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Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

Elementos de un polígono

 

1 Lados: son los segmentos que lo limitan.

 

2 Vértices: son los puntos donde concurren dos lados.

 

3 Ángulos interiores de un polígono: son los determinados por dos lados consecutivos.

 

4Diagonal: son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos

 

Número de diagonales de un polígono

Si n es el número de lados de un polígono:

      \frac{n\cdot (n-3)}{2}

Polígono inscrito

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.

 

1 Circunferencia circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono.

Su centro equidista de todos los vértices.

Su radio es el radio del polígono.

2 Circunferencia inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado.

Su centro equidista de todos los lados.

Su radio es la apotema del polígono.

 

Triángulos

 

Un triángulo es un polígono con tres lados.

 

Propiedades de los triángulos

 

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

 

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

 

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

 

 

Clasificación de los triángulos según sus lados

1 Triángulo equilátero - Tres lados iguales.

Triángulo equilátero

2 Triángulo isósceles - Dos lados iguales.

Triángulo isósceles

3 Triángulo escaleno - Tres lados desiguales.

Triángulo escaleno

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Clasificación de los triángulos según sus ángulos

 

 

1 Triángulo acutángulo - Tres ángulos agudos

Triángulo acutángulo

 

2 Triángulo rectángulo - Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Triángulo rectángulo

3 Triángulo obtusángulo - Un ángulo obtuso.

Triángulo obtusángulo

 

 

Elementos de un triángulo

 

1 La altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

 

2 El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

El ortocentro

 

 

 

 

 

 

3 La mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

 

4 El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos.

El segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

El baricentro

 

5 La mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

 

6 El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

 

7 La bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

 

8 El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

 

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

 

 

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Teorema del cateto

Teorema de la altura

Teorema de la altura

 

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

\frac{m}{h}= \frac{h}{n}
h^{2}=m\cdot n

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a^{2}= b^{2}+c^{2}
Para conocer el valor de los catetos o el de la hipotenusa despejamos y las formulas quedan así:
\left\{\begin{matrix} a= \sqrt{b^{2}+c^{2}} \\ b= \sqrt{a^{2}-c^{2}} \\ c= \sqrt{a^{2}-b^{2}} \end{matrix}\right.

El círculo

 

El círculo es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

 

La circunferencia

Elementos de un círculo

 

Segmento circular - Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

 

Segmento circular

Semicírculo - Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

 

Semicírculo

Zona circular - Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

 

Zona circular

Sector circular - Porción de círculo limitada por dos radios.

 

Sector circular

Corona circular - Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

 

Corona circular

Trapecio circular - Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

 

Trapecio circular

Fórmulas de áreas y segmentos del círculo

Área de un círculo

 

Área de un círculo

A=\pi \cdot r^{2}

Ejemplo:

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

Tenemos que 2\cdot \pi \cdot r=43.96 y despejamos r
r=\frac{43.96}{2\cdot \pi }=7 cm

Ahora sustituimos en la fórmula del área del circulo
A=\pi \cdot 7^{2}=153.94 cm^{2}

Área de un sector circular

 

Área de un sector circular

A=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot \alpha }{360^{0}}

Ejemplo

Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

 

Ejemplo de Área de un sector circular

 

Tenemos r=4 y \alpha =90^{0}, entonces aplicamos la fórmula
A=\frac{\pi \cdot 4^{2}\cdot 90^{0}}{360^{0}}=12.57 cm^{2}

Área de una corona circular

Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

 

Área de una corona circular

 

A=\pi \cdot \left ( R^{2}-r^{2} \right )
Ejemplo:

En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

 

Ejemplo de Área de una corona circular

Tenemos R=700 y r=5, aplicamos la fórmula
A=\pi \cdot \left ( 700^{2}-5^{2} \right )=1 538 521.5 m^{2}

 

Área de un trapecio circular

Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

 

Área de un trapecio circular

 

A=\frac{\pi \left ( R^{2}-r^{2} \right )\cdot \alpha }{360^{0}}

 

Ejemplo:

 

Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°Calcular el área del trapecio circular formado.

 

Ejemplo de Área de un trapecio circular

 

Tenemos R=8, r=5 y \alpha =60^{0}, ahora aplicamos la fórmula
A=\frac{\pi \left ( 8^{2}-5^{2} \right )\cdot 60^{0}}{360^{0}}=20.42 cm^{2}

Área de un segmento circular

 

Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

 

Ejemplo: 

Sobre un círculo de 4 cm se traza un ángulo central de 60°. Calcular el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente

 

Ejemplo de Área de un segmento circular

 

 

 

Primero calculamos el área del sector circular con la fórmula
A=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot \alpha}{360^{0}}
donde r=4 y \alpha =60^{0} , sustituimos
A_{sector}=\frac{\pi \cdot 4^{2}\cdot 60^{0}}{360^{0}}=8.38 cm^{2}

Ahora calculamos el área del triángulo el cual es equilátero, por lo tanto primero calculamos la altura, si trazamos una altura obtenemos dos triángulos rectángulos y podemos aplicar teorema de Pitágoras quedando
h=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=3.46 cm

Entonces el área del triangulo es
A=\frac{4\cdot 3.46}{2}=6.93 cm^{2}

Finalmente el área del segmento circular es
A_{segmento}=A_{Sector}-A_{triángulo}=8.38-6.93=1.45 cm^{2}

La circunferencia

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

 

La circunferencia

 

 

 

 

El centro de la circunferencia es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

El radio de la circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

 

Elementos de la circunferencia

 

Cuerda - Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

 

 

Cuerda

 

Diámetro - Cuerda que pasa por el centro.

 

Diámetro

Arco - Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

 

Arco

Semicircunferencia - Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

 

Semicircunferencia

 

 

Ángulos en la circunferencia

 

1 Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

\widehat{AOB}=\widehat{AB}

Ángulo central

 

 

2 Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\widehat{AB}

Ángulo inscrito

 

 

 

 

 

3 Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\widehat{AB}

Ángulo semi-inscrito

 

 

 

 

 

4 Ángulo interior

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\left ( \widehat{AB}+\widehat{CD} \right )

 

5 Ángulo exterior

 

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\left ( \widehat{AB}-\widehat{CD} \right )

Ángulo exterior Ángulo exterior Ángulo exterior

 

 

 

 

Área y longitud de la circunferencia

Longitud de una circunferencia

Longitud de una circunferencia

L= 2\cdot \pi \cdot r

Ejemplo:

Calcular la longitud de una rueda de 180 cm de diámetro.

L = 2 · π · r

r= 1/2 · D = 180:2=90

L= 2 · π · 90 = 565.47 cm

Tenemos la fórmula

L= 2\cdot \pi \cdot r

También tenemos r=\tfrac{D}{2} donde D es el diámetro, por lo tanto
r=\tfrac{180}{2}=90

Ahora con el valor del radio aplicamos la fórmula
L= 2\cdot \pi \cdot 90=565.47 cm

Longitud de un arco de circunferencia

 

Longitud de un arco de circunferencia

L= \frac{2\cdot \pi \cdot r\cdot \alpha }{360^{0}}

Ejemplo:

Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

 

Tenemos r=1.8 m y \alpha =146^{0} y aplicamos la fórmula de Longitud de un arco de circunferencia
L_{C}= \frac{2\cdot \pi \cdot 1.8\cdot 146^{0}}{360^{0}}=4.5 m

 

Polígonos estrellados

 

Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua.

 

Se denotan por N/M, siendo N el número de vértices del polígono regular convexo y M el salto entre vértices.

N/M ha de ser fracción irreducible.

 

El polígono N/M es el mismo que el N/(N-M), ya que el polígono estrellado que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo.

 

Perímetro de un polígono: Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.

Área: Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana

 

 

1 Área de un cuadrado:

Ejemplo de área de un cuadrado

Diagonal
d=l\cdot \sqrt{2}

Perímetro
P=4\cdot l

Área
A=l^{2}

2 Área de un rectángulo:

 

Ejemplo de área de un rectángulo
Diagonal
d=\sqrt{b^{2}+h^{2}}
Perímetro
P=2\cdot (b+h)
Área
A=b\cdot h

3 Área de un rombo:

 

Ejemplo de Área de un rombo
Perímetro
P=4\cdot l
Área
A=\frac{D\cdot d}{2}

4 Área de un romboide:

 

Ejemplo de Área de un romboide

 

Perímetro
P=2\cdot \left ( a+b \right )

Área
A=b\cdot h

5 Área de un trapecio:

 

Ejemplo de Área de un trapecio

 

A=\frac{\left ( B+b \right )\cdot h}{2}

6 Área de un triángulo:

 

Ejemplo de Área de un triángulo

Perímetro
P=a+b+c

Área
A=\frac{b\cdot h}{2}
7 Área de un polígono:

 

 Área de un polígono
A=T_{1}+T_{2}+T_{3}+T_{4}
Donde
T_{1},T_{2},T_{3},T_{4} son las áreas de los triángulos.

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

 

Ejemplo:

 

Calcular el área del siguiente polígono:

ejemplo de Área de un polígono
Tenemos que AD=BC; AB=DC entonces es un romboide y para calcular el área usaremos la expresión:
A=A_{R}+A_{T}
Donde A_{R} es el área del rectángulo y A_{T} es el área del triángulo.
Entonces si la altura es 12, la base del rectángulo es 11 y la base del triángulo es 5 aplicamos las formulas
A=11\cdot 12+\frac{12\cdot 5}{2}=162m^{2}

8 Área de un polígono regular:

 

Área de un polígono regular
Perímetro
P=6\cdot l
Área
A=\frac{\textrm{Perímetro}\cdot Apotema}{2}
Ejemplo:
Calcular el área de un pentágono regular de 6 cm de lado.
Ejemplo de Área de un polígono regular
Según podemos ver de la figura, tenemos que encontrar el apotema usando teorema de Pitágoras
a=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4
Ya que l=6 y como es un pentágono entonces el perímetro es
P=5\cdot 6=30 cm
Finalmente el área seria
A=\frac{30\cdot 4}{2}
Calcular el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
ejemplo de Área de un hexágono regular
Tenemos que l=R=4
Según podemos ver de la figura, tenemos que encontrar el apotema usando teorema de Pitágoras
a=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=3.46 cm
Ya que l=4 y como es un hexágono entonces el perímetro es
P=6\cdot 4=24 cm
Por lo tanto el área seria
A=\frac{24\cdot 3.46}{2}=41.52 cm^{2}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗