Resuelve los siguientes problemas sobre semejanza de triángulos, si tiene dudas, se puede consultar la teoría aquí:

1Calcular los lados del triángulo semejante

    • Sea ABC triángulo con lados a=4cm, b=6cm, c=8cm y razón de proporcionalidad r = 0.5,
      Triangulo ABC
      entonces los lados del triángulo semejante son:
       a' =  cm , \quad b' =  cm , \quad \textrm{y} \quad c' =  cm.

 

  • Sea ABC triángulo con lados a=9cm, b=21cm y c=15cm, entonces considerando una razón r=2.5 tendríamos que los lados del triangulo semejante A'B'C' son:
    a' = cm,\quad b' = cm ,\quad \textrm{y} \quad c' = cm.

  • Tenemos que los triángulos son semejantes debido a que sus lados son proporcionales con razón r=0.5, entonces

        \begin{align*} \frac{a}{a'} &= r \\ a' &= \frac{a}{r}\\ a' &= \frac{4}{0.5} \end{align*}

    es decir, a'= 8cm. Similarmente,

        \begin{align*} b' &= \frac{b}{r}\\ &= \frac{6}{0.5}\\ &= 12 \end{align*}

    y finalmente

        \begin{align*} c' &= \frac{c}{r}\\ &= \frac{8}{0.5}\\ &= 16 \end{align*}

  • De la misma manera, tenemos que los triángulos son semejantes pero esta vez con r=2.5, por tanto

        \begin{align*} a' &= \frac{a}{r}\\ &= \frac{9}{2.5}\\ &= 3.6 \end{align*}

    después,

        \begin{align*} b' &= \frac{b}{r}\\ &= \frac{21}{2.5}\\ &= 8.4 \end{align*}

    y finalmente

        \begin{align*} c' &= \frac{c}{r}\\ &= \frac{15}{2.5}\\ &= 6 \end{align*}



2Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12m y 5m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 26m?

a' = cm,\quad \textrm{y}\quad b' = cm.

Primeramente calculamos la hipotenusa del primer triángulo rectángulo utilizando Pitágoras y luego calculamos los catetos del segundo a partir de la relación de semejanza.
Triángulos semejantes
Hipotenusa del triangulo 1:

    \[ c = \sqrt{12^2 + 5 ^2} = 13 \]

de aquí tenemos que

    \[ r = \frac{c}{c'} = \frac{13}{26} = 0.5 \]

Con esta razón r=0.5 calculamos los catetos del triángulo 2:

    \begin{align*} a' &= \frac{a}{r}\\ &= \frac{12}{0.5}\\ &= 24 \end{align*}

y

    \begin{align*} b' &= \frac{b}{r}\\ &= \frac{5}{0.5}\\ &= 10 \end{align*}



3Sabemos que los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes valen 19.5cm y 13cm y que el lado desigual del primero mide 4.5cm. Calcular los lados de ambos triángulos y la razón de semejanza.

a = cm, \quad b = cm

, \quad a' = cm

, \quad b' = cm

, \quad c' = cm

y finalmente, r = .

Sabiendo que el área del primer triángulo vale 16cm² calcular el área del segundo sin utilizar los lados del mismo

Área: cm²

En primer lugar calculamos los lados del triángulo del que conocemos su lado desigual. Como el triángulo es isósceles tiene dos lados iguales, entonces

    \begin{align*} 19.5 &= 2a + 4.5\\ 2a &= 15\\ a &= 7.5 \end{align*}

Como los triángulos son semejantes aplicamos la relación de semejanza

     \begin{equation*} \frac{7.5}{a'} = \frac{19.5}{13} \quad \Rightarrow \quad a' = 5. \end{equation*}

Al ser el triángulo isósceles a' y b' miden lo mismo y

     \begin{equation*} \frac{4.5}{c'} = \frac{19.5}{13} \quad \Rightarrow \quad c' = 3. \end{equation*}

Para la razón

     \begin{equation*} r = \frac{19.5}{13} = 1.5 \end{equation*}

Para calcular el área utilizamos la razón de semejanza con las áreas (la cual está al cuadrado):
(1.5)^2 = 2.25.
Entonces

     \begin{equation*} \frac{16}{A'} = 2.25 \quad \Rightarrow \quad A' = 7.11 \end{equation*}

Triangulos isósceles semejantes



4 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5m a la misma hora que un poste de 4.5m de altura da una sombra de 0.90m.

representación gráfica problema de geometría con edificio y sombra triangulo
Altura del edificio:  m.

Dado que las sombras son proyectadas a la misma hora, supondremos semejanza para poder dar una solución. Así, dada la semejanza, tenemos la siguiente igualdad

 \displaystyle \frac{4.5}{h} = \frac{0.9}{6.5},

 

despejando h obtenemos

 

\displaystyle h = \frac{(6.5)(4.5)}{0.9} = 32.5



5 ¿Cuál es la razón de proporcionalidad de los siguientes triángulos?

Semejanza de triangulos
Razón:  m.

Podemos tomar cualquier par de lados homólogos, por ejemplo, los lados b y b', y calculamos su razón

    \begin{equation*} \frac{b}{b'} = \frac{7}{17.5} = 0.4. \end{equation*}



6 En la figura a continuación tendremos que AM =3, AN =5, MN = 6 y BM = 1.5

Triangulo ejercicio
¿Cuánto mide
AB= ,\quad BC = , \textrm{y} \quad AC = ?


Notemos que para AB tenemos que

    \begin{equation*} AB = AM + BM = 3 + 1.5 = 4.5. \end{equation*}

Ahora bien, puesto que son triángulos semejantes tendremos que

    \begin{equation*} \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \end{equation*}

entonces

    \begin{align*} \frac{3}{4.5} &= \frac{6}{BC},\\ BC &= \frac{6(4.5)}{3},\\ BC &= 9. \end{align*}

Similarmente,

    \begin{align*} \frac{AN}{AC} &= \frac{AM}{AB}\\ \frac{5}{AC} &= \frac{3}{4.5},\\ AC &= \frac{5(4.5)}{3},\\ BC &= 7.5. \end{align*}



7 Sea ABC triangulo isósceles cuyo lado desigual mide 4 y sea A'B'C' triangulo isósceles semejante cuyo lado desigual mide 8 y sus otros dos lados (que son iguales) miden 10

Isosceles semejantes

¿Cuánto miden los lados faltantes de ABC ?

Puesto que son triángulos semejantes tendremos que

    \begin{equation*} \frac{x}{4} = \frac{10}{8} \end{equation*}

entonces

    \begin{align*} x &= \frac{10(4)}{8}\\ &= 5. \end{align*}


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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗