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Marta

17 marzo 2021

Temas

Elementos notables de un triángulo
Ejercicios propuestos

Elementos notables de un triángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

$BG = 2 \overline{GA}$

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Ejercicios propuestos

Para el triángulo con vértices $A(5,1), B(-3,2), C(-2,-4)$ encontrar:

1las alturas

alturas

1 Buscamos la ecuación de la altura $h_1$ que pasa por el vértice $A$ y el lado opuesto a este.

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente $m_{1}$ del lado $BC$

$m_1 = \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} = -6$

La pendiente $m_{1'}$ de la altura es

$m_{1'} = -\cfrac{1}{m_1} = \cfrac{1}{6}$

La altura $h_1$ tiene pendiente $m_{1'}$ y pasa por el punto $A$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{1}{6}(x - 5) \\\\ 6y - 6 & = & x - 5 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $h_1$ es $-x + 6y - 1 = 0$

2 Buscamos la ecuación de la altura $h_2$ que pasa por el vértice $B$ y el lado opuesto a este.

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente $m_{2}$ del lado $AC$

$m_2 = \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} = \cfrac{5}{7}$

La pendiente $m_{2'}$ de la altura es

$m_{2'} = -\cfrac{1}{m_2} = -\cfrac{7}{5}$

La altura $h_2$ tiene pendiente $m_{2'}$ y pasa por el punto $B$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & -\cfrac{7}{5}(x + 3) \\\\ 5y - 10 & = & -7x - 21 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $h_2$ es $7x + 5y + 11 = 0$

3 Buscamos la ecuación de la altura $h_3$ que pasa por el vértice $C$ y el lado opuesto a este.

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente $m_{3}$ del lado $AB$

$m_3 = \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} = -\cfrac{1}{8}$

La pendiente $m_{3'}$ de la altura es

$m_{3'} = -\cfrac{1}{m_3} = 8$

La altura $h_3$ tiene pendiente $m_{3'}$ y pasa por el punto $C$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + 4 & = & 8(x + 2) \\\\ y + 2 & = & 8x + 16 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $h_3$ es $-8x + y - 12 = 0$

2el ortocentro

1 Buscamos la intersección de las alturas $h_1, h_2$ para lo cual multiplicamos por 7 la primera altura y sumamos la segunda altura para obtener la segunda coordenada del ortocentro

$\begin{array}{rcl} -7x + 42y - 7 & = & 0 \\ 7x + 5y + 11 & = & 0 \\ \hline 47y + 4 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{4}{47} \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del ortocentro en la ecuación de la primera altura y despejamos para obtener la primera coordenada del ortocentro

$\begin{array}{rcl} -x + 6 \cdot \left( -\cfrac{4}{47} \right) - 1 & = & 0 \\\\ x & = & -\cfrac{71}{47} \end{array}$

3 Verificamos que el ortocentro pertenece a la altura $h_3$

$-8 \left( -\cfrac{71}{47} \right) + \left( -\cfrac{4}{47} \right) - 12 = 0$

la igualdad se satisface por lo que el ortocentro $H=\left( -\cfrac{71}{47}, -\cfrac{4}{47} \right)$ es la intersección de las tres alturas

3las medianas

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

El punto medio $PM_1$ del lado $\overline{AB}$ es

$PM_1 = \left( \cfrac{5 - 3}{2}, \cfrac{1 + 2}{2} \right) = \left( 1, \cfrac{3}{2} \right)$

El punto medio $PM_2$ del lado $\overline{BC}$ es

$PM_2 = \left( \cfrac{-3 - 2}{2}, \cfrac{2 - 4}{2} \right) = \left( -\cfrac{5}{2}, -1\right)$

El punto medio $PM_3$ del lado $\overline{AC}$ es

$PM_3 = \left( \cfrac{5 - 2}{2}, \cfrac{1 - 4}{2} \right) = \left( \cfrac{3}{2}, -\cfrac{3}{2} \right)$

2 Buscamos la ecuación de la mediana $M_A$ que pasa por el vértice $A$ y el punto medio del lado opuesto a este

Calculamos la pendiente que pasa por $A$ y $PM_2$

$m_A = \cfrac{1 + 1}{5 + \cfrac{5}{2}} = \cfrac{4}{15}$

La mediana $M_A$ tiene pendiente $m_{A}$ y pasa por el punto $A$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{4}{15}(x - 5) \\\\ 15y - 15 & = & 4x - 20 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediana $M_A$ es $4x - 15y - 5 = 0$

3 Buscamos la ecuación de la mediana $M_B$ que pasa por el vértice $B$ y el punto medio del lado opuesto a este

Calculamos la pendiente que pasa por $B$ y $PM_3$

$m_B = \cfrac{2 + \cfrac{3}{2}}{-3 - \cfrac{3}{2}} = -\cfrac{7}{9}$

La mediana $M_B$ tiene pendiente $m_{B}$ y pasa por el punto $B$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & -\cfrac{7}{9}(x + 3) \\\\ 9y - 18 & = & -7x - 21 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediana $M_B$ es $7x + 9y + 3 = 0$

4 Buscamos la ecuación de la mediana $M_C$ que pasa por el vértice $C$ y el punto medio del lado opuesto a este

Calculamos la pendiente que pasa por $C$ y $PM_1$

$m_C = \cfrac{-4 - \cfrac{3}{2}}{-2 - 1} = \cfrac{11}{6}$

La mediana $M_C$ tiene pendiente $m_{C}$ y pasa por el punto $C$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + 4 & = & \cfrac{11}{6}(x + 2) \\\\ 6y + 24 & = & 11x + 22 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediana $M_C$ es $11x - 6y - 2 = 0$

4el baricentro

1 Buscamos la intersección de las medianas $M_A, M_B$ para lo cual multiplicamos por $-7$ la primera mediana, por $4$ la segunda mediana y sumamos ambas medianas para obtener la segunda coordenada del baricentro

$\begin{array}{rcl} -28x + 105y + 35 & = & 0 \\ 28x + 36y + 12 & = & 0 \\ \hline 141y + 47 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{47}{141} \\ y & = & -\cfrac{1}{3} \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del baricentro en la ecuación de la segunda mediana y despejamos para obtener la primera coordenada del baricentro

$\begin{array}{rcl} 7x + 9 \cdot \left( -\cfrac{1}{3} \right) + 3 & = & 0 \\\\ x & = & 0 \end{array}$

3 Verificamos que el baricentro pertenece a la mediana $M_C$

$11 \left( 0 \right) - 6 \left( -\cfrac{1}{3} \right) - 2 = 0$

la igualdad se satisface por lo que el baricentro $G = \left( 0, -\cfrac{1}{3} \right)$ es la intersección de las tres medianas

5las mediatrices

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

El punto medio $PM_1$ del lado $\overline{AB}$ es

$PM_1 = \left( \cfrac{5 - 3}{2}, \cfrac{1 + 2}{2} \right) = \left( 1, \cfrac{3}{2} \right)$

El punto medio $PM_2$ del lado $\overline{BC}$ es

$PM_2 = \left( \cfrac{-3 - 2}{2}, \cfrac{2 - 4}{2} \right) = \left( -\cfrac{5}{2}, -1\right)$

El punto medio $PM_3$ del lado $\overline{AC}$ es

$PM_3 = \left( \cfrac{5 - 2}{2}, \cfrac{1 - 4}{2} \right) = \left( \cfrac{3}{2}, -\cfrac{3}{2} \right)$

2 Buscamos la ecuación de la mediatriz $M_{BC}$ que pasa por el punto medio de $\overline{BC}$ y es perpendicular a este.

Calculamos la pendiente $m$ del lado $\overline{BC}$

$m = \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} = -6$

La pendiente $m'$ de la mediatriz es

$m' = -\cfrac{1}{m} = \cfrac{1}{6}$

La mediatriz $M_{BC}$ tiene pendiente $m$ y pasa por el punto $PM_2$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + 1 & = & \cfrac{1}{6} \left(x + \cfrac{5}{2} \right) \\\\ 6y + 6 & = & x + \cfrac{5}{2} \end{array}$

Así, la ecuación de la mediatriz $M_{BC}$ es $2x - 12y - 7 = 0$

3 Buscamos la ecuación de la mediatriz $M_{AC}$ que pasa por el punto medio de $\overline{AC}$ y es perpendicular a este.

Calculamos la pendiente $m$ del lado $\overline{AC}$

$m = \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} = \cfrac{5}{7}$

La pendiente $m'$ de la mediatriz es

$m' = -\cfrac{1}{m} = -\cfrac{7}{5}$

La mediatriz $M_{AC}$ tiene pendiente $m'$ y pasa por el punto $PM_3$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + \cfrac{3}{2} & = & -\cfrac{7}{5} \left(x - \cfrac{3}{2} \right) \\\\ 10y + 15 & = & -14x + 21 \end{array}$

Así, la ecuación de la mediatriz $M_{AC}$ es $7x + 5y - 3 = 0$

4 Buscamos la ecuación de la mediatriz $M_{AB}$ que pasa por el punto medio de $\overline{AB}$ y es perpendicular a este.

Calculamos la pendiente $m$ del lado $\overline{AB}$

$m = \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} = -\cfrac{1}{8}$

La pendiente $m'$ de la mediatriz es

$m' = -\cfrac{1}{m} = 8$

La mediatriz $M_{AB}$ tiene pendiente $m'$ y pasa por el punto $PM_1$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y - \cfrac{3}{2} & = & 8(x - 1) \\\\ 2y - 3 & = & 16x - 16 \end{array}$

Así, la ecuación de la altura $M_{AB}$ es $16x - 2y - 13 = 0$

6el circuncentro

1 Buscamos la intersección de las mediatrices $M_{BC}, M_{AB}$ para lo cual multiplicamos por $-8$ la primera mediatriz y sumamos ambas mediatrices para obtener la segunda coordenada del circuncentro

$\begin{array}{rcl} -16x + 96y + 56 & = & 0 \\ 16x - 2y - 13 & = & 0 \\ \hline 94y + 43 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{43}{94} \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del circuncentro en la ecuación de la segunda mediatriz y despejamos para obtener la primera coordenada del circuncentro

$\begin{array}{rcl} 16x + 9 \cdot \left( -\cfrac{43}{94} \right) - 13 & = & 0 \\\\ x & = & \cfrac{71}{94} \end{array}$

3 Verificamos que el circuncentro pertenece a la mediatriz $M_{AC}$

7x + 5y - 3

$7 \left( \cfrac{71}{94} \right) + 5 \left( -\cfrac{43}{94} \right) - 3 = 0$

la igualdad se satisface por lo que el circuncentro $O = \left( \cfrac{71}{94}, -\cfrac{43}{94} \right)$ es la intersección de las tres mediatrices

7las bisectrices

1 Para encontrar la ecuación de una bisectriz, basta igualar la distancia de los puntos de la bisectriz con los lados del ángulo en cuestión, esto es, si los lados que forman el ángulos son

$Ax + By + C = 0, \ \ A'x + B'y + C' = 0$

entonces la bisectriz se obtiene de

$\cfrac{Ax + By + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \pm \cfrac{A'x + B'y + C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}}$

2 Buscamos la ecuación de la bisectriz de $A$ para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

la recta $\overline{AB}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 8y - 8 & = & -x + 5 \end{array}$

la ecuación es

$x + 8y - 13 = 0$

la recta $\overline{AC}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 7y - 7 & = & 5x - 25 \end{array}$

la ecuación es

$5x - 7y - 18 = 0$

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

$\cfrac{x + 8y - 13}{\sqrt{1^2 + 8^2}} = \pm \cfrac{5x - 7y - 18}{\sqrt{5^2 + 7^2}}$

Así, la ecuación de la bisectriz $B_A$ es

$\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} = 0$

3 Buscamos la ecuación de la bisectriz de $B$ para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

la recta $\overline{AB}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 8y - 8 & = & -x + 5 \end{array}$

la ecuación es

$x + 8y - 13 = 0$

la recta $\overline{BC}$

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} \left(x + 3 \right) \\\\ y - 2 & = & -6x - 18 \end{array}$

la ecuación es

$6x + y + 16 = 0$

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

$\cfrac{x + 8y - 13}{\sqrt{1^2 + 8^2}} = \pm \cfrac{6x + y + 16}{\sqrt{6^2 + 1^2}}$

Así, la ecuación de la bisectriz $B_B$ es

$\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} = 0$

4 Buscamos la ecuación de la bisectriz de $C$ para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

la recta $\overline{AC}$

$\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 7y - 7 & = & 5x - 25 \end{array}$

la ecuación es

$5x - 7y - 18 = 0$

la recta $\overline{BC}$

$\begin{array}{rcl} y - 2 & = & \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} \left(x + 3 \right) \\\\ y - 2 & = & -6x - 18 \end{array}$

la ecuación es

$6x + y + 16 = 0$

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

$\cfrac{5x - 7y - 18}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \pm \cfrac{6x + y + 16}{\sqrt{6^2 + 1^2}}$

Así, la ecuación de la bisectriz $B_B$ es

$\left( \cfrac{5}{\sqrt{74}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( -\cfrac{7}{\sqrt{74}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{18}{\sqrt{74}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} = 0$

8el incentro

1 Buscamos la intersección de las bisectrices $B_A, B_B$ para lo cual multiplicamos por $\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right)$ la primera bisectriz, por $\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right)$ y sumamos ambas bisectrices para obtener la segunda coordenada del incentro

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) \left[\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} \right] & = & 0 \\\\ \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) \left[ \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} \right] & = & 0 \\ \hline y & = & -0.39 \end{array}$

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del incentro en la ecuación de la primera bisectriz y despejamos para obtener la primera coordenada del incentro

$\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) (-0.39) - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} & = & 0 \\\\ x & = & -0.49 \end{array}$

9la recta de Euler

1 Buscamos la recta que pasa por el ortocentro $H = \left( -\cfrac{71}{47}, -\cfrac{4}{47} \right)$ , el baricentro $G = \left( 0, -\cfrac{1}{3} \right)$ y el circuncentro $O = \left( \cfrac{71}{94}, -\cfrac{43}{94} \right)$

2Calculamos la pendiente $m$ para el ortocentro y el baricentro

$m = \cfrac{-\cfrac{1}{3} + \cfrac{4}{47}}{0 + \cfrac{71}{47}} = -\cfrac{35}{213}$

La recta de Euler tiene pendiente $m$ y pasa por el punto $G$ . Calculamos su ecuación

$\begin{array}{rcl} y + \cfrac{1}{3} & = & -\cfrac{35}{213} x \\\\ 213y + 71 & = & -35x \end{array}$

Así, la ecuación de la recta de Euler es $35x + 213y + 71 = 0$

10Verifica que el incentro no pertenece a la recta de Euler

1 Basta sustituir el incentro $I = ( -0.49, -0.39)$ en la ecuación de la recta de Euler y verificar que no la satisface]

$35x + 213y + 71 = 0$

Sustituimos

$35(-0.49) + 213(-0.39) + 71 \neq 0$

Como el incentro no satisface la ecuación de la recta de Euler, entonces concluimos que el incentro no se encuentra sobre la recta de Euler.

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Marta

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Elementos notables de un triángulo

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Rombo y romboide

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras I: Diagonal del cuadrado y del rectángulo

Aplicaciones del teorema de Pitágoras II: Altura del triángulo equilátero y el trapecio isósceles

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras IV: Lado de un triángulo equilátero y de un cuadrado

Poligonos regulares

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