Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

Elementos de un polígono

 

1 Lados: Son los segmentos que lo limitan.

 

2 Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados.

 

3 Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados consecutivos.

 

4Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos

 

Número de diagonales de un polígono

Si n es el número de lados de un polígono:

      n · (n − 3) : 2

Polígonos regulares

Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.

 

Elementos de un polígono regular

 

1 Centro: Punto interior que equidista de cada vértice.

 

2 Radio: Es el segmento que va del centro a cada vértice.

 

3 Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado.

 

4 Ángulos: formados por dos radios consecutivos

 

Ejemplo:

 

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo interior = (n - 2) · 180° : n

 

Polígono inscrito

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.

 

1 Circunferencia circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono.

Su centro equidista de todos los vértices.

Su radio es el radio del polígono.

2 Circunferencia inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado.

Su centro equidista de todos los lados.

Su radio es la apotema del polígono.

 

Triángulos

 

Un triángulo es un polígono con tres lados.

 

Propiedades de los triángulos

 

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

 

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

 

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

 

 

Clasificación de los triángulos según sus lados

1 Triángulo equilátero - Tres lados iguales.

2 Triángulo isósceles - Dos lados iguales.

3 Triángulo escaleno - Tres lados desiguales.

 

Clasificación de los triángulos según sus ángulos

 

 

1 Triángulo acutángulo - Tres ángulos agudos

 

2 Triángulo rectángulo - Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

3 Triángulo obtusángulo - Un ángulo obtuso.

 

 

Elementos de un triángulo

 

1 La altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

 

2 El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

 

 

 

 

 

 

3 La mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

 

4 El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos.

El segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

 

5 La mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

 

6 El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

 

7 La bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

 

8 El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

 

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

 

 

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Teorema de la altura

 

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

     

Teorema de Pitágoras

 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

     

El círculo y la circunferencia

 

El círculo es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

 

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

 

 

 

 

 

El centro de la circunferencia es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

El radio de la circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

 

Elementos de la circunferencia

 

Cuerda - Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

 

 

 

Diámetro - Cuerda que pasa por el centro.

 

Arco - Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

 

Semicircunferencia - Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

 

 

Elementos de un círculo

 

Segmento circular - Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

 

Semicírculo - Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

 

Zona circular - Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

 

Sector circular - Porción de círculo limitada por dos radios.

 

Corona circular - Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

 

Trapecio circular - Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

 

 

Ángulos en la circunferencia

 

1 Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

 

 

 

 

2 Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

 

 

 

 

 

3 Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

 

 

 

 

 

4 Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

 

 

5 Ángulo exterior

 

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

 

 

 

 

Formulas de calculo de longitudes y áreas

Longitud de una circunferencia

Ejemplo:

Calcular la longitud de una rueda de 180 cm de diámetro.

L = 2 · π · r

r= 1/2 · D = 180:2=90

L= 2 · π · 90 = 565.47 cm

 

Longitud de un arco de circunferencia

 

Ejemplo:

Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

 

 

 

Área de un círculo

 

 

Ejemplo:

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

 

 

 

 

Área de un sector circular

 

Ejemplo

Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

 

 

 

Área de una corona circular

Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

 

 

 

Ejemplo:

En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

 

 

 

Área de un trapecio circular

Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

 

 

 

Ejemplo:

 

Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°Calcular el área del trapecio circular formado.

 

 

 

 

Área de un segmento circular

 

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

 

Ejemplo: 

Sobre un círculo de 4 cm se traza un ángulo central de 60°. Calcular el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente

 

 

 

 

 

 

Polígonos estrellados

 

Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua.

 

Se denotan por N/M, siendo N el número de vértices del polígono regular convexo y M el salto entre vértices.

N/M ha de ser fracción irreducible.

 

El polígono N/M es el mismo que el N/(N-M), ya que el polígono estrellado que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo.

 

Perímetro de un polígono: Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.

Área: Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana

 

 

1 Área de un cuadrado:



2 Área de un rectángulo:

 



3 Área de un rombo:

 

     

4 Área de un romboide:

 

 

P = 2 · (a + b)

A = b · h

 

5 Área de un trapecio:

 

 

     

6 Área de un triángulo:

 

 

     

 

7 Área de un polígono:

 

      A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

 

Ejemplo:

 

Calcular el área del siguiente polígono:

AD = BC; AB = DC flecha  Romboide

A = A R + A T

A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2 = 162 cm2

8 Área de un polígono regular:

 

     
Ejemplo:
Calcular el área de un pentágono regular de 6 cm de lado.
P = 5 · 6 = 30 c
Calcular el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
I = R = 4
P = 6 · 4 = 24 cm

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (1 votes, average: 5,00 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido