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del ortocentro en la ecuación de la primera altura y despejamos para obtener la primera coordenada del ortocentro
3 Verificamos que el ortocentro pertenece a la altura
la igualdad se satisface por lo que el ortocentro 
es la intersección de las tres alturas
las medianas
1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo
El punto medio 
del lado 
es
El punto medio 
del lado 
es
El punto medio 
del lado 
es
2 Buscamos la ecuación de la mediana 
que pasa por el vértice y el punto medio del lado opuesto a este
Calculamos la pendiente que pasa por y
La mediana tiene pendiente 
y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediana es 
3 Buscamos la ecuación de la mediana 
que pasa por el vértice y el punto medio del lado opuesto a este
Calculamos la pendiente que pasa por y
La mediana tiene pendiente 
y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediana es 
4 Buscamos la ecuación de la mediana 
que pasa por el vértice y el punto medio del lado opuesto a este
Calculamos la pendiente que pasa por y
La mediana tiene pendiente 
y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediana es 
el baricentro
1 Buscamos la intersección de las medianas 
para lo cual multiplicamos por 
la primera mediana, por 
la segunda mediana y sumamos ambas medianas para obtener la segunda coordenada del baricentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del baricentro en la ecuación de la segunda mediana y despejamos para obtener la primera coordenada del baricentro
3 Verificamos que el baricentro pertenece a la mediana
la igualdad se satisface por lo que el baricentro 
es la intersección de las tres medianas
las mediatrices
1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo
El punto medio del lado es
El punto medio del lado es
El punto medio del lado es
2 Buscamos la ecuación de la mediatriz 
que pasa por el punto medio de y es perpendicular a este.
Calculamos la pendiente 
del lado
La pendiente 
de la mediatriz es
La mediatriz tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediatriz es 
3 Buscamos la ecuación de la mediatriz 
que pasa por el punto medio de y es perpendicular a este.
Calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la mediatriz es
La mediatriz tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la mediatriz es 
4 Buscamos la ecuación de la mediatriz 
que pasa por el punto medio de y es perpendicular a este.
Calculamos la pendiente del lado
La pendiente de la mediatriz es
La mediatriz tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la altura es 
el circuncentro
1 Buscamos la intersección de las mediatrices 
para lo cual multiplicamos por 
la primera mediatriz y sumamos ambas mediatrices para obtener la segunda coordenada del circuncentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del circuncentro en la ecuación de la segunda mediatriz y despejamos para obtener la primera coordenada del circuncentro
3 Verificamos que el circuncentro pertenece a la mediatriz
7x + 5y - 3
la igualdad se satisface por lo que el circuncentro 
es la intersección de las tres mediatrices
las bisectrices
1 Para encontrar la ecuación de una bisectriz, basta igualar la distancia de los puntos de la bisectriz con los lados del ángulo en cuestión, esto es, si los lados que forman el ángulos son
entonces la bisectriz se obtiene de
2 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados y . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:
la recta
la ecuación es
la recta
la ecuación es
Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz
Así, la ecuación de la bisectriz 
es
3 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados y . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:
la recta
la ecuación es
la recta
la ecuación es
Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz
Así, la ecuación de la bisectriz 
es
4 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados y . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:
la recta
la ecuación es
la recta
la ecuación es
Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz
Así, la ecuación de la bisectriz es
el incentro
1 Buscamos la intersección de las bisectrices 
para lo cual multiplicamos por 
la primera bisectriz, por 
y sumamos ambas bisectrices para obtener la segunda coordenada del incentro
2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del incentro en la ecuación de la primera bisectriz y despejamos para obtener la primera coordenada del incentro
la recta de Euler
1 Buscamos la recta que pasa por el ortocentro 
, el baricentro y el circuncentro
2Calculamos la pendiente para el ortocentro y el baricentro
La recta de Euler tiene pendiente y pasa por el punto 
. Calculamos su ecuación
Así, la ecuación de la recta de Euler es 
Verifica que el incentro no pertenece a la recta de Euler
1 Basta sustituir el incentro 
en la ecuación de la recta de Euler y verificar que no la satisface]
Sustituimos
Como el incentro no satisface la ecuación de la recta de Euler, entonces concluimos que el incentro no se encuentra sobre la recta de Euler.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Buenas, realizo el ejercicio entero pero no me lo corrigen, si no pongo ningún número me poner como mal y si pongo las soluciones bien, directamente es que no me sale ni el cuadrito en verde ni mi puntuación final.
Hola una disculpa, estamos realizando cambios en la plataforma para corregir este tipo de errores.
En los ejercicios debeis poner más numeros y menos letras porque hay algunos ejercicios que es todo letras y no hai ni un número,debeis corregir eso pero el resto todo genial,Gracias
Hola entendemos tu confusión con este tipo de ejercicios, pero tenemos que ser diversos en cuanto al conocimiento ya que este tipo de ejercicios los necesitan estudiantes que profundizan en los temas, es por lo cual que ponemos ejercicios con números y ejercicios teóricos (con muchas letras), te gradecemos tu aportación.
todas me quedaron bien pero me califican 9.0
Hola que bueno que practicas en nuestra pagina, en cuanto el error que mencionas estamos restaurando la pagina para evitar estas situaciones por lo que te pedimos un poco de paciencia.