Resuelve los siguientes problemas

1Un rectángulo mide 7 \ cm de largo por 3 de ancho. ¿Cuál es el perímetro y el área de otro semejante cuyos lados miden el doble?

P =  cm,

A =  cm^2

1Sabemos que dos polígonos son proporcionales si sus lados homólogos son proporcionales

 

\cfrac{7}{a'} = \cfrac{3}{b'} = \cfrac{1}{2}

 

2Igualamos la primera y la última expresión

 

\cfrac{7}{a'} = \cfrac{1}{2}

 

3Despejamos y obtenemos a' = 14 \ cm

 

4Igualamos la segunda y la última expresión

 

\cfrac{3}{b'} = \cfrac{1}{2}

 

5Despejamos y obtenemos b' = 6 \ cm

 

6Calculamos el perímetro

 

P = 2 \cdot (14 + 6) = 40 \ cm

 

7Calculamos el área

 

A = 14 \cdot 6 = 84 \ cm^2

 

2Un polígono de cinco lados es semejante a otro segundo polígono cuyos lados miden el triple. ¿Cuál es el cociente del perímetro del segundo polígono y su semejante?

\cfrac{P_2}{P_1} = cm,

1Denotamos los lados del primer polígono por a, b, c, d, e. Luego el perímetro del primer polígono es

 

P_1 = a + b + c + d + e

 

2Representamos los lados del segundo polígono por a', b', c', d', e'. Como los polígonos son semejantes se tiene

 

\cfrac{a'}{a} = \cfrac{b'}{b} = \cfrac{c'}{c} = \cfrac{d'}{d} = \cfrac{e'}{e} = 3

 

3Luego el perímetro de la segunda figura es [/latex]

 

P_2 = a' + b' + c' + d' + e' = 3(a + b + c + d + e)

 

4El cociente del perímetro de ambas figuras es

 

\cfrac{P_2}{P_1} = \cfrac{3(a + b + c + d + e)}{a + b + c + d + e}=3

 

3Dos rectángulos semejantes tienen áreas de 5 \ cm^2 y 20 \ cm^2. ¿Cuál es el cociente de sus perímetros?

\cfrac{P_2}{P_1} = cm,

1Calculamos el cociente de las áreas

 

\cfrac{A_2}{A_1} = \cfrac{20}{5}

 

2El cociente de las áreas de polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de sus lados (a, b, c y a', b', c' los lados de los triángulos de áreas 5 \ cm^2 y 20 \ cm^2 respectivamente)

 

\cfrac{A_2}{A_1} = \left( \cfrac{a'}{a} \right)^2 = \left( \cfrac{b'}{b} \right)^2 = \left( \cfrac{c'}{c} \right)^2

 

3Luego razón de semenjanza es

 

\cfrac{a'}{a} = \cfrac{b'}{b} = \cfrac{c'}{c} = \sqrt{4} = 2

 

4El cociente de los perímetros de polígonos semejantes es igual a la razón de sus lados

 

\cfrac{P_2}{P_1} = \cfrac{a'}{a} = \cfrac{b'}{b} = \cfrac{c'}{c}

 

5Así el cociente de sus perímetros es

 

\cfrac{P_2}{P_1} = 2

 

6En caso de elegir de forma a, b, c y a', b', c' los lados de los triángulos de áreas 20 \ cm^2 y 5 \ cm^2 respectivamente, el cociente de sus perímetros es

 

\cfrac{P_2}{P_1} = \cfrac{1}{2} = 0.5

 

4Pedro dice que todos lo triángulos rectángulos son semejantes entre si. ¿Es cierta la afirmación de Pedro?

1Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 5 \ cm y 12 \ cm e hipotenusa 13 \ cm

 

triangulos semejantes 1

 

2Consideramos un segundo triángulo rectángulo de catetos 8 \ cm y 15 \ cm e hipotenusa 17 \ cm

triangulos semejantes 2

 

3Revisamos si los lados son proporcionales

 

\cfrac{a'}{a} = \cfrac{8}{5}, \ \ \ \cfrac{b'}{b} = \cfrac{15}{12}, \ \ \ \cfrac{c'}{c} = \cfrac{17}{13}

 

4Como \cfrac{8}{5} \neq \cfrac{15}{12}, tenemos que \cfrac{a'}{a} \neq \cfrac{b'}{b}. Luego las figuras no son semejantes
5Así concluimos que no todos los triangulos rectángulos son semejantes.

 

5¿Son semejantes estas figuras?

paralelogramos semejantes

 

1Los ángulos de ambos paralelogramos son homólogos, ya que dos de ellos miden 31^o en las dos figuras y los otros dos miden 149^o (ya que los ángulos interiores de un paralelogramo miden 360^o)

 

2Veamos con respecto a los lados lo que ocurre, es decir hay que ver si los lados homólogos son o no proporcionales:

 

\cfrac{a}{a'} = \cfrac{6}{8}, \ \ \ \ \ \cfrac{b}{b'} = \cfrac{4}{6}

 

3Como \cfrac{6}{8} \neq \cfrac{4}{6}, tenemos que \cfrac{a}{a'} \neq \cfrac{b}{b'}. Luego las figuras no son semejantes.

 

6Las siguientes figuras son semejantes. Si el área de la primera es de 54 \ cm^2 y dos de sus lados semejantes son 4 \ cm y 8 \ cm. ¿Cuál es el área de la segunda figura?

hexagonos semejantes

A =cm^2

1Como las figuras son semejantes, sus lados son proporcionales

 

\cfrac{a}{a'} = \cfrac{8}{4} = 2

 

2Como las figuras son semejantes, el cociente de sus áreas es igual al cuadrado de su razón de semejanza

 

\cfrac{A_2}{A_1} = r^2

 

3Sustituimos el valor del área de la primera figura y la razón de semejanza

 

\cfrac{A_2}{54} = 2^2

 

4Despejando obtenemos que el área de la segunda figura es

 

A_2 = 4 \cdot 54 = 216 \ cm^2

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗