Elementos notables de un triángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

 

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

elementos notables de un triangulo 1

 

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

 

Baricentro

elementos notables de un triangulo 2

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

      BG = 2 \overline{GA}

 

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

 

Circuncentro

elementos notables de un triangulo 3

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

 

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

 

Incentro

elementos notables de un triangulo 4

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

elementos notables de un triangulo 5

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Ejercicios propuestos

Para el triángulo con vértices A(5,1), B(-3,2), C(-2,-4) encontrar:

1las alturas

alturas

 

1 Buscamos la ecuación de la altura h_1 que pasa por el vértice A y el lado opuesto a este.

 

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente m_{1} del lado BC

 

m_1 = \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} = -6

 

La pendiente m_{1'} de la altura es

 

m_{1'} = -\cfrac{1}{m_1} = \cfrac{1}{6}

 

La altura h_1 tiene pendiente m_{1'} y pasa por el punto A. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{1}{6}(x - 5) \\\\ 6y - 6 & = & x - 5 \end{array}

 

Así, la ecuación de la altura h_1 es -x + 6y - 1 = 0

 

2 Buscamos la ecuación de la altura h_2 que pasa por el vértice B y el lado opuesto a este.

 

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente m_{2} del lado AC

 

m_2 = \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} = \cfrac{5}{7}

 

La pendiente m_{2'} de la altura es

 

m_{2'} = -\cfrac{1}{m_2} = -\cfrac{7}{5}

 

La altura h_2 tiene pendiente m_{2'} y pasa por el punto B. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y - 2 & = & -\cfrac{7}{5}(x + 3) \\\\ 5y - 10 & = & -7x - 21 \end{array}

 

Así, la ecuación de la altura h_2 es 7x + 5y + 11 = 0

 

3 Buscamos la ecuación de la altura h_3 que pasa por el vértice C y el lado opuesto a este.

 

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente m_{3} del lado AB

 

m_3 = \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} = -\cfrac{1}{8}

 

La pendiente m_{3'} de la altura es

 

m_{3'} = -\cfrac{1}{m_3} = 8

 

La altura h_3 tiene pendiente m_{3'} y pasa por el punto C. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y + 4 & = & 8(x + 2) \\\\ y + 2 & = & 8x + 16 \end{array}

 

Así, la ecuación de la altura h_3 es -8x + y - 12 = 0

2el ortocentro

ortocentro

 

1 Buscamos la intersección de las alturas h_1, h_2 para lo cual multiplicamos por 7 la primera altura y sumamos la segunda altura para obtener la segunda coordenada del ortocentro

 

\begin{array}{rcl} -7x + 42y - 7 & = & 0 \\ 7x + 5y + 11 & = & 0 \\ \hline 47y + 4 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{4}{47} \end{array}

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del ortocentro en la ecuación de la primera altura y despejamos para obtener la primera coordenada del ortocentro

 

\begin{array}{rcl} -x + 6 \cdot \left( -\cfrac{4}{47} \right) - 1 & = & 0 \\\\ x & = & -\cfrac{71}{47} \end{array}

 

3 Verificamos que el ortocentro pertenece a la altura h_3

 

-8 \left( -\cfrac{71}{47} \right) + \left( -\cfrac{4}{47} \right) - 12 = 0

 

la igualdad se satisface por lo que el ortocentro H=\left( -\cfrac{71}{47}, -\cfrac{4}{47} \right) es la intersección de las tres alturas

3las medianas

medianas

 

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

 

El punto medio PM_1 del lado \overline{AB} es

 

PM_1 = \left( \cfrac{5 - 3}{2}, \cfrac{1 + 2}{2} \right) = \left( 1, \cfrac{3}{2} \right)

 

El punto medio PM_2 del lado \overline{BC} es

 

PM_2 = \left( \cfrac{-3 - 2}{2}, \cfrac{2 - 4}{2} \right) = \left( -\cfrac{5}{2}, -1\right)

 

El punto medio PM_3 del lado \overline{AC} es

 

PM_3 = \left( \cfrac{5 - 2}{2}, \cfrac{1 - 4}{2} \right) = \left( \cfrac{3}{2}, -\cfrac{3}{2} \right)

 

2 Buscamos la ecuación de la mediana M_A que pasa por el vértice A y el punto medio del lado opuesto a este

 

Calculamos la pendiente que pasa por A y PM_2

 

m_A = \cfrac{1 + 1}{5 + \cfrac{5}{2}} = \cfrac{4}{15}

 

La mediana M_A tiene pendiente m_{A} y pasa por el punto A. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{4}{15}(x - 5) \\\\ 15y - 15 & = & 4x - 20 \end{array}

 

Así, la ecuación de la mediana M_A es 4x - 15y - 5 = 0

 

3 Buscamos la ecuación de la mediana M_B que pasa por el vértice B y el punto medio del lado opuesto a este

 

Calculamos la pendiente que pasa por B y PM_3

 

m_B = \cfrac{2 + \cfrac{3}{2}}{-3 - \cfrac{3}{2}} = -\cfrac{7}{9}

 

La mediana M_B tiene pendiente m_{B} y pasa por el punto B. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y - 2 & = & -\cfrac{7}{9}(x + 3) \\\\ 9y - 18 & = & -7x - 21 \end{array}

 

Así, la ecuación de la mediana M_B es 7x + 9y + 3 = 0

 

4 Buscamos la ecuación de la mediana M_C que pasa por el vértice C y el punto medio del lado opuesto a este

 

Calculamos la pendiente que pasa por C y PM_1

 

m_C = \cfrac{-4 - \cfrac{3}{2}}{-2 - 1} = \cfrac{11}{6}

 

La mediana M_C tiene pendiente m_{C} y pasa por el punto C. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y + 4 & = & \cfrac{11}{6}(x + 2) \\\\ 6y + 24 & = & 11x + 22 \end{array}

 

Así, la ecuación de la mediana M_C es 11x - 6y - 2 = 0

4el baricentro

Baricentro

 

1 Buscamos la intersección de las medianas M_A, M_B para lo cual multiplicamos por -7 la primera mediana, por 4 la segunda mediana y sumamos ambas medianas para obtener la segunda coordenada del baricentro

 

\begin{array}{rcl} -28x + 105y + 35 & = & 0 \\ 28x + 36y + 12 & = & 0 \\ \hline 141y + 47 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{47}{141} \\ y & = & -\cfrac{1}{3} \end{array}

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del baricentro en la ecuación de la segunda mediana y despejamos para obtener la primera coordenada del baricentro

 

\begin{array}{rcl} 7x + 9 \cdot \left( -\cfrac{1}{3} \right) + 3 & = & 0 \\\\ x & = & 0 \end{array}

 

3 Verificamos que el baricentro pertenece a la mediana M_C

 

11 \left( 0 \right) - 6 \left( -\cfrac{1}{3} \right) - 2 = 0

 

la igualdad se satisface por lo que el baricentro G = \left( 0, -\cfrac{1}{3} \right) es la intersección de las tres medianas

5las mediatrices

mediatrices

 

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

 

El punto medio PM_1 del lado \overline{AB} es

 

PM_1 = \left( \cfrac{5 - 3}{2}, \cfrac{1 + 2}{2} \right) = \left( 1, \cfrac{3}{2} \right)

 

El punto medio PM_2 del lado \overline{BC} es

 

PM_2 = \left( \cfrac{-3 - 2}{2}, \cfrac{2 - 4}{2} \right) = \left( -\cfrac{5}{2}, -1\right)

 

El punto medio PM_3 del lado \overline{AC} es

 

PM_3 = \left( \cfrac{5 - 2}{2}, \cfrac{1 - 4}{2} \right) = \left( \cfrac{3}{2}, -\cfrac{3}{2} \right)

 

2 Buscamos la ecuación de la mediatriz M_{BC} que pasa por el punto medio de \overline{BC} y es perpendicular a este.

 

Calculamos la pendiente m del lado \overline{BC}

 

m = \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} = -6

 

La pendiente m' de la mediatriz es

 

m' = -\cfrac{1}{m} = \cfrac{1}{6}

 

La mediatriz M_{BC} tiene pendiente m y pasa por el punto PM_2. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y + 1 & = & \cfrac{1}{6} \left(x + \cfrac{5}{2} \right) \\\\ 6y + 6 & = & x + \cfrac{5}{2} \end{array}

 

Así, la ecuación de la mediatriz M_{BC} es 2x - 12y - 7 = 0

 

3 Buscamos la ecuación de la mediatriz M_{AC} que pasa por el punto medio de \overline{AC} y es perpendicular a este.

 

Calculamos la pendiente m del lado \overline{AC}

 

m = \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} = \cfrac{5}{7}

 

La pendiente m' de la mediatriz es

 

m' = -\cfrac{1}{m} = -\cfrac{7}{5}

 

La mediatriz M_{AC} tiene pendiente m' y pasa por el punto PM_3. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y + \cfrac{3}{2} & = & -\cfrac{7}{5} \left(x - \cfrac{3}{2} \right) \\\\ 10y + 15 & = & -14x + 21 \end{array}

 

Así, la ecuación de la mediatriz M_{AC} es 7x + 5y - 3 = 0

 

4 Buscamos la ecuación de la mediatriz M_{AB} que pasa por el punto medio de \overline{AB} y es perpendicular a este.

 

Calculamos la pendiente m del lado \overline{AB}

 

m = \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} = -\cfrac{1}{8}

 

La pendiente m' de la mediatriz es

 

m' = -\cfrac{1}{m} = 8

 

La mediatriz M_{AB} tiene pendiente m' y pasa por el punto PM_1. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y - \cfrac{3}{2} & = & 8(x - 1) \\\\ 2y - 3 & = & 16x - 16 \end{array}

 

Así, la ecuación de la altura M_{AB} es 16x - 2y - 13 = 0

6el circuncentro

circuncentro

 

1 Buscamos la intersección de las mediatrices M_{BC}, M_{AB} para lo cual multiplicamos por -8 la primera mediatriz y sumamos ambas mediatrices para obtener la segunda coordenada del circuncentro

 

\begin{array}{rcl} -16x + 96y + 56 & = & 0 \\ 16x - 2y - 13 & = & 0 \\ \hline 94y + 43 & = & 0 \\ y & = & -\cfrac{43}{94} \end{array}

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del circuncentro en la ecuación de la segunda mediatriz y despejamos para obtener la primera coordenada del circuncentro

 

\begin{array}{rcl} 16x + 9 \cdot \left( -\cfrac{43}{94} \right) - 13 & = & 0 \\\\ x & = & \cfrac{71}{94} \end{array}

 

3 Verificamos que el circuncentro pertenece a la mediatriz M_{AC}

7x + 5y - 3

7 \left( \cfrac{71}{94} \right) + 5 \left( -\cfrac{43}{94} \right) - 3 = 0

 

la igualdad se satisface por lo que el circuncentro O = \left( \cfrac{71}{94}, -\cfrac{43}{94} \right) es la intersección de las tres mediatrices

7las bisectrices

bisectrices

 

1 Para encontrar la ecuación de una bisectriz, basta igualar la distancia de los puntos de la bisectriz con los lados del ángulo en cuestión, esto es, si los lados que forman el ángulos son

 

Ax + By + C = 0, \ \ A'x + B'y + C' = 0

 

entonces la bisectriz se obtiene de

 

\cfrac{Ax + By + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \pm \cfrac{A'x + B'y + C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}}

 

2 Buscamos la ecuación de la bisectriz de A para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados \overline{AB} y \overline{AC}. Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

 

la recta \overline{AB}

 

\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 8y - 8 & = & -x + 5 \end{array}

 

la ecuación es

 

 x + 8y - 13 = 0

 

la recta \overline{AC}

 

\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 7y - 7 & = & 5x - 25 \end{array}

 

la ecuación es

 

 5x - 7y - 18 = 0

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

 

\cfrac{x + 8y - 13}{\sqrt{1^2 + 8^2}} = \pm \cfrac{5x - 7y - 18}{\sqrt{5^2 + 7^2}}

 

Así, la ecuación de la bisectriz B_A es

 

\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} = 0

 

3 Buscamos la ecuación de la bisectriz de B para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados \overline{AB} y \overline{BC}. Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

 

la recta \overline{AB}

 

\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{2 - 1}{-3 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 8y - 8 & = & -x + 5 \end{array}

 

la ecuación es

 

 x + 8y - 13 = 0

 

la recta \overline{BC}

 

\begin{array}{rcl} y - 2 & = & \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} \left(x + 3 \right) \\\\ y - 2 & = & -6x - 18 \end{array}

 

la ecuación es

 

 6x + y + 16 = 0

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

 

\cfrac{x + 8y - 13}{\sqrt{1^2 + 8^2}} = \pm \cfrac{6x + y + 16}{\sqrt{6^2 + 1^2}}

 

Así, la ecuación de la bisectriz B_B es

 

\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} = 0

 

4 Buscamos la ecuación de la bisectriz de C para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados \overline{AC} y \overline{BC}. Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

 

la recta \overline{AC}

 

\begin{array}{rcl} y - 1 & = & \cfrac{-4 - 1}{-2 - 5} \left(x - 5 \right) \\\\ 7y - 7 & = & 5x - 25 \end{array}

 

la ecuación es

 

 5x - 7y - 18 = 0

 

la recta \overline{BC}

 

\begin{array}{rcl} y - 2 & = & \cfrac{-4 - 2}{-2 + 3} \left(x + 3 \right) \\\\ y - 2 & = & -6x - 18 \end{array}

 

la ecuación es

 

 6x + y + 16 = 0

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

 

\cfrac{5x - 7y - 18}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \pm \cfrac{6x + y + 16}{\sqrt{6^2 + 1^2}}

 

Así, la ecuación de la bisectriz B_B es

 

\left( \cfrac{5}{\sqrt{74}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( -\cfrac{7}{\sqrt{74}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{18}{\sqrt{74}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} = 0

8el incentro

incentro

 

1 Buscamos la intersección de las bisectrices B_A, B_B para lo cual multiplicamos por \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) la primera bisectriz, por \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) y sumamos ambas bisectrices para obtener la segunda coordenada del incentro

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) \left[\left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} \right] & = & 0 \\\\ \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) \left[ \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} + \cfrac{6}{\sqrt{37}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{1}{\sqrt{37}} \right) y - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{16}{\sqrt{37}} \right] & = & 0 \\ \hline y & = & -0.39 \end{array}

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del incentro en la ecuación de la primera bisectriz y despejamos para obtener la primera coordenada del incentro

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{1}{\sqrt{65}} - \cfrac{5}{\sqrt{74}} \right) x + \left( \cfrac{8}{\sqrt{65}} + \cfrac{7}{\sqrt{74}} \right) (-0.39) - \cfrac{13}{\sqrt{65}}} + \cfrac{18}{\sqrt{74}} & = & 0 \\\\ x & = & -0.49 \end{array}

9la recta de Euler

recta de Euler

 

1 Buscamos la recta que pasa por el ortocentro H = \left( -\cfrac{71}{47}, -\cfrac{4}{47} \right), el baricentro G = \left( 0, -\cfrac{1}{3} \right) y el circuncentro O = \left( \cfrac{71}{94}, -\cfrac{43}{94} \right)

 

2Calculamos la pendiente m para el ortocentro y el baricentro

 

m = \cfrac{-\cfrac{1}{3} + \cfrac{4}{47}}{0 + \cfrac{71}{47}} = -\cfrac{35}{213}

 

La recta de Euler tiene pendiente m y pasa por el punto G. Calculamos su ecuación

 

\begin{array}{rcl} y + \cfrac{1}{3} & = & -\cfrac{35}{213} x \\\\ 213y + 71 & = & -35x \end{array}

 

Así, la ecuación de la recta de Euler es 35x + 213y + 71 = 0

10Verifica que el incentro no pertenece a la recta de Euler

recta de Euler 2

 

1 Basta sustituir el incentro I = ( -0.49, -0.39) en la ecuación de la recta de Euler y verificar que no la satisface]

 

35x + 213y + 71 = 0

 

Sustituimos

 

35(-0.49) + 213(-0.39) + 71 \neq 0

 

Como el incentro no satisface la ecuación de la recta de Euler, entonces concluimos que el incentro no se encuentra sobre la recta de Euler.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗